基于變結構控制器的敏捷衛星姿態機動方法

梁 健，眭曉虹，趙 陽，蔡婭雯，張和芬

（1.北京空間飛行器總體設計部， 北京 100094；2.錢學森空間技術實驗室， 北京 100094）

0 引言

隨著天基遙感衛星觀測能力的逐步提升，具有快速機動能力的敏捷衛星日益受到人們的關注。對地觀測衛星為實現高分辨大幅寬成像、同軌立體成像以及視頻成像等功能需要具備快速姿態機動和穩定的能力，同時偵察衛星為跟蹤快速機動目標，對姿態快速機動能力也提出了更高的要求。和飛輪相比，控制力矩陀螺（Control Moment Gyroscope，CMG）具有強大的力矩輸出和力矩放大能力，因而適合作為敏捷衛星姿態控制執行機構。然而，由于CMG結構復雜，且力矩輸出存在奇異問題，因而限制了CMG的廣泛應用。當前，應用CMG的敏捷衛星有Pleiades、WorldView、SPOT等系列［1］。Pleiades衛星上配備了4個安裝成金字塔構型的單框架控制力矩陀螺（Single Gimbal Control Moment Gyroscope，SGCMG），每個SGCMG的角動量為15Nms，最大框架轉速為3rad/s，輸出力矩峰值為45Nm，平均最大輸出力矩為20Nm。該SGCMG配置能使Pleiades衛星最大姿態機動角速度達到4（°）/s，并在25s內繞滾動或俯仰通道完成60°姿態機動［2］。我國也積極發展敏捷衛星平臺，其中的商業遙感衛星“高景一號”的姿態機動能力與Pleiades衛星相當，具有多條帶拼接、立體觀測等觀測模式，分辨率可達0.5m。

在諸多控制算法中，變結構控制的特點是在滑動模態下對系統參數變化和干擾具有很強的魯棒性。正是由于這種對參數變化和外部擾動的不敏感特性，使得變結構控制算法在敏捷衛星姿態控制方面具有巨大的應用潛力［3］。

為實現敏捷衛星快速姿態機動，本文采用6個SGCMG組成的五棱錐構型作為姿態控制執行機構。為縮短衛星姿態機動所需時間，對衛星繞Euler軸進行姿態機動的角軌跡進行了規劃，并根據星體實際姿態與規劃姿態之間的誤差四元數和誤差角速度設計了變結構控制律。仿真及在軌驗證結果表明，該控制律能有效完成繞Euler軸的姿態機動并具有較強的魯棒性。

1 衛星姿態運動數學模型

帶有SGCMG的剛體衛星姿態運動的動力學方程為

式（1）中，J為包含SGCMG系統的衛星慣量矩陣，ω為星體在慣性系下的轉動角速度，h為SGCMG系統的角動量，Td為作用于星體上的外部干擾力矩。若將SGCMG系統輸出的控制力矩表示為，此時，衛星姿態運動的動力學方程可以表示為

采用誤差四元數表示星體的姿態運動學模型。首先，定義衛星本體相對于軌道坐標系的姿態四元數：q＝［q0q1q2q3］T。其中，q0＝cos（φ/2），［q1q2q3］T＝nsin（φ/2），n為Euler軸方向的單位矢量，φ為繞Euler軸轉過的角度，且姿態四元數滿足約束條件qTq＝1。在用四元數表示衛星姿態時，q和-q對應同一姿態，為消除四元數表示姿態的雙重性，本文取q0＞0。

設規劃姿態四元數為qs，q與qs之間的誤差四元數qe可表示為

采用誤差四元數表示的姿態運動學方程為

式（4）中，ωr為本體坐標系相對于軌道坐標系的姿態角速度，ωs為規劃姿態角速度，A（qe）的表達式如下

本體系相對于慣性系的姿態角速度在本體系中可表示為

式（6）中，ωo＝［0-ω00］T，ω0為軌道角速度，Tbo（q）為軌道坐標系到本體坐標系的轉換矩陣，表達式為

2 SGCMG系統操縱律設計

對于單個SGCMG，其輸出力矩位于與框架軸垂直的角動量面上，產生的力矩方向始終與角動量方向相互正交。如圖1所示，SGCMG輸出力矩方向為τi或τ′i。設期望力矩方向u在角動量面上的投影為τdi，當角動量矢量hi與期望力矩的投影τdi相互正交時，SGCMG角動量改變產生的輸出力矩與期望力矩投影方向相同。此時，SGCMG在期望方向的力矩輸出能力達到最大。

