初中數學教學融入數學文化的途徑與策略

摘 要 數學文化的融入，主要靠合法的邊緣性參與 .初中數學教學融入數學文化的主要途徑有三種：以培養自主自律的學習習慣 為切入點，教學生初步學會學習數學，培養初步的數學品味.培養數學學習習慣的策略有激發內在動機，著重培養數學學 習的專注力與自律性;學會學習數學的策略有學會聽數學課、學會數學閱讀、學會數學思考;培養數學品味的策略有洞察 數學大概念，明確初中數學基本問題，初步學會鑒賞數學題.

關 鍵 詞 數學文化;融入途徑;融入策略

文化，簡而言之就是人們的行為習慣、思維方式 與價值觀念.我們習以為常的家族聚居，是儒家文化 下的行為習慣.中庸之道是儒家文化下的主要思維方 式之一，立德立言立功是儒家的主要價值追求之一. 數學文化，主要表現為思維方式與價值觀念，也就是 2017年版高中課程標準所說的數學的思想、精神、語 言、方法、觀點，以及它們的形成與發展和在社會中的作 用.^[1]融入數學文化，就是逐步變成數學家那個樣子 ——與數學家具有相同的習慣、品性、思維方式與價 值追求 . 小學階段，數學文化主要體現在行為層面 ——數學學習習慣.初中階段，數學文化的表現演變 為較為自主、自律的學習習慣與初步學會學習數學， 也孕育著初步的數學品味.文化的學習與融入，主要 是浸潤性的潛移默化.如在某個地方生活久了，潛移 默化地帶有了這個地方的口音，或者是合法的邊緣性參 與形成默會知識.^[2]如學生跟著教師聽課，觀摩教師的 示范，遵照教師的指令做練習作業，部分學生在學會 數學的同時，逐漸學會了學習數學.初中生在進一步 形成學習習慣時，也潛移默化地初步養成專注、自律、 嚴謹等品質.

一、融入數學文化的切入點：激發內在動機，培 養自主自律的學習習慣

小學已經培養了初步的數學學習習慣，如上課常 規、作業常規.這些學習習慣以他控為主，自控性差. 小學生缺乏維持這些學習習慣的內在動機.小學生的 數學學習，主要是滿足自己的好勝心，維持與教師、家 長的親密社交氛圍，避免教師家長的批評.一些小學 生對算得快感興趣，主要是為了滿足好勝心，不是真 正對數學感興趣. 小學生活潑好動、注意力集中時間 較短，自律性差，缺少數學學習所需要的專注、深思等 條件，很難形成對數學的真正興趣.小學生上課時數 學思維的自主性、主動性較弱.主要是跟隨教師的講 解，被動回應教師的提問，思考的時間短，程度淺，需 要觀察、操作、計算、討論輔助思考.課堂討論自控性 差，經常跑題.

初中需要培養自主自律的學習習慣，這是融入數 學文化的切入點.初中課堂容量加大，課堂節奏加快， 作業明顯增多.教師課堂組織教學的時間顯著減少， 家長輔導作業也有心無力.學生的學習責任顯著增 強，需要增加學習的自律性.學生進入初中，心智逐漸 成熟，有能力養成較為自主的學習習慣.教師要有目 的、有計劃地培養學生的自主學習數學的習慣.第一， 教會學生記筆記.學會記筆記是自主學習的首要表現 之一.初中數學課，需要適當記點筆記便于課后復習. 大部分學生不會記筆記.部分學生埋頭記筆記忽略了 積極思考，部分學生只顧聽課忽略了記筆記.這都是 缺乏學習自主性的表現.教師需要以自己為榜樣，示 范何時記筆記，怎么記筆記，如何兼顧聽課與記筆記， 課后如何整理筆記.講課中，適時指導學生怎么兼顧 聽課與記筆記，展示優秀筆記供學生模仿，課后及時、 個別反饋學生的筆記，幫助學生養成聽課記筆記的習 慣.第二，幫助學生養成自主參與課堂討論的習慣.自 主發起課堂討論或一對一交流，自主決定何時參與課 堂討論，也是學習自主性的一種表現.這種自主性的 表現需要課堂討論規范的支撐.教師要建立課堂討論 規范，示范、指導深度課堂討論的技巧，激發、支持學 生主動、適時參與課堂討論，提高討論的有效性.第 三，教師要示范、指導、反饋作業規范，尤其是利用草 稿輔助構建思路，督促學生及時交課堂、家庭作業，幫 助學生養成主動及時做作業并加以訂正的習慣.第 四，教師要鼓勵學生課后尋求個別答疑，指導學生如 何向教師、同學、家長、其他社會資源（如家教、網絡資 源等）主動尋求答疑.這也是學習自主性的表現.第 五，教師要指導學生形成主動梳理知識，及時復習的 習慣.習慣的養成，離不開教師的示范、指導、反饋矯 正.在這過程中，教師就是數學文化的化身.學生融入 數學文化，就是逐漸變得與教師的行為、品性、思路一 致.教師要表現得稚化一些，通過自己的榜樣作用，利 用學生的向師性，使學生通過模仿，合法的邊緣性參 與，形成適應初中數學學習的自主自律習慣.

