基于多項式分布滯后模型的上海市地面沉降驗證與預測

曹偉偉, 李明廣, 史玉金, 夏小和

(1.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 土木工程系， 上海 200240； 2.上海市地質調查研究院， 上海 200072)

上海市位于長三角洲，地下水資源豐富，自20世紀60年代便開始地下水資源開采活動[1]，引起了嚴重的地面沉降現象[2]。90年代左右城市建設加速，市政工程、房屋建筑增加的同時地面沉降由于地下水的大量開采也加速發展，這對城市安全造成了嚴重威脅。因此，對地面沉降的監控與預測尤為重要，其不僅可作為地下工程建設的參照，也可為調整地下水開采格局提供參考。

目前有很多針對地面沉降預測模型的研究，主要包括確定性模型、隨機統計模型和人工智能模型等[3]。其中，隨機統計模型依賴于長期監測數據，與滲流模型、土體變形模型等確定性模型相比雖然無法解釋水土作用機理，但模型簡單、計算簡便，適用于宏觀地面沉降預測。常見的隨機統計模型包括回歸模型、生命回旋模型、時間序列模型等。范珊珊[4]、王淼[5]、潘云[6]等運用線性回歸法分別對北京和天津進行了地面沉降預測，結果表明采用累計量進行預測時能夠達到較為精確的預測效果。劉毅[7]采用泊松回旋法從定性定量兩個角度對上海市地面沉降進行了預測并驗證了方法的可行性。但由于含水層砂土蠕變[8]和弱透水層釋水緩慢[9]等原因，地面沉降與抽灌水量、地下水位等均存在一定的滯后關系，上述方法沒有考慮滯后效應對預測結果的影響。郇小龍[10]、吳蓉[11]、馮羽[12]等分別建立了自回歸分布滯后模型、Preisach滯后模型和阿爾蒙預測模型，驗證了模型預測地面沉降的精度。凌勝任也采用了Logistics模型[13]和PDL模型[14]對某地區進行了預測，預測結果也較為理想。

上海市具有大量長期地面沉降和水位監測的數據，但目前考慮上海市地面沉降誘因及滯后效應的隨機統計預測模型應用較少，因此本文在分析上海市地面沉降、地下水開采量和土體變形的基礎上，考慮滯后效應建立了相應的PDL模型并驗證了模型的適用性，且對未來上海市地面沉降作出了相關預測。

1 地下水開采下上海市地面沉降滯后現象分析

20世紀70年代以后上海市進行了開采格局的調整，目標采水層由第2，3含水層向第4，5含水層轉移，一定程度上減輕了地面沉降。但由于90年代城市建設加速，大量地下水被開采導致地面沉降加速。如圖1所示，為地面沉降與地下水開采量之間的關系。

從圖1可以看出，年地面沉降值的波動現象較明顯，且在1995年之前年地面沉降與年抽水量的變化趨勢一致。1994年年抽水量達到峰值，但地面沉降的峰值卻在1997年達到，且后一個地面沉降的極值點同樣比抽水量極值點滯后了5 a左右，此時第4，5含水層成為目標開采層且總體開采量較大，由于相鄰隔水層釋水緩慢、砂土蠕變[15]等原因，地面沉降與開采量之間出現了明顯的滯后效應。根據圖1累計量變化圖計算二者的Pearson相關系數為0.975，說明累計地面沉降和累計地下水開采量之間存在著較高的正相關性，因此在建立隨機變量模型時地下水開采量可以作為地面沉降的解釋變量。

圖1 上海市地面沉降與地下水開采量關系

從土層分層變形角度來看，地下水在不同含水層的開采均造成相應含水層的水位下降，進而引起土層的壓縮變形。根據張云[2]等人的研究，第4含水層的變形在整體地面沉降中所占比例達到了50%以上，部分地區甚至達到了70%左右，成為影響地面沉降的主要變形層。且自地下水開采格局調整后，第4含水層的變形對于地下水開采表現出明顯的滯后效應，因此在預測地面沉降時考慮第4含水層的變形規律非常重要。圖2為第4含水層年變形量和年地面沉降量關系以及第4含水層累計變形量和累計地面沉降變形圖，計算累計量之間的Pearson系數為0.988，表明累計地面沉降和第4含水層累計變形量之間同樣存在著較高的正相關性，因此第4含水層變形量也可作為地面沉降的解釋變量。

