全景式數學教育對“遷移”的全景解讀

張宏偉

[摘要]對“遷移”這個概念追根溯源、旁征博引，綜合、創新性地提出應該從9個維度去理解、厘清“遷移”這個概念——數學中的遷移，并不僅僅是學習者將“先驗因素”移動到新情境中（或另一種情境），更重要的是“移植”。同時，提出了“自體遷移、異體遷移、逆向正遷移、順向正遷移”等概念，并總結出了“‘全景式數學教育使用‘遷移功能進行有效教學的基本流程”，分享了“負遷移的破解——‘垂線教學案例片段”“跨學科、跨領域的順向正遷移案例”“逆向正遷移案例”三個非常經典的全景式數學教育“遷移”教學實錄。

[關鍵詞]遷移;全景式數學教育;全景解讀;移植;全景式數學案例

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）17-0014-04

全景式數學教育團隊精選了小學數學教學中常用的幾十個核心概念，對其構成邏輯、具體內涵及其發展，以及如何更有效地用其教學等方面進行了全面、深入、立體的解讀，并選摘了其中20個匯編成《小學數學20個核心概念的全景解讀》一書。下面，就分5個模塊展開對“遷移”這個概念的全景式解讀。

一、概念構成邏輯的分析與追溯

綜上，我們認為數學中“遷移”中的“移”是移植，即指將已有的知識經驗、思想方法、身體五覺、情感態度等不僅轉移至新的問題情境中，而且在新的情境中生根、發芽、繁殖、復活、應用。

3.“遷移”概念的整體解讀

（1）“遷移”在漢典中的解釋

①離開原來的所在地而另換地點。

②由于自然力的作用從一地移向另一地。

（2）“遷移”在辭海中的解釋

①搬移;從一處搬到另一處。

②變遷，變化。

③指時間的流逝。

二、課程標準、心理學與教育學專著等對“遷移”的界定和論述

《當代教育心理學》指出，遷移是指“在一種情境中的技能、知識和理解的獲得或態度的形成對另一種情境中的技能、知識和理解的獲得或態度的形成的影響”。

《小學數學教學中的“遷移”》指出，遷移教學的實質就是讓學生運用舊知識探索新知識，發現新規律，不斷重組自己的認知結構。而馬春圣在《遷移規律及其在小學數學教學中的運用》中強調，遷移的實質就是學習者運用原有認知結構的觀念對新課題進行對比、分析、概括的過程，即原有認知結構與新課題的“同化、順應的過程”。

《什么是學習的遷移》指出，學生在學習過程中，總是按照自己已有的知識經驗來掌握新知識、新技能的。這些已有的知識經驗會對學習新知識、新技能發生一定的影響，這種現象，在心理學上叫作學習的遷移（包括知識的遷移和技能的遷移）。已有的知識經驗對新知識、新技能的學習起積極的促進作用，這是正遷移;相反，起消極的妨礙作用，就是負遷移。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》沒有給出遷移的詳細闡述，但培養和發展學生的遷移能力是小學數學教學承載的任務之一。

三、全景式數學教育團隊對數學學習概念“遷移”的理解

結合上述的追溯，參照心理學、教育學、課程標準和名家的研究，加之我30多年的教學實踐與感悟，竊認為數學中的“遷移”應該從以下9個維度去理解、厘清和應用。

1.數學中的遷移，不僅僅指知識、技能、思想、經驗和方法等智力因素的遷移，還包括身體五覺、情感態度等非智力因素。這一點和類推截然不同，類推更偏向理性，而遷移則感性與理性并重，比如愛屋及烏不是類推，而是情感的遷移。（注：文中把學習者以前在學習中獲得這些可遷移的因素統稱為“先驗因素”。）

