基于盒維數的水系分維值估算

鄭 楠 炯

(廣東省水利電力勘測設計研究院，廣州 510635)

經典幾何圖形維數是整數的，1967年曼德爾布羅特(B B Mandelbrot)在研究“英國的海岸線有多長”的問題時，發現海岸線圖形面積的有限性而隨著測量精度的提高其長度的無限增大性，維數介于1～2之間[1]，從而開創了分形(Fractal)幾何學[2]。分形對象具有自相似性和標度不變性兩個特征，分形學描述了自然復雜幾何體的內在規律，廣泛運用到地貌學、物理學、化學和生物學等不同學科研究中。分維數有Hausdorff維數、信息維數、盒維數等多種定義，其中盒維數在所有學科測量中運用最廣[3]，適用于自相似的形狀，也適用于非自相似的形狀，甚至適用于高維空間的對象[4]。

河流水系具有分形特征，分維值反映了河流的復雜程度，分維值越大，水系發育越成熟，水系的復雜度和密集度越高[5-9]。何隆華等[10]根據水系分維數將流域地貌發育階段劃分為3個時期：幼年期、壯年期和老年期，王玉成等[11]計算不同時期水系分維值以研究水系演化過程，小流域早期發育活躍，分維值增大，后期流域趨于穩定，分維值稍有減小；白玉川等[12]研究表明小尺度的分形維數主要反映河彎的發育情況，大尺度的分形特征則反映流域地形的不規則性，朱曉華等[13,14]統計并比較中國各流域水系分維值，大陸水系維數值為1.416 9，其值在平原地區比較大，在山地丘陵區相對較小；Dombrdi等[15]分析地形空間變異與水系分維值的關系，研究表明抬升地形，分維值較大，下陷地形則分維值較小，馬宗偉等[16,17]研究長江中下游和贛江流域水系分形特征與徑流的關系，分維值越高，河網密集，調蓄能力越強，洪澇干旱災害的可能性越低。

水系分維值的盒維數法計算研究中，有學者以一定比例尺的實際河網掃描圖作為底圖計算分維值[10,18,19]，有學者利用DEM提取數字河網作為底圖計算分維值，其中有選擇不同精度的DEM源[20～24]，有不同匯流閾值的確定方法，如以河網密度-閾值關系變化趨勢確定[25-27]，以分維值-閾值關系變化趨勢確定[28,29]，或選擇與實際河網比較符合時的數字河網的閾值[30]。

本文利用Arcgis平臺基于兩種精度DEM提取華南地區泗合水流域河網和韓江流域及其子流域河網，采用盒維數法計算系列閾值下的可能水系分維值，并與實際河網計算的分維值比較，探討不同DEM精度、匯流閾值、河網圖源、子流域劃分及流域面積對盒維數法計算水系分維值的影響，為水系分維值的盒維數法計算研究提供參考。

1 研究區域概況

1.1 泗合水流域

泗合水流域位于廣東省珠江三角洲西部的潭江支流，東經112°22′～112°37′，北緯22°32′～ 22°45′。流域集水面積131 km2，干流總長度26 km，河床比降0.281%，屬于亞熱帶季風氣候，多年平均降雨量1 696 mm，多年平均蒸發量868 mm。地形以丘陵為主，200 m高程以下占93.8%。土地覆被為多樹草地、作物地等，以人工經濟林為主。

1.2 韓江流域

韓江流域覆蓋廣東東部、福建西南部、江西東南部，包含汀江、梅江、韓江等，東經115°13′～117°09′、北緯23°17′～26°05′。流域集水面積30 112 km2，干流總長度428 km，河床平均比降0.039%，屬亞熱帶季風氣候，多年平均降雨量1 407～2 143 mm，多年平均蒸發量996～1 406 mm。地勢自西北和東北向東南傾斜，丘陵與谷地相間，山地占總流域面積的70%。山地丘陵的植被是以馬尾松為主的次生林地，臺地、盆地和平原多為農作物。考慮三角洲數字河網提取的不準確性，本文研究的韓江流域不包含潮安水文站以下的沿海三角洲區域(集水面積1 035 km2)，研究區域地理位置見圖1。

圖1 研究區域地理位置及高程分布Fig.1 Geographical location and elevation distribution of the study areas