自主自律學習習慣的形成與維持，需要內在動機 的支撐.首先，要激發數學興趣.興趣源于好奇.教師 基于數學的發展脈絡，激活知識生長點，易于激發學 生的好奇心.例如，由數的運算抽象到整式的運算，學 生源于好奇會感興趣.如計算200+3+400+5，用字母代 替數，令a = 100，b = 1，變成計算2a+ 3b+ 4a+ 5b，學 生會自主發現整式加法運算規則.學生會對這樣的抽 象感興趣，會進一步搜索自己的算術知識，擴展出新 的整式運算、新的代數式運算對象，如分式及其運算 規則.不斷地提出擴展問題會保持這種興趣，有利于 培養學生的自主學習習慣.其次，幫助學生確定合理 的學習目標.經由不大的努力就能達成的目標，有助 于學生經常體驗成功，建立自信，形成對自主學習習 慣的正反饋.再三，塑造可依賴的學習支持系統.對于 一時解決不了的問題，教師要鼓勵學生尋求學習支持 系統的個別幫助.學習支持系統的及時響應，有利于 強化學生的自主學習習慣.最后，指導學生形成正確 歸因，形成愛拼才會贏的學習信念，幫助學生培養自 律的學習習慣.

初中特別要培養數學學習的專注力與自律性.對 數學持續的興趣會形成專注力.易于引發學生好奇心 的高認知水平學習任務，容易激發學生持續的學習興 趣.圍繞著主題基本問題的系列擴展問題，是高認知 水平學習任務的一種.如圖形的性質是一個基本問 題.由三角形的性質，會擴展出等腰三角形的性質、直 角三角形的性質、平行四邊形的性質等系列問題.^[3] 這些滾雪球式的問題串會塑造學生的專注力.教師要 設計塑造專注力的學習環境，來培養學生的專注力. 如在課堂與課外設計系列高認知水平學習任務，課堂 留出充分的思考時間，有針對性地指導與反饋，師生、 生生間有針對性地深度交流 ，便利的圖書資源、網絡 資源及社會上的針對性學習支持系統.專注力帶來自 律.適量且多少有些挑戰性的作業、靈活的選做作業， 及時的作業批改與指導，也便于形成學生的自律性 .

二、融入數學文化的著力點：教學生初步學會 學習數學

學會學習，是學習自主性的體現.學會學數學，是 融入數學文化的著力點.

（一）要教學生學會聽課

認真聽講是主要的數學學習方式.^[4]小學生主要 是被動跟隨教師思路，想得少、淺 .初中生要學會在教 師啟發下自己想出一些知識.初中生有了一些數學知 識基礎，有點思維能力.當思路被激活了，自己就能想 出一些知識.想出來的知識與教材或教師講解的結論 驗證就行了.這有助于上課的松緊結合.自己想出來 的，速度快，記得牢，有高潮體驗，也是學習主動性的 一種體現.學生在自己主動思考基礎上，預見到學習 的關鍵點與難點時 ，去認真聽教師講解 ，有疑惑時主 動尋求教師答疑.教師需要激活知識生長點，設計有 效情境，提出恰當問題，多舉恰當樣例，比較不同樣例 與思路，優化學生思路，借此激活學生思路.教師講解 時要適當留白或布置思考任務，留給學生自主思考的 機會與時間.教師要教會學生聽課時記筆記，支持學 生邊聽邊想，通過計算、畫圖、操作輔助聽課 .

