學生真的理解“余數(shù)要比除數(shù)小”嗎

王宜彪

[摘要]余數(shù)要比除數(shù)小，這一規(guī)律在中年級教師看來是理所當然的，是不需要深入解釋的。學情調查后發(fā)現(xiàn)，很多學生對于“余數(shù)要比除數(shù)小”的理解一知半解。教師可基于學情研究這一規(guī)律的闡釋，以打通學生的思維脈絡。

[關鍵詞]余數(shù);除法;五入調商

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）17-0064-02

“有余數(shù)的除法”是蘇教版教材二年級下冊第一單元的教學內容，它是學生學過的表內除法知識的延伸和擴展。除法計算教學的目標絕不能僅僅局限在讓學生掌握一項運算技能上，而應著力引導學生經歷算理的理解過程、算法的探索過程，及靈活應用相關運算方法解決問題的過程，促進學生掌握數(shù)學基本思想，發(fā)展數(shù)學思維。

一、案例回放：遭遇“余數(shù)等于除數(shù)”的尷尬

在教學蘇教版教材四年級上冊第二單元“兩三位數(shù)除以兩位數(shù)筆算”的“五人調商”這一課時遇到了“余數(shù)和除數(shù)相同需要調商”這一教學難點，筆者提問學生：“為什么當余數(shù)和除數(shù)相同時要把商調大？”絕大多數(shù)學生脫口而出：“余數(shù)要比除數(shù)小。”也有部分學生說：“余數(shù)不能等于除數(shù)，要小于除數(shù)。”但當筆者追問“你知道為什么除數(shù)要比余數(shù)小嗎？”時，絕大多數(shù)學生沉默了。

為了讓學生準確理解余數(shù)和除數(shù)的關系，筆者設計了如下三個教學活動。

活動一：說出“240÷40=”的口算結果。

學生很快就口算出結果是6，筆者進一步追問：“你知道商表示什么意義嗎？”大部分學生可以說出商“6”是指6個40，有學生進一步解釋：表示240里面有6個40。在回顧了整除意義以后，筆者給出了第二個活動。

活動二：完成“250÷40=6……10”的豎式計算。

根據(jù)已有的知識經驗，學生基本理解商6表示250內有6個40，余數(shù)10是250減掉6個40（也就是240）后余下來的。由此可以確定余數(shù)10是被除數(shù)250上余下的。因此，余數(shù)是被除數(shù)不能被整除的情況下，也就是不能被整分的情況下從被除數(shù)上多出來的。余數(shù)本質屬于被除數(shù)的一部分。在學生深刻理解余數(shù)是被除數(shù)一部分后，筆者給出了活動三。

活動三：根據(jù)情境圖列出算式并用豎式計算。

大多數(shù)學生能夠列出算式，也能用豎式計算，但有部分學生發(fā)現(xiàn)計算252÷36時，當商6時余36和除數(shù)相同，需要把商6調大1變成7。為什么要把商調大1呢？很快就有學生觀察到了余數(shù)和除數(shù)相等，由于前面鋪墊了“余數(shù)為什么要比除數(shù)小”，所以筆者在此追問：“為什么余數(shù)和除數(shù)相等時要把商調大17”經過討論，學生匯報了幾條理由：

理由一：36是從被除數(shù)上余下來的，由于余數(shù)是被除數(shù)的一部分，所以它還可以分出一個36，也就是能再除一次商1，這個1應該加在原來的商上，所以6+1=7，因此商應該調大1，變成7。

理由二：從題目的實際意義出發(fā)，252本書分給36名同學，現(xiàn)在如果每人分6本還余下36本，這時還能每人分1本，所以每位學生分到的應該是6+1=7本，體現(xiàn)在豎式上應該把商調大1變成7。

對于四年級學生來說，余數(shù)不是一個新概念，他們對于余數(shù)特定的內涵和外延有一定的理解，但又不是很清晰。在這一節(jié)課中，學生經歷了“出現(xiàn)錯誤——發(fā)現(xiàn)錯誤——探究錯因——改正錯誤——總結歸納發(fā)現(xiàn)”的過程，并能用自己的方法解決問題和合理闡述算理算法，而這正是教師所要追求的本真課堂。

二、“多維互動”實現(xiàn)教學目標有效路徑

“五人調商”是在學習了“四舍調商”后的提升課，有的教師把四舍和五人合起來上，更多的教師是根據(jù)教參安排分成兩課時上。合起來上的優(yōu)點是能夠把知識點前后串聯(lián)，分開上的優(yōu)點是每一課時都能讓學生充分體驗算理，掌握規(guī)律。

1.定位教學價值，明確教學目標的“深度指向”

對于“五人調商”這一課時，教參上的教學目標為：（1）使學生學會用五人法試商后的調商方法，能通過調商計算兩三位數(shù)除以兩位數(shù)商一位數(shù)的得數(shù);（2）使學生經歷用五入法試商發(fā)現(xiàn)初商過小需要調大的探索過程，理解初商過小需要調商的原因和原理，提高除法筆算技能，發(fā)展除法運算能力和思維能力;（3）使學生在學習活動中積極思考、互動交流，并經歷探究、獲得新知的過程，提升學習數(shù)學的信心;培養(yǎng)認真計算、細心檢查的學習習慣。

2.把握單元主題，提高教學目標的“深度限閾”

“限閾”在《新華字典》中的釋義為界限與范疇，教學目標的“深度限閾”則指的是預期學習所能達到的合理界限與范疇。這就需要教師聯(lián)系學生的數(shù)學學習經驗，使教學目標的“深度限閾”完全契合學生的數(shù)學學習需求。

例如，利用教材上的例5教學當“四舍”試商時初商偏大需要調小的除法筆算;利用教材上的例6教學當“五入”試商時初商偏小需要調大的除法筆算。這樣的安排，既突出了教學重點，又能有效突破教學難點，有利于學生通過自主學習理解算理、掌握算法，并形成必要的技能。教學中，教師需要對單元教學內容進行總體分析與把握，做出科學、合理且清晰的教學安排，從而提高教學的整體質量。

3.讀懂思維路徑，促進教學目標的“深度融合”

教師在明確教學目標的“深度指向”與“深度限閾”后還要將其與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中要求的“知識技能”“數(shù)學思考”“問題解決”“情感態(tài)度”四個方面的總目標進行深度融合，抓住目標的構成要素，對“深度融合”后的教學目標進行清新表達。

一個個完整的教學目標包括了學習者、行為、情境和工具四個要素，這四要素要盡可能地在教學目標融合過程中凸顯，同時知識技能、過程方法、情感態(tài)度三維目標要避免被割裂、被孤立。

總之，教師應在讀懂學生思維的基礎上尊重和理解學生;在教學實踐中積極順應學生的思維;在學生思維的斷層處進行有價值的引導;在開放性問題的設計中不斷優(yōu)化學生的思維。讓學生不斷針對問題提出自己的見解，在對話、質疑、辯論、分享的過程中求同存異、謀求共識、建構意義，推動學生數(shù)學學習不斷向縱深發(fā)展。

（責編黃春香）