圖2 上海市地面沉降與第4含水層變形關系

2 多項式分布滯后模型建立

鑒于以上分析，地面沉降量與抽水量及第4含水層變形量之間均存在一定的相關性和滯后性，因此可以考慮建立多項式分布滯后模型，對地面沉降趨勢進行驗證及預測。由于抽水量對于第4含水層變形具有影響，為了消除這種自變量之間的相互影響，在建模時從總抽水量中減去了第4含水層的抽水量。

2.1 模型簡介

對于時間序列數據而言，如果模型中包含的解釋變量滯后，則模型為分布滯后模型。對于上海市地面沉降而言，由于開采格局和土體性質等因素影響，地面沉降與地下水抽灌量、土體變形之間均存在滯后效應，因此本文重點考慮了累計地下水開采量和第4含水層累計變形對累計地面沉降的影響，建立相應的PDL模型為：

(1)

式中：c為常數項；μt為滿足線性回歸模型古典假設的隨機誤差項；Yt為地面沉降當期預測值；Ht-i為累計地下水開采量歷史值；St-i為第4含水層累計變形歷史值；βi累計地下水開采量影響因子參數；γi為第4含水層累計變形影響因子參數；M為地下水開采量滯后期數；N為第4含水層變形滯后期數。在實際建模過程中，為了減小隨機誤差異方差性的影響，可以考慮將自變量和因變量取對數處理。由于年地面沉降正負值均有出現無法取對數計算，因此本文在建模過程中自變量和因變量統一采用累計值進行處理。

2.2 滯后期數確定

對于滯后期數，可以通過理論大致確定，但在很多復雜情況下無法直接通過理論得到，而需要通過對樣本數據的分析及相應的判定方法和準則才能確定合理的滯后期數。本文采用修正的可決系數法和赤池信息準則、施瓦茨準則來進行滯后期數的判定，其方法都是通過添加滯后變量使得可決系數及兩個判定值不再減小為止。

(2)

式中：T為樣本容量；k為自變量個數。

2.2.2 赤池信息準則和施瓦茨準則 在確定具體滯后期數時需通過遵循赤池信息準則(AIC)和施瓦茨準則(SC)來判定，其檢驗過程同樣是在模型中逐期添加滯后變量，直到AIC和SC的值不再降低為止，即選擇使二值達到最小的滯后期數。一般來說，赤池信息準則適用于小樣本數據分析，二者的表達式為：

(3)

(4)

式中：RSS表示殘差平方和；T為樣本容量；k為自變量的個數

2.3 影響因子確定

對于滯后期數已知的分布滯后模型，可以通過經驗加權法、阿爾蒙多項式法等進行修正，以消除多重共線性的影響。本文采取阿爾蒙多項式確定影響因子，用一個關于滯后期i的次數較低的m多項式逼近，該多項式為：

βi=α0+α1i+α2i2+α3i3+…+αmim

(i=0,1,2,3,…,n)

(5)

將阿爾蒙多項式變換代入模型并整理，模型變為如下形式：

Yt=c+α0Z0t+α1Z1t+α2Z2t+…+αmZmt+ut

(6)

式中：Z0t=Ht+Ht-1+Ht-2+…+Ht-i

Z1t=Ht-1+2Ht-2+3Ht-3+…+iHt-i

Z2t=Ht-1+4Ht-2+…+i2Ht-i

?