（二）教學生初步學會數學閱讀

初中生需要閱讀教材、讀懂試題、閱讀課外書，需 要有初步的數學閱讀能力.數學有獨特的閱讀方式 ——先有大致思路再驗證性閱讀、自主探尋有效信 息.閱讀過程中，要根據初步閱讀識別問題類型，調用 相關圖式形成自己的大致思路.再依據自己大致的思 路 ，尋找材料中的關鍵信息并做出解釋 ，印證自己的 思路或者否定自己的思路形成新思路.例如，“已知二 次函數y=mx²+ （1 - 2m）x+ 1 - 3m的圖像經過非坐 標軸上一定點p（q，$）···"在閱讀過程中，首先識別出是 定點問題.調用定點問題圖式，定點的坐標是常數，形 成大致思路：“不論m取何值時，該定點p（q，s）的橫、縱 坐標與m無關”，于是主動去尋找證據，驗證p（q，s）的 坐標與m無關.選擇考慮原表達式，整理為y= （x²- 2x- 3）m + x + 1，做出新的解釋，當x²- 2x-3 = 0 時，（q，s）的坐標與m無關.這就印證了自己的思路， 算是讀懂了題意.教師要通過出聲想、講解、指導等方 式，有目的有計劃地訓練學生的閱讀能力.

（三）教學生初步學會數學思考

學會初步的數學思考，是初中生自主學習能力的 體現，也是融入數學文化的主要策略.學會數學思考，就能夠自主提出一些數學問題，發現一些數學結論， 構造一些數學證明（解釋），提出一點數學觀點.

1. 掌握基本思路.

初中數學知識的發現、發展、論證、解釋，主要運 用幾種思路.初中生在教師指導下，不斷延續運用基 本思路，在學會數學知識的同時，也學會了基本思路. 如對零指數冪的學習.教師通過對負數產生過程的回 顧，指導學生領悟出負數產生的緣由.負數產生的原 因：一是理論上的需要，源于減法運算的不對稱（必須 要求被減數大于減數）;二是實踐也提出了像 2-3=？ 這樣的問題（存在性）;三是像借貸、凈勝球等現象也 給出了啟發性的算法，打開了理解之門.類似地，教師 提出同底數冪除法運算法則的不對稱現象（除法運算 法則多了被除數指數大于除數指數的限制），激發學 生思考解除這個限制，擴展同底數冪的除法法則.通 過引導學生考察像2³* 2³這樣一些個例，學生會發展 出零指數冪的概念.進而在教師指導下，進一步發展 出負整數指數冪、分數指數冪等系列概念.學生在學 習基本思路的過程中，開始只能獨立做部分思考，需 要教師不斷示范、指導 .教師在教學設計時要想清楚 數學知識的啟發性、存在性、可理解性、合理性與有效 性，以便指導學生形成完整基本思路 . 在教學時要通 過針對性復習，展示思維過程，激活學生思路，幫助學 生想到問題、想出結論、做出解釋論證.教師也要給學 生留出足夠思考時間，不能為了趕進度自己講出來.

1. 要學會質疑

質疑既是一種科學品質，也是數學思考的一種重 要方式.質疑可以發現數學問題，有助于找到新思路 得到新知識.如上述對同底數冪的除法運算法則的質 疑.再如，自然數來自計數.很多學生在小學認為，零 表示“沒有”，不會存在比“沒有”還小的數 . 從而不愿 接受負數.只有質疑計數是產生數的唯一方式，引導 學生轉換視角，才能接受負數比零小.這時，教師要提 供替代經驗，激活學生思路，幫助學生想過去，重組知 識，融會貫通 .