圖1 SGCMG輸出力矩示意圖Fig.1 Schematic diagram of SGCMG output moment

對于SGCMG系統，可定義如下力矩輸出性能指標

式（8）中，θi為第i個SGCMG角動量矢量hi與期望力矩的投影τdi之間的夾角，θi＝δi-ηi，n為系統中SGCMG個數。S越大，表明系統在期望方向的力矩輸出能力也越大；S＝0表明系統各個SGCMG角動量方向均與期望力矩投影方向相同或相反，此時系統無法產生期望方向的輸出力矩，系統陷入奇異狀態。相對于奇異度量D，力矩輸出性能指標S更能反映系統在期望方向的力矩輸出性能。

框架轉速指令可分解為兩部分

式（9）中，為有力矩輸出的轉速指令，為空轉指令，它們滿足以下方程

零運動方程的解為

式（11）中，v為待定的n維矢量，En為n×n維的單位矩陣。

框架在轉動過程中會引起力矩輸出性能指標S的變化，S隨框架轉角變化的表達式可表示為

零運動控制影響表達式的第二項，令其為R

代入的表達式，可得

因此，基于力矩輸出性能指標的零運動操縱律表達式為

零運動系數λ的大小反映了操縱律通過零運動在期望方向保持力矩輸出能力的強弱程度。λ取值越大，操縱律在期望方向具有更強的力矩輸出能力，由于SGCMG最大框架轉速的限制，操縱律輸出指令力矩能力越??；λ取值過小時，會使得系統不能在期望方向取得較大的力矩輸出能力，故系數λ需合適選取。當力矩輸出性能指標S較大時，系統在期望方向輸出力矩能力較大，零運動系數λ可取較小值；當S較小時，系統在期望方向輸出力矩能力較小，零運動系數λ應取較大值。因而，參數λ取值可寫為如下形式

式（18）中，λ0＞0，b＞0。

3 姿態機動角軌跡規劃

3.1 旋轉Euler軸的確定

設星體在軌道坐標系中的初始姿態四元數為qc，目標姿態四元數為qm，初始姿態四元數與目標姿態四元數之間的誤差四元數qerr可表示為

式（19）中，qerr＝［qerr0qerr1qerr2qerr3］T，Euler旋轉軸的指向nc在本體坐標系中表示為

繞Euler軸旋轉的角度為

3.2 繞Euler軸機動的角軌跡規劃

衛星進行姿態機動時，衛星最大機動角速度受到姿態控制執行機構最大輸出角動量和姿態敏感器測量范圍的限制。衛星進行大角度姿態機動時，繞Euler軸進行旋轉機動可獲得最短的姿態機動角路徑［4］。設星體進行姿態機動時，所能達到的最大機動角速度為。為了節省姿態機動所需時間，將衛星繞Euler軸的姿態機動過程規劃為勻加速、勻速、勻減速三個階段。其中，勻加速、勻減速階段能達到的最大角加速度由執行機構所能提供的最大輸出力矩和星體轉動慣量決定。

圖2 角加速度、角速度、角度軌跡示意圖Fig.2 Schematic diagram of angular acceleration，angular velocity and angular trajectory

圖2中，t0為姿態機動開始時刻，t1為加速階段結束時刻，t2為勻速機動結束時刻，t3為減少階段結束時刻。

姿態機動過程中，角加速度可表示為

機動角速度為

機動角度為

星體自初始姿態qc繞Euler軸nc旋轉角度φ后的規劃姿態四元數qs可表示為

q與qs之間的誤差四元數表示為qe，則。繞Euler軸的旋轉角速度在本體三軸上的分量可表示為

4 變結構控制器設計

為實現衛星繞Euler軸按規劃的角度、角速度軌跡完成姿態機動，設計了以下變結構控制器。

4.1 滑動模態設計

設計滑動模態如下

式（28）中，G為正定對角矩陣，qe13＝［qe1qe2qe3］T。系統在滑動模態上運動時，s＝0，取Lyapunov函數

V≥0，當且僅當qe13＝0，即q＝qs時，V＝0。因此，V為正定函數。對Lyapunov函數求導，可得

當且僅當qe13＝0時，0。因此，系統在滑動模態上是漸進穩定的。

4.2 變結構控制律設計

對s求導，可得

為保證滑動模態的可達性，選擇以下形式的趨近律

式（32）中，K、W均為正定對角矩陣，進而可得

4.3 魯棒性分析

設衛星轉動慣量標稱值為J0，當系統中存在模型誤差ΔJ和外部干擾力矩Td時，經推導可得出

式（36）中，wi（i＝1，2，3）為W矩陣對角線上的三個元素。wi的取值越大，系統抗干擾能力越強，但不連續控制引起的抖動也會更劇烈。為減小抖動對系統的影響，用飽和函數sat（s）代替sgn（s），sat（s）函數定義如下