2 研究方法

2.1 流域水系的提取

研究模型的是利用DEM(Digital Elevation Model，數字高程模型)提取矢量河網，進行分維分析。DEM數據來源一般有影像測量、地面測量、已有地形圖數字化等幾種途徑。本文的DEM數據采用中國科學院計算機網絡信息中心的地理空間數據云(http:∥www.gscloud.cn)提供的兩種分辨率的DEM：分辨率90 m的SRTM DEM和分辨率30 m的GDEM DEM。SRTM DEM(航天飛機雷達地形測量)水平分辨率為90 m，標稱絕地高程精度是±16 m，置信度為90%，標稱絕對平面精度是±20 m；ASTER GDEM(先進星載熱發射和反射輻射儀全球數字高程模型)水平分辨率為30 m，垂直精度是±20 m，水平精度是±30 m，置信度為95%。

采用Arcgis平臺的水文分析模塊對DEM進行填洼(Fill)、計算匯流方向(Flow Direction)、生成匯流柵格(Flow Accumulation)、確定流域邊界(Watershed)和提取數字河網(Stream to Feature)等，泗合水流域以雙橋水文站(112°35′21″，22°34′32″)為流域出口點，韓江流域以潮安水文站(116°39′0″E，23°40′0″N)為流域出口點，生成兩種精度的數字河網[31]。

不同的匯流閾值生成疏密不同的河網，多尺度匯流量閾值下的水系分維值更精確[32]，匯流柵格閾值的確定采用枚舉法，匯流網格單元數從最小值1逐漸增大到提取的河網十分粗糙為止，如匯流面積閾值5 km2(面積閾值=單元格面積×柵格數閾值)，得到一系列不同密集度的河網，用于分析閾值與水系分維值的關系。

2.2 盒維數法

盒維數反映了物體對空間填充的程度，具有統計意義上的分形特征，反映河網的復雜程度，分維值越大，河網越復雜。河網越密集，河網落在分形盒子的幾率更大，相應計算出的分維值越大。盒維數法是用相同網格去覆蓋分形對象，統計網格尺寸和所覆蓋的網格數量，計算過程只考慮圖形的分布，計算簡單和方便，是應用最廣的維數之一。

對于不是自相似的結構，比如流域水系，將分形對象分別置于不同網格尺寸s的網絡中，相應分形對象包含的網格數目N(s)。

N(s)∝s-D

(1)

雙對數圖中用一條直線去擬合系列點[s，N(s)]，該直線的斜率的絕對值即為對象的分維值D[1]。

lgN(s)=-Dlgs+C

(2)

式中：D為分維值；s為網格邊長；N(s)為網格數；C為待定常數。

分形對象具有自相似性，物體的任何小部分與整體相似，分形對象不具有特征長度，即無標度區間，盒維數法系列網格邊長就是無標度區間，為了使數據對在對數坐標系統的橫坐標方向上是均勻分布，一般網格的邊長取為[33]：

si=2is0,i=1,2,…,n

(3)

式中：s0為最小的網格單元邊長。

本文最小網格單元邊長取10，無標度區間取[10，20，30，50，100，150，…，500，800，1 000]，研究的流域水系在該區間內表現出較好的分形特征，相關系數在0.97以上。

2.3 模型的建立

Arcgis平臺下，設置不同的閾值提取數字河網，再柵格化(Feature to Raster)，轉換成不同網格單元大小(s)的柵格圖，此過程等同于盒維數法的盒子覆蓋(圖2)，統計柵格數目[N(s)]，對s和N(s)進行線性回歸分析，斜率的絕對值即為分維值。利用Arcgis平臺的模型構建器(ModelBuilder)建模(圖3)，實現批量化處理及結果輸出，避免了重復性人工操作并提高了計算效率。

圖2 矢量河網柵格化成不同邊長的網格圖Fig.2 River network gridding with different side lengths

圖3 計算水系分維值流程圖Fig.3 Flow chart of calculating drainage fractal dimension

3 結果與分析

3.1 流域水系分維值

提取泗合水流域和韓江流域兩種DEM精度的數字河網，提取的數字流域面積與實際流域面積接近，但存在一定的誤差(見表1)，這與DEM的精度以及河網提取方法等有關。

表1 泗合水流域和韓江流域面積對比Tab.1 Area comparison of Siheshui basin and Hanjiang River basin

