探究建立函數(shù)模型，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

李建波

【摘要】本文選取一道生活中的建模實(shí)例，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)分析探究、交流討論、總結(jié)歸納、深化反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而深化數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程。因此本文是從建立函數(shù)模型出發(fā)，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，讓學(xué)生從不同的角度理解數(shù)學(xué)的魅力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模? ?函數(shù)模型? ?課堂實(shí)錄

【中圖分類號(hào)】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】1992-7711（2020）16-092-01

什么是數(shù)學(xué)模型呢？數(shù)學(xué)模型指為了解決實(shí)際問(wèn)題，而對(duì)其進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化后得到的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，比如：數(shù)學(xué)概念、公式、方程、不等式、幾何圖形等。這些數(shù)學(xué)模型是日常生活中的人們?yōu)榱私鉀Q實(shí)際問(wèn)題，逐步建立起來(lái)的。而建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，我們稱之為數(shù)學(xué)建模。今天老師也帶來(lái)了一個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題，我們就用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)解決這樣的問(wèn)題。

現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：現(xiàn)在許多家庭都以天然氣為燒水做飯的燃料，節(jié)約使用天然氣就是一個(gè)非常現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)， 天然氣灶是通過(guò)旋轉(zhuǎn)按鈕來(lái)控制燃?xì)庀牧髁康摹?燃?xì)庀牧髁侩S著旋轉(zhuǎn)位置變化而變化， 故燃?xì)庀牧颗c按鈕位置是函數(shù)關(guān)系。 因此問(wèn)題就是：燃?xì)庠钚D(zhuǎn)按鈕在什么位置時(shí)， 燒開(kāi)一壺水的燃?xì)庀牧孔钌伲?/p>

問(wèn)題分析： 一般來(lái)說(shuō)， 關(guān)閉燃灶時(shí)旋轉(zhuǎn)按鈕是豎直方向的， 隨著按鈕旋轉(zhuǎn)角度逐漸增大， 燃?xì)庀牧髁恳仓饾u增大， 火也就越旺盛。當(dāng)按鈕旋轉(zhuǎn)角度非常小時(shí)， 燃?xì)庀牧髁恳卜浅Ｐ。?甚至點(diǎn)火后的熱量不足以將一壺水燒開(kāi)時(shí);當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度逐漸增大時(shí)， 燃?xì)庀牧髁恳矔?huì)逐漸增大， 燒水所需消耗的燃?xì)饬烤蜁?huì)減少。但是， 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度很大（甚至最大時(shí)）， 燃?xì)獠灰欢ǘ寄艹浞秩紵峁崃浚? 燒開(kāi)一壺水的燃?xì)庥昧恳矔?huì)比較大。

那么，按鈕旋轉(zhuǎn)多大角度時(shí)，燃?xì)庀牧孔钌倌兀?/p>

我們不能測(cè)出所有旋轉(zhuǎn)角度對(duì)應(yīng)的燃?xì)庀牧俊Ｓ谑俏覀冊(cè)噲D通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出幾組數(shù)據(jù)， 然后利用這些數(shù)據(jù)擬合函數(shù)， 從而求出燒開(kāi)一壺水時(shí)燃?xì)庾钚∠牧俊?/p>

一、模型假設(shè)

（1）每次實(shí)驗(yàn)環(huán)境溫度一樣——（在同一實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行即可）

（2）每次試驗(yàn)用水量一樣——（用量筒測(cè)量即可）

（3）每次燒水時(shí)水壺的起始溫度一樣——（燒開(kāi)的第一壺水舍棄）

（4）每個(gè)按鈕旋轉(zhuǎn)位置都對(duì)應(yīng)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度

（5）關(guān)閉燃?xì)庠畹陌粹o所在的位置對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度為0°

（6）按鈕旋轉(zhuǎn)的最大角度為90°

二、模型建立

（1）燃?xì)庠畎粹o旋轉(zhuǎn)選擇5個(gè)不同位置， 旋轉(zhuǎn)角度分別為18°、36°、54°、72°和90°。

備注：理論上實(shí)驗(yàn)選取位置數(shù)越多，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確，但是數(shù)據(jù)測(cè)量也就越復(fù)雜。

（2）在選取的5個(gè)位置上. 分別記錄燒開(kāi)一壺水時(shí)所需要的燃?xì)饬俊?/p>

（3）根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖。

三、模型求解

觀察散點(diǎn)圖， 這些點(diǎn)的連線是一個(gè)“U”型曲線， 根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況， 我們可以可以考慮用二次函數(shù)y=ax2+bx+c模型來(lái)近似刻畫(huà)燒開(kāi)一壺水所消耗燃量y與按鈕旋轉(zhuǎn)角度x的函數(shù)關(guān)系式。

設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c取三對(duì)數(shù)據(jù)代入函數(shù)即可求出函數(shù)表達(dá)式。

不妨取（18，0.130）、（36，0.122）和（90，0.172）代入函數(shù)得：

則函數(shù)表達(dá)式為：

y=1.9033×10-5x2-1.4722×10-3x+1.5033×10-1

由二次函數(shù)性質(zhì)知：

因此，當(dāng)按鈕旋轉(zhuǎn)到39°時(shí)，燒開(kāi)一壺水所需天然氣最少為0.1218m3 .

四、模型檢驗(yàn)

用與前面五組實(shí)驗(yàn)相同的條件， 將按鈕旋轉(zhuǎn)到39°的位置上， 檢測(cè)所需消耗的燃?xì)饬俊?/p>

若測(cè)量結(jié)果與計(jì)算結(jié)果基本吻合， 則所求的函數(shù)模型是有效的。若兩者結(jié)果相差比較大， 那建立的模型就不是最優(yōu)的， 我們要返回“建立函數(shù)模型”部分， 重新選擇新函數(shù)。

結(jié)論：實(shí)驗(yàn)檢測(cè)結(jié)果與函數(shù)計(jì)算值基本吻合， 誤差很小， 幾乎可以忽略不計(jì)， 因此我們建立的函數(shù)模型很好。

五、模型應(yīng)用

通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果， 我們知道以后燒水做飯時(shí)， 為了節(jié)約天然氣資源， 盡量將燃?xì)庠畎粹o旋轉(zhuǎn)到39°左右的地方。

總結(jié)數(shù)學(xué)建模過(guò)程：

根據(jù)這節(jié)課的內(nèi)容，我寫(xiě)了一句話送給大家：數(shù)學(xué)無(wú)處不在，模型到處都有，建模是數(shù)學(xué)的靈魂。

【注：本文系廣東教育學(xué)會(huì)教育科研規(guī)劃小課題“新疆班學(xué)生平面向量學(xué)習(xí)障礙及其解決策略研究”成果（課題編號(hào)：GDXKT23597）】

【參考文獻(xiàn)】

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[2]童玉峰. 初中數(shù)學(xué)常用概念問(wèn)題鏈教學(xué)的課例探究[J]. 吉林教育， 20l5 （25）： 59-60.