2.數學中的遷移，并不僅僅是學習者將過往學習中的上述“先驗因素”移動到新情境（或另一種情境）中，更重要的是“移植”，即這些“先驗因素”在新情境（或另一種情境）中能生根、發芽、生長、繁殖，并發揮作用，使得新問題因為這些“先驗因素”的應用而得到有效解決或形成新障礙，即前面的學習對后續學習的影響。我們認為這種影響幾乎無所不在，一切新的有意義的學習都是在原有的學習基礎上產生的，不受學習者原有認知結構影響的學習是不存在的。

3.遷移的發生起于當下問題情境的誘發。學習者通過對當下問題的覺察（包括判斷、分析、表征等等），喚醒身心中與之相關、類似的“先驗因素”，產生共情、類比（類化）、移植、類推的沖動，并付諸行動。

4.就遷移前后的情境對比而言，數學中的遷移最起碼應包含兩個基本類型：一是學習者在簡單環境中習得的“先驗因素”遷移到復雜的環境中，它仍然能復活、開花、結果，實現新成長。二是在認知的低階段習得的上述因素遷移到高階段。

5.就遷移前后的領域對比而言，遷移可以是同領域的進階性或退階性遷移，也可以是從一個領域到另一個領域的遷移。

6.從遷移的對象來說，包括自體遷移和異體遷移。自體遷移是學習者自己學習的“先驗因素”對當下或后續學習的影響。異體遷移是他人的“先驗因素”被自己覺察到，繼而對自己當下或后續的影響。在課堂學習中，包括同學的“先驗因素”對自己當下和后續學習的影響，以及教師的“先驗因素”的影響。

7.從遷移對新（另一種）情境所起的作用來看，分為正遷移和負遷移。我們又把正遷移細分為逆向正遷移和順向正遷移。關于正遷移，我們通常注意到的是順向正遷移，而往往會忽視或者不能夠充分地利用逆向正遷移。

8.關于順向正遷移，大部分教師都是研究數學內部的遷移，而全景式數學教育不僅考慮到數學內部的遷移，還考慮到跨學科的遷移。

9.教師備課時，要充分調查、了解、分析每個學生的“先驗因素”，并做出教學應對：比如，對于缺失“先驗因素”的可能要設計相應的生活實踐活動進行補充，對于可能產生負遷移的思考如何引導學生突破，對于不充分的如何進行豐盈，等等。

四、“全景式數學教育”使用“遷移”功能進行有效教學的基本流程

第1步入境——教師或者學生共同營造新的問題情境。

第2步覺察——學生通過對當下問題情境進行感覺、判斷、分析、理解和表征。

第3步喚醒——學生喚醒身心中與新的問題情境相關、類似的“先驗因素”，產生共情、類比（類化）、移植、類推和嘗試解決新問題的沖動。

第4步移植——學生嘗試把一些“先驗因素”單獨或者綜合與新情境進行匹配，同時嘗試用這些“先驗因素”并結合當下的新的解決條件對新問題進行同化。如果解決成功，則為正遷移，并強化遷移意識;如果造成障礙，則為負遷移，負遷移發生后，學生嘗試置換、調整、重新組合“先驗因素”，再次嘗試，如此反復，抑或另辟全新的蹊徑，抑或順應。

第5步應用和鞏固。

第6步升華——學生回顧問題解決歷程，并對自己的心路進行再次覺察，強化經驗或形成新的“先驗”，為后續的學習奠定更高階或者新的遷移基礎。

五、全景式數學教育中的“遷移”教學典型案例

任何知識的學習都會受前學習經驗的影響，有的是正向的、有的是負向的，教師要避免負遷移帶來的影響，充分發揮正遷移的助長功能，從而促進學生更好地學習。

[案例1]負遷移的破解一“垂線”教學片段

過直線外一點作已知直線的垂線段時，大致可分為如下三種情況：

對于圖1-1，所有學生都能順利完成，而對于圖1-2、圖1-3，很多學生會出現如下錯誤：

出現這種錯誤的原因是學生生活中的垂直和垂線經驗的負遷移。生活中常見的房屋、門窗上的垂直、使用鉛錘確定是否垂直的現象，以及測量各種物體高度（一般是垂直于地面）等的生活經歷對學生造成的影響，使得學生缺少“斜的垂直”的實際生活體驗，形成“垂直、垂線”是直上直下的思維定式，遷移到數學上，就會對圖1-2、圖1-3兩個圖形的作圖理解出現障礙。