式（37）中，si為滑模面s的第i個分量，ε為一適當的小正數。

以上通過將符號函數sgn（s）用飽和函數sat（s）代替，在一定程度上減弱了因符號函數引起的系統抖振，但飽和函數項仍會使得系統存在一定的抖動，從而影響到衛星姿態穩定控制的精度。為提高變結構控制方法的姿態穩定控制精度，以及降低執行機構的工作負擔，將飽和函數sat（s）做如下改進。

改進的飽和函數sat′（s）定義為［5］

式（38）中，ε1、ε2為改進的飽和函數sat′（s）的兩個邊界值，且有0＜ε1＜ε2。sat′（s）的示意圖如圖3所示。

圖3 飽和函數示意圖Fig.3 Schematic diagram of saturation function

對于以上改進后的飽和函數sat′（s），當ε1時，sat′（s）表現出與sat（s）相同的性質；不同之處在于，當時，sat′（s）＝0，控制器中的飽和函數項sat′（s）不再發揮作用，從而不會引起系統的抖動。此時，變結構控制參數中僅K、C產生控制作用，變結構控制器已退化為PD控制器。為了達到進一步削弱系統抖動的目的，當衛星長期維持在要求穩定姿態精度時，應使得。本文取

5 仿真結果及分析

基于設定的仿真參數，分別對標稱慣量、慣量矩陣增加50%以及慣量矩陣減小50%的情況進行仿真分析，仿真結果如圖4～圖9所示，不同慣量下三軸穩定時間如表1所示。

圖4 星體姿態角、姿態角速度變化曲線（J0）Fig.4 Curves of attitude angle and attitude angular velocity（J0）

圖5 三軸輸出力矩、角動量、奇異度量值變化曲線（J0）Fig.5 Curves of triaxial output moment，angular momentum and singularity degree（J0）

圖6 星體姿態角、姿態角速度變化曲線（1.5J0）Fig.6 Curves of attitude angle and attitude angular velocity（1.5 J 0）

圖7 三軸輸出力矩、角動量、奇異度量值變化曲線（1.5J0）Fig.7 Curves of triaxial output moment，angular momentum and singularity degree（1.5J0）

圖8 星體姿態角、姿態角速度變化曲線（0.5J0）Fig.8 Curves of attitude angle and attitude angular velocity（0.5 J 0）

圖9 三軸輸出力矩、角動量、奇異度量值變化曲線（0.5J0）Fig.9 Curves of triaxial output moment，angular momentum and singularity degree（0.5J0）

表1 三軸姿態穩定所需時間對比Table 1 Comparison of the time required for triaxial attitude stabilization

分析以上仿真結果可知：1）本文設計的變結構控制器能夠按要求完成繞Euler軸進行的大角度姿態機動，并達到指標要求的指向精度和穩定度；2）將衛星轉動慣量增大或減小50%時，衛星姿態角、姿態角速度變化曲線無明顯差異，三軸穩定時間基本一致，驗證了控制系統具有較強的魯棒性；3）姿態機動過程中，SGCMG系統始終遠離奇異狀態。

6 在軌驗證

本文提出的姿態機動方法已成功應用于我國某商業遙感小衛星，該衛星于2018年成功發射入軌，控制分系統在軌表現穩定，機動能力滿足設計要求。圖10、圖11分別為進行某一次變軌期間停止偏航角修正以及完成變軌后重新引入偏航角修正的過程中衛星的三軸姿態角及角速度曲線，可以看出，其姿態機動時間及穩定時間都滿足設計要求，設計的控制率滿足應用要求。目前，衛星在軌表現優異，為我國商業遙感衛星的發展奠定了良好的基礎。

圖10 偏航角及偏航目標角曲線Fig.10 Curves of yaw angle and target drift angle

圖11 變軌后的姿態角及角速度曲線Fig.11 Curves of attitude angle and attitude angular velocity after orbit maneuver

7 結論

為實現敏捷衛星快速姿態機動，本文對繞Euler軸進行姿態機動的角軌跡進行了規劃，將姿態機動過程劃分為勻加速、勻速和勻減速三個階段。為完成對規劃姿態的跟蹤，本文設計了基于誤差四元數和誤差角速度的變結構控制律，并以由6個SGCMG組成的五棱錐構型作為姿態控制系統執行機構。仿真及在軌驗證結果表明，該控制算法能有效完成姿態機動控制任務，且對衛星參數變化不敏感，體現出較強的魯棒性和良好的控制性能，本文的研究成果對敏捷衛星姿態控制器的設計具有一定的指導意義。