一道探究型試題的解題分析

■潘登柱

題目如圖1所示，在平面直角坐標系中，以點A(1，0)為圓心，以2 為半徑的圓交x軸于B，C兩點，交y軸于D，E兩點。

圖1

(1)求D，E兩點的坐標。

(2)求過B，C，D三點的拋物線的解析式。

(4)拋物線上是否存在點P，使以P，B，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

分析：(1)根據垂徑定理有OD=OE，只需求出一點坐標即可。

法一：根據勾股定理。連接AE，在Rt△AOE中，OA=1，AE=2，所以OE=，即。

法二：根據勾股定理及等量代換。連接CE，BE，在Rt△COE，Rt△EOB中，OE2=CE2-OC2，BE2=OB2+OE2。又因為BC為☉A的直徑，所以∠CEB=90°，所以BE2=BC2-CE2。聯立以上各式即得。以下同法一。

(2)由(1)知B(3，0)，C(-1，0)，D(0，，求拋物線的解析式，可用一般式、頂點式。

法一：利用一般式。設方程為y=ax2+bx+c，用待定系數法得所以，所以y=。

法二：利用頂點式。設方程為y=a(xk)2+h，由對稱性知k=1，又過B(3，0)，兩點，用待定系數法得，，所以。

(3)過點A作AQ⊥MN交MN于Q，由已知得。

法一：利用三角形相似。在△OMN與△QAM中，，AM=4，所以，所以AQ=2=r，即MN與☉A相切。

(4)該小題為探究性題，需要滿足兩個條件，一是四邊形PBCE為平行四邊形；二是點P滿足拋物線方程，利用一個條件判斷另一個條件即可。

法一：根據平行四邊形性質。設P(x，y)，EP∥CB，EP=CB。所以不滿足拋物線方程，這樣的點P不存在。

法二：根據平行四邊形對角線性質及中點坐標公式。設P(x，y)，則所以不滿足拋物線方程，這樣的點P不存在。