Zmt=Ht-1+2mHt-2+…+imHt-i

對于公式(5)，在滿足古典假定的條件下，可用最小二乘法進行估計。將估計參數代入阿爾蒙多項式，就可以求出原模型參數估計值。但在實際的應用過程中，多項式的次數m通常取得較低，且不超過滯后期數，一般可取2或者3進行計算，很少情況會超過4，本文取m=2。

3 實例分析

現根據上述公式推導過程，考慮累計抽水量和第4含水層累計變形量建立多項式分布滯后模型。本文基于1989—2010年監測數據進行建模，通過2011—2018年的結果對比驗證該方法對于上海市地面沉降預測分析的合理性及適用性，在此基礎上對2019—2024年的地面沉降進行預測。

3.1 確定多項式分布滯后模型

根據上述研究及監測數據，首先確定各多項式的滯后期數，再根據阿爾蒙多項式變化求得累計地下水開采量和第4含水層累計變形的影響因子參數，最后根據時間序列運用EViews軟件求得多項式分布滯后模型。在確定滯后期數時，根據EViews軟件可判定兩個自變量的最大滯后期為3，在此基礎上根據判定準則對滯后期數進行進一步確定，結果如表1所示。從表中可看出，當選取抽水量滯后期數為3，第4含水層變形量滯后期數為2時可使調整后R2最大而AIC和SC值最小。

表1 抽水量及第4含水層沉降量滯后期數表

在確定滯后期數和相應參數后即可求得上海市地面沉降多項式分布滯后模型，計算公式為：

lnYt=-2.515 7-0.684 4lnHt+0.42lnHt-1

+0.710 7lnHt-2+0.187 8lnHt-3+0.139 7lnSt

-0.224 5lnSt-1+0.193 3lnSt-2

(7)

3.2 結果分析

通過公式(7)可以計算出1993—2018年的地面沉降值，結果如圖3所示。由1993—2018年累計沉降量的計算值與實際值分析對比可知，計算值與實際值非常接近，其中1993—2018年的建模階段相對誤差為0.05%～2.18%，2011—2018年的預測階段相對誤差在1.9%～4.19%，擬合效果較為理想。由1993—2018年年地面沉降計算值與實際值對比分析可知，計算值與實際變化趨勢一致，可見PDL模型可以較為準確地反映出沉降滯后的現象。

3.3 地面沉降預測

由上述分析可知，PDL模型充分考慮了上海地面沉降相對地下水抽取和第4含水層沉降的滯后性，且具有較好的擬合效果，因此可以采用該種方法對未來地面沉降進行預測?，F假設地下水開采格局與第4含水層變形量與當前一致，由此建立表達式對地面沉降進行預測。結果發現，在該種情況下，2019—2024年間地面將會發生持續穩定的輕微回彈現象，可見近年來控制地下水開采量對減輕地面沉降具有較為明顯的效果。

圖3 地面沉降計算值與實際值對比

4 結 論

(1) 對上海市而言，累計地面沉降與累計抽水量和第4含水層累計變形之間都具有較高的正相關性，且抽水量和第4含水層變形量與地面沉降之間存在著滯后關系。

(2) 建立的PDL模型充分考慮了地下水開采量和第4含水層變形對于地面沉降的滯后影響，且通過建模分析發現，地面沉降的計算值與實際值之間的相對誤差很小，基本在3%以內，計算結果也能夠較好地反映出地面沉降的變化規律，驗證了PDL模型對于上海市地面沉降分析預測的適用性。

(3) 在考慮當前開采量和第4含水層變形量不變的情況下對2019—2024年地面沉降進行了預測，結果發現2019—2024年間地面將會發生持續穩定的輕微回彈，可見控制地下水開采對于減輕地面沉降具有較為顯著的作用。

(4) 本文基于上海市長期監測數據，結合上海市地面沉降的特征，改進了以往PDL沉降預測僅考慮單項影響因素的方法，同時考慮了地下水抽灌量和土層變形兩個重要因素對于上海市地面沉降的影響。但由于近年來工程建設等原因對于地面沉降的影響權重逐步增大，在未來的工作中可以考慮加入工程建設等因素建立相應表達式，對上海市地面沉降做出更為合理和精準的預測。