為了突破負遷移帶來的影響，幫助學生積累與圖1-2、圖卜3作圖相應的實際生活體驗，建立正向的遷移，我們把學生帶到操場上玩起了立定跳遠游戲。

像這樣畫了三條不同方向的起跳線后，學生站在起跳線上并不都是面向一個方向的，而是對著自己的正前方，其實這也就是找到了已知直線的垂直方向。學生跳完之后，組員用皮尺測量每個人跳遠的長度，測量的過程就是找到了直線外一點到已知直線的垂線段，其長度就是點到已知直線的距離。活動結束后，學生回到課堂上畫垂線段時，圖1-2、圖卜3的作圖問題便迎刃而解。這個課例提醒我們，很多負遷移的影響是學生儲備的經驗單一、不完整造成的，我們在教學中一定要注重對學生的“先驗因素”進行補充、矯正和豐富，以期破除負遷移、建立或強化正遷移，實現高效的教與學。

[案例2]跨學科、跨領域的順向正遷移案例

學習百分數這個主題單元時，大多數學生對于將問題“甲比乙多百分之幾”轉化成“乙比甲少百分之幾”理解非常困難。比如：男生人數比女生多1/2，那么女生人數比男生少幾分之幾？由于受低年級學習過的“甲比乙多2個，就是乙比甲少2個”數的大小比較的經驗影響（負遷移），一開始，大多數學生都會誤認為“男生人數比女生多1/2，就是女生人數比男生少1/2”。為了解決這個問題，我們就與語文教師協作，給學生補上了語文領域的順向正遷移的“先驗因素”——語文的語法——“承前省”。

1.語文教師教學“承前省”

例1：船里裝載的是新米，把船身壓得很低。（葉圣陶《多收了三五斗》）

師：什么把船壓得很低？

生：新米把船壓得很低。

師：“新米”一詞沒寫出來，你是怎么知道的？

生：我是聯系前一句話知道的。

師：這個例子中省略“新米”一詞會使語言更加簡練，這在語文上叫省略主語，也就是承接前文省略主語，簡稱“承前省”。

例2：四大娘的臉色立刻變了，一句話也沒說，提了水桶就回家去。（茅盾《春蠶》）

師：誰一句話也沒說就回家了？誰提了水桶就回家了？

生：四大娘。

師：句中后面幾個分句的主語因為承接前一分句的定語“四大娘”而省略。

例3：家破人亡之感立時襲進他的心，禁不住滲出兩滴眼淚來，望出去，電燈人形都有點模糊了。（葉圣陶《潘先生在難中》）

師：這個例子中后面幾個分句的主語承接前一分句賓語的定語“他”而省略。

2.數學教師教學過程

（1）師生一起在語文學習的基礎上弄清楚數學中的“承前省”

數學其實也是有“承前省”的。比如“男生比女生多的人數占女生人數的幾分之幾”省略為“男生比女生多幾分之幾”，“女生比男生少的人數占男生人數的幾分之幾”省略為“女生比男生少幾分之幾”。

（2）“承前省”還原式解決問題

①男生有6人，女生有4人，男生比女生多幾分之幾？

第一步，將“男生比女生多幾分之幾”還原為“男生比女生多的人數占女生人數的幾分之幾”。

第二步，男生比女生多的人數是2人，女生是4人，男生比女生多的人數占女生人數的幾分之幾就是求2人占4人的幾分之幾。

第三步，列式（6-4）÷4=1/2。

②男生有6人，女生有4人，女生比男生少幾分之幾？

將“女生比男生少幾分之幾”還原為“女生比男生少的人數占男生人數的幾分之幾”，即2人占6人的幾分之幾→1/3。

（3）比較感悟

在①②中，學生悟出：雖然男女生人數都是相差2人，但①是拿2人和女生人數比，②是拿2人和男生人數比。引導學生將其和低年級學過的“男生有6人，女生有4人，男生比女生多幾人？男生有6人，女生有4人，女生比男生少幾人？”進行比較，學生就會發現：男生比女生多2人就是女生比男生少2人，具體的數量是可以顛倒敘說的。但是，這2人和男生比占1/3，這2人和女生比占1/2，是不能顛倒的。至此，學生進一步理解和掌握“甲比乙多（少）幾分之幾”的本質含義。