泗合水和韓江流域部分匯流閾值的河網的分維值D和s與N(s)線性回歸分析的相關系數R2列于表2。泗合水流域R2大于0.98，韓江流域R2大于0.97，s與N(s)擬合相關性好，研究的水系分別在無標度區間內統計自相似，表現出較好的分形特征。

表2 泗合水和韓江流域在部分匯流閾值下的水系分維值和相關系數Tab.2 Drainage fractal dimension and the correlation coefficient in some conflux threshold values of Siheshui basin and Hanjiang River basin

枚舉匯流閾值，得到流域可能的系列水系分維值，見圖4。

圖4 泗合水流域和韓江流域系列水系分維值Tab.4 Series of drainage fractal dimension of Siheshui basin and Hanjiang River basin

3.2 DEM分辨率對盒維數法計算分維值的影響

不同DEM源由于水平精度和垂直精度的差異，提取的流域及河網信息存在差別，劉遠等[34]研究表明，90m精度的SRTMDEM提取的河網精度較高。由圖4，在不考慮河網精度的前提下，泗合水流域和韓江流域分別基于兩種DEM計算的流域水系分維值較為接近，且有著相同的變化趨勢。韓江流域在匯流柵格數閾值為1時兩種DEM計算的分維值差別較大，這是由于最小匯流面積閾值不同造成河網密度的不同，30m精度的最小閾值是0.000 9km2，90m精度的是0.008 1km2。在不考慮河網精度的前提下，泗合水流域和韓江流域分別基于兩種DEM計算的流域水系分維值較為接近，且有著相同的變化趨勢。因此，基于兩種分辨率DEM對盒維數法計算水系分維值差別不大。

3.3 匯流閾值對盒維數法計算分維值的影響

閾值的確定在河網的提取過程中起著關鍵性作用，閾值決定提取生成河網的密度和精度，隨著設定閾值的增大，河網密度會呈現指數降低的趨勢。匯流柵格數取最小值1時，生成的河網最為密集，河網分級最為復雜，水系分維值達到可能最大值，由圖4，泗合水流域水系分維值最大是1.723 8，韓江流域水系分維值最大是1.804 0。匯流面積閾值從最小值增加到0.5km2時，泗合水流域和韓江流域分維值驟減，變化明顯。隨著閾值逐漸增大，水系越稀疏，河網分級結構越簡單，趨勢線出現一個拐點，分維值變化平緩，逐漸減小至趨于1(大于1)，河網概化變成一維圖形，此時分維值與匯流閾值無關，楊錦玲等[35]研究也表明水系分維值隨匯流閾值增大而減小的變化關系。選擇合理的匯流閾值對盒維數法計算數字河網的分維值至關重要。

3.4 河網圖來源對盒維數法計算分維值的影響

實際河網形狀是確定的，對應的數字河網是唯一的，水系分維值也是唯一確定的。準確的水系分維值應由實際河網計算求得。以韓江流域為例，課題組已描繪了兩種比例尺的韓江流域標準河網(圖5)，由于測量的比例尺不同，實際河網也表現出不同的疏密程度，現將標準河網柵格化，統計并進行線形回歸分析(圖6)。

圖5 韓江流域不同比例尺實際河網Fig.5 Actual river network of Hanjiang River basin in different scale

圖6 韓江流域大小比例尺下實際河網的s與N(s)的關系曲線Fig.6 Relationship curve between s and N(s) of actual river network of Hanjiang River basin in different scale

由圖6，韓江流域小比例尺實際河網的分維值1.005 6，大比例尺分維值1.029 1，二者數值相差不大，大比例尺河網更為細致，分維值比小比例尺的稍大。水系分維值反映了水系的發育程度，韓江流域分維值低，河流發育尚未成熟。對比基于90m的SRTMDEM提取的數字河網，閾值40km2的數字河網與小比例尺河網較為吻合，分維值1.017，相差1.1%；閾值4km2的數字河網與大比例尺河網較為吻合，分維值1.026 9，相差0.2%。匯流閾值是基于DEM提取數字河網的一個重要參數，不同的閾值所提取的河網密度不同，所計算的分維值不同。選擇合適的閾值使數字河網與實際河網吻合時，數字河網的水系分維值具有參考意義，一定程度上可以代表實際河網的分維值。

3.5 子流域劃分及流域面積對盒維數法計算分維值的影響

前文分析了不同規模流域的分維值(圖4)，其中泗合水流域是珠江流域的小流域，韓江流域是廣東省除珠江流域以外的第二大流域。不同流域面積的水系均具有分形特征，二者分維值隨匯流閾值改變表現出相似的變化規律。

