磁場設置問題中“思維定式”產生的原因及應對策略

林利凡

(浙江省甌海中學 浙江 溫州 325000)

帶電粒子在勻強磁場中的運動一直是高考的熱點所在，而磁場設置問題更是其中的難點.但由于學生學業水平的限制，此類題目只能是“萬變不離其宗”，因此,容易造成學生在“思維定式”作用下“死套模型”的行為.在習題練習中，學生應當避免這類過于關注正確結果而忽視思維過程或“生搬硬套”物理模型而導致邏輯不清的現象發生，需要進行多角度、多層次、多途徑的探索.

以下，筆者將從3類典型磁場設置問題的模型中對相關問題進行探討.

模型一:圓形磁場發散

圖1 模型一圖

【例1】如圖2所示，在xOy平面內有許多電子(質量為m，電荷量為e)，從坐標原點O不斷地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限.現加上一個垂直于xOy平面向內的磁感應強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過該磁場后都平行于x軸正方向運動，試求出符合該條件的磁場的最小面積(不考慮電子的重力以及電子之間的相互作用).

圖2 例1題圖

圖3 例1解析圖

因此,各電子離開磁場的出射點均應位于圓弧a2上.做出沿y軸方向射出的電子的軌跡圓弧a1.使圓弧a1與圓弧a2構成磁場區域，由幾何關系得

拓展分析:在上一種情況中，電子都直接由O點進入磁場.進一步聯想，我們還可以試著去探究電子進入第一象限后先做勻速直線運動，后做勻速圓周運動的情況.

圖4 先做勻速直線運動后做勻速圓周運動分析圖

圖5 磁場區域面積分析圖

思考:這道題目其實從正面的思考角度很難嚴密地論證得到最小面積.解析僅證明電子都由O點進入磁場的情況中的最小面積.但我們還應去思考不同運動情況下的磁場設置，以此來完善解答.相較而言，第二種情況通過數形結合的方法能更好地闡明情況.因此面對這類題目，我們應當從更嚴謹、更全面的角度去分析.

模型二：圓形磁場聚焦

【模型二】如圖6所示，有一個圓形勻強磁場區域，從磁場邊界上以相同速度方向垂直于磁場入射的相同帶電粒子會聚焦于磁場邊界上的同一個點.此為“磁聚焦”模型.

圖6 模型二圖

【例2】如圖7所示，ABCD是邊長為a的正方形，質量m，電荷量為e的電子以v0的速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域.在正方形內適當區域中有勻強磁場.電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場.不計重力，求：(1)此勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大小；(2)此勻強磁場區域的最小面積.

圖7 例2題圖 圖8 例2解析圖

圖9 以D為圓心，a為半徑，構建圓形磁場

拓展分析:上面的情況中，電子先做勻速直線運動，進入磁場后再做勻速圓周運動聚焦于A點.根據逆向思維，我們自然想到電子也可能先做勻速圓周運動，再做勻速直線運動.

首先，半徑同樣求得為a.如圖10所示，我們由A點在每一個電子的軌跡圓上構造切線，使切點相連.由幾何方法證得，切點連線方程為

則使切點連線、C點入射電子軌跡圓弧a1與邊BC構成磁場區域.在磁場中，電子入射后會偏轉至切點射出，后做勻速直線運動匯聚于A點，該情況同樣滿足條件.

圖10 拓展分析圖

思考:在前兩種情況中，電子的運動過程相反卻呈現出相同的結果，可見物理運動的對稱統一.

但是在分析過程中，我們還應該把握題目要求，避免“千慮而一失”，終成大錯.比如在拓展分析的情況里，磁場區域看似滿足條件，實則并不符合題目中“都只能從A點射出磁場”的要求.若我們將題目改成“都只能從A點射出”，則分析二中的情況成立.但又是這樣一點改動，會使得題目無解.

圖11 電子軌跡圓弧a1與邊BC圍成磁場區域

因此我們不能夠因為物理運動中存在對稱統一而陷入思維慣性，不能因為有新的發現而忘記前提要求.

模型三:組合磁場偏轉

【模型三】在前文，我們探究了“磁發散”和“磁聚焦”兩種模型.而組合使用“磁發散”和“磁聚焦”模型，可實現帶電粒子的對稱偏轉，即兩個模型水平設置時，同一帶電粒子的入射速度與入射點處切線的夾角和出射速度與出射點處切線的夾角相等,如圖12所示.

圖12 模型三圖

當帶電粒子出、入射角度范圍為直角時，往往可以得到圓形磁場中的“樹葉形”磁場來實現發散和聚焦的功能.如圖13所示，由圓弧a1和圓弧a2組合成的“樹葉形”磁場面積

圖13 由圓弧a1和圓弧a2組合成的“樹葉形”磁場面積

【例3】如圖14所示，質量為m,電荷量為e的電子從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限內，射入時的速度方向不同，但大小均為v0.現在某一區域內加一方向向里且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度大小為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求：所加磁場范圍的最小面積.

圖14 例3題圖

圖15 例3分析圖

結合沿x軸正方向入射電子的軌跡，與沿y軸正方向入射電子的軌跡，使圓弧a1，圓弧a2和圓弧a3構成磁場區域，如圖15所示.則可求得最小面積

拓展分析：我們可以嘗試利用“磁發散”和“磁聚焦”模型的組合來實現電子的對稱偏轉，將問題轉化為更熟悉的樣子.

如圖16所示，構造兩個“樹葉形”磁場區域，半徑都為r.接著再構造圓形磁場區域，結合沿x軸正方向入射電子的軌跡與沿y軸正方向入射電子的軌跡，得到必要的磁場區域.求得組合磁場面積

圖16 組合磁場面積分析圖

延續上一種情況中的思想，我們可以繼續嘗試.

如圖17所示，構造一個“樹葉形”磁場區域，半徑為r.接著構造磁場區域，使從射出磁場的電子都進行180°偏轉.磁場區域等同于平移半圓時，圓周劃過的軌跡區域.求得組合磁場面積

圖17 拓展分析組合磁場面積

思考:在這道題目中，我們結合已知的模型，通過構建組合磁場求得了真正的最小面積，可見物理模型組合的多樣性.

學生可能感到疑惑：在題目中由于電子在不同情況里在磁場中的偏轉情況相同，因此求得的面積也應該相同，但為什么解答求得的面積卻各不相同？

事實上，在將軌跡圓弧拆分后，再重新組成的區域中，軌跡或許會有重合，又或許分離，這種軌跡組合的“緊密”程度導致求出不同的磁場面積.因此在考慮此類最小面積的問題時，我們還需全面分析，謹慎考慮.

綜上所述，可以發現學生一般容易像“解析”的情況中較武斷地進行思考，為了得到答案而答題，忽略解題邏輯，陷入“思維定式”.

英國哲學家培根說:“如果你從肯定開始，必將以問題告終；如果你從問題開始，則終以肯定結束.”所以在習題練習中，學生應該在教師的指導下進行更深一步的邏輯探索，激發求異思維和批判思維.

同時，學生要鍛煉“一題多想”的能力，多進行類似問題的訓練，多發現問題，思考總結，以此來避免“思維定式”的影響.