（4）跟進練習

練習1：松樹有8棵，柳樹有10棵。

①松樹比柳樹少（）棵。

②柳樹比松樹多（）棵。

③松樹比柳樹少幾分之幾？還原為（），就是求（）棵是（）棵的幾分之幾，列式__。

④柳樹比松樹多幾分之幾？還原為（），就是求（）棵是（）棵的幾分之幾，列式__。

⑤先把①②和③④比較，讓學生發現“量”可以反著說，“率”不能反著說。

練習2：奶糖比水果糖多2/3千克，能不能說水果糖比奶糖少2/3千克？（能）奶糖比水果糖多2/3，能不能說水果糖比奶糖少2/3 7（不能）

教學中發現，通過將知識跨學科順向正遷移，能幫助學生突破學習困難，促進學生更好地理解新知。

[案例3]逆向正遷移案例

逆向正遷移是指后面的學習影響前面的學習。如發展心理學和教育心理學的學習對先前普通心理學的理解產生影響，這就是逆向正遷移。逆向正遷移可以使原有的經驗、知識結構得到充實、修正、重組或者重構等。順向正遷移和逆向正遷移既有區別，又相互聯系。我們往往更多地重視和應用順向正遷移，而忽視逆向正遷移，顯然這是不夠全面的。事實上，逆向正遷移在學習中也起著很重要的作用。后面學習到的知識、思想、方法、情感、態度等，倒過來也可以遷移到以前學過的內容和情境中，這種逆向正遷移，會讓學生打通知識間的連接，對以前學過的相應內容產生豁然開朗的之感，學生也能理解得更深入、更透徹，躍至更高階的數學思維階段。

如57+98=57+100-2，對于二、三年級學生的教學是基于生活的實際情景，通過現場實操幫助學生理解兩種不同的簡便算法：

小明收集家里廢品到小區收購站售賣，一月份收入57元（5張10元+7張1元），二月份收入98元（9張10元+8張1元），怎么能很快算出小明兩個月一共收入了多少元？

第一種想法：從57元中拿2元（一2）放入98元中湊成100，即57+98=57 2+100。

第二種想法：假設小明2月份兜里裝著1月份的57元去賣廢品應得98元，結果收購員沒有零錢，直接給了小明100（+100），小明應該返還收購員2元（-2）即57+98=57+100-2。

此時，學生能看出兩種簡便算法都有+100、都有一2，但幾乎所有的學生都認為這兩種算法絕對不是一回事。到了高年級，學生學習了等式的性質、等量代換、運算律以及負數的認識后，就會意識到57+98=57 2+100和57+98=57+100-2本質上是一回事。

又如，學生在四年級學習乘法分配律后，再回過頭來看二年級學過的兩位數乘一位數的口算（23x4→先算20x4=80→再算3x4=12→最后用80+12=92），就能發現其原來就是在使用乘法分配律：23x4=（20+3）x4=20x4+3x4=80+12=92。其理、其情逆向遷移到二年級學習過的內容，學生對兩位數乘一位數的口算和乘法分配律的算理都有了更為深刻的理解，而且對口算和分配律的學習情感也得到豐盈和升華，更重要的是，讓學生打通和發現了二年級和四年級知識的聯系，讓學生有一種通透、驚喜和豁然開朗之感。

最后，需要強調和說明的是，順向遷移與逆向遷移是高度相關、密切聯系、相互影響、相互轉化的。

（責編金鈴）