大型水系是一種多重分形[5]，為研究大流域與子流域的分維值關系，將韓江流域內9個水文站點定為流域出口，劃分為9個獨立的不套合的子流域并以水文站命名子流域。選用SRTMDEM進行韓江子流域分維值的計算分析，韓江子流域劃分見圖7，整個流域及9個子流域隨閾值變化的分維值繪于圖8(a)，每個子流域系列分維值取平均值，與流域面積的關系繪于圖8(b)。

圖7 韓江流域水文站點及子流域分布Fig.7 Distribution of hydrologic stations and sub basins in Hanjiang River basin

圖8 韓江流域的9個子流域分維值Fig.8 Fractal dimension of 9 sub basins in Hanjiang River basin

由圖8(a)，如同整個韓江流域，9個不同面積的子流域分維值隨匯流閾值增大呈先驟減后平緩減少趨勢，同一閾值下各子流域分維值的變差系數皆約0.004，子流域平均分維值范圍是1.047 0～1.055 3 ，極差0.008 3，表明各子流域同一閾值的分維值相當。縱向上，整個流域分維值總體比相應閾值下各子流域平均分維值稍大，相差值小于0.012；橫向上，韓江流域和子流域系列分維值的平均值分別是1.055、1.050，二者相差0.44%，總體上大流域分維值等于其子流域分維值的平均。不同子流域，流域面積和地形等因素各有差異，分維值相應地稍有不同，其中觀音橋流域分維值最大，數字流域面積378km2，位于韓江流域的北部、武夷山脈北麓高丘陵地帶，是汀江的發源地，山地穿插，平均高程約650m；水口流域分維值次之，數字流域面積5 441km2，位于韓江流域西南部、武夷山脈南麓低丘陵地帶，地勢平坦，平均高程約300m；楊家坊流域分維值最小，數字流域面積754km2，位于韓江流域東北部，流域四周山地環繞，內部較平緩，平均高程約600m。線性回歸分析分維值與流域面積的關系[圖8(b)]，相關系數0.267 3，二者表現不相關，分維值與流域面積大小無關。

綜上，流域水系發育均勻，地貌較為一致時，水系具有較強的統計自相似性，同一流域不同面積大小的子流域的水系分維值相近，分形特征明顯，分維值與面積無關。

3.6 誤差分析

盒維數反映了對象對空間填充的程度，流域水系分維值反映河網的復雜程度，河網越復雜，分維值越大。基于DEM提取河網并計算的水系分維值，受匯流閾值的影響明顯。不同匯流閾值的設定，生成不同疏密程度的河網，最終導致河網的分維值浮動。

4 總結與討論

運用Arcgis平臺基于兩種精度DEM提取泗合水流域河網和韓江流域及其子流域河網，采用盒維數法計算系列閾值下的水系可能分維值，并與實際河網計算的分維值比較，分析水系分維值與DEM精度、匯流閾值、河網圖來源、流域面積的關系，結果表明：

(1)泗合水流域河網的分維值相關系數R2大于0.98，韓江流域R2大于0.97，s與N(s)擬合相關性好，研究的水系分別在無標度區間內統計自相似，表現出較好的分形特征。

(2)不考慮河網精度前提下，基于30和90m分辨率的DEM對盒維數法計算水系分維值影響不大。

(3)基于DEM計算的流域水系分維值受匯流閾值影響，隨閾值的增大，分維值驟減后平緩減小至趨于1，有明顯的拐點。

(4)準確的水系分維值應由實際河網求得，選擇合適的匯流閾值使得數字河網與實際河網吻合時，數字河網的分維值一定程度上可以代表實際河網的分維值。

(5)流域水系發育均勻時，具有較強的統計自相似性，整個流域的水系分維值與流域內的不同子流域水系分維值相近，水系分維值與流域面積無相關關系。

盒維數法計算水系分維值具有不確定性，基于DEM計算時，不同匯流閾值下水系分維值不同；基于實際河網計算時，由于測量比例尺的不同，河網密度不同，也導致水系分維值的差異。利用盒維數計算水系分維值時，提取河網的閾值和標準實際河網的選定需要一個合理的標準。此外，水系分維值是否可以作為單一指標衡量河網的發育程度以及對河網發育程度的定量描述上，有待進一步研究。

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