1. 要學會反思

學生在思考后要及時評估自己的學習狀態，總結 思考經驗.如自己最初是怎么想的，同學與教師又是 怎么想的 ，誰的思路更好？別的思路我為什么沒想 到？我擅長的思路是什么？鑒于我的特點，我能學會 另外的思路嗎？哪里我沒想過去，應該怎么想過去 . 哪里我走了彎路，我覺得今后應該怎么想更好 .這樣 的反思，會幫助學生根據情境與自身特點選擇和學習 策略與方法，幫助學生學會學習.為教會學生反思，教 師要做一些示范供學生模仿，要留出時間、捕捉時機， 給學生提供反思機會，也要指導、幫助學生學會反思.

三、融入學校文化的落腳點：培養初步的數學 品味

文化的核心，是價值追求.數學的價值追求，在初 中主要表現為數學品味.數學品味就是鑒賞、洞察對 學生來說最有價值的數學，或者在數學知識中發現對 學生來說最有價值的維度.進入課堂的數學知識，是 在上千年的過程中，為不同的目的創造出來的.很多 數學知識有不同的用處，其作用在數學史上也多次改 變.很多數學知識在數學中的重要性發生了改變，數 學家對它們的看法也有改變.面對眾多的數學知識與 每個知識的眾多維度，教師與學生需要數學品味幫助 選擇重點學習哪些知識、打開這些數學知識的哪個維 度.這也是融入數學文化的途徑之一 .初中生的初步 數學品味，主要體現在初步洞察初中數學的大概念， 初步明確初中數學的基本問題、初步鑒賞數學題.

幫助學生體驗、初步洞察數學的大概念.數學大 概念是數學品味的寬泛基礎.數學的大概念是指向數 學核心的一個概念、問題或者主題，是相關知識背后 的數學本質 .^[5]它作為理解數學的關鍵，能夠幫助學 生把各個知識點連接起來，有力地解釋數學知識，提 供對數學的深刻理解與洞見，具有較大的遷移價值. 比如算術中的運算律、代數中的符號、幾何中的證明 與變換、函數中的變化規律.學生自身不容易發現大 概念，需要教師揭示出來 . 如式的運算及其運算法則， 就是用符號代替數轉化來的.學生不容易發現，需要 教師有目的地設計教學，揭示出來.學生悟出這個道 理，就能像滾雪球一樣，利用自己的算術知識，發展出 更多的運算對象與運算法則.教師在教學時要利用大 概念啟發學生的思考，幫助學生選擇重點內容，幫助 學生利用大概念組織知識結構，幫助學生利用大概念 整合認知結構，初步塑造學生的數學品味.

幫助學生明確初中數學的基本問題.基本問題是 數學品味的主要表現.基本問題是指向學科核心，在 后續學習中重復出現的問題.^[6]它是學科大概念的表 現.能夠吸引學生，打開學生的思維，是學習學科核心 內容所必須.能夠促進學生對特定主題的深刻理解， 激發知識間的聯系與遷移.如初中幾何中的圖形性 質.它指向幾何核心，在幾何學習中重復出現，是幾何 大概念——變換和證明的典型表現 . 能夠引起對變換 和證明的持續探究，激發學生對先擁知識和過往經驗

進行有意義的聯系，吸引學生從不同視角切入探究， 形成不同觀點，用不同方法論證自己的觀點，激勵學 生對學科大概念與過往經驗進行持續反思與重組，為 遷移到其他圖形的探究中創造機會.激發學生對不同 圖形性質的深度思考、熱烈討論，形成新的理解.基本 問題幫助學生關注數學核心，學習最具價值的知識， 選做最有價值的數學題.塑造學生的數學品味.學生 自身不易洞察基本問題，需要教師在教學時，明確揭 示基本問題，持續圍繞著基本問題組織教學，幫助學 生在潛移默化中形成關于基本問題的默會知識.

教會學生初步鑒賞數學題.鑒定出好的數學題， 是數學品味的集中體現.數學教育在上百年的歷史 上，積累了汗牛充棟的數學題.學生需要學會鑒賞數 學題，選擇合理的數學題，訓練自己的數學能力.數學 教育史上創造了很多經典的數學題.這些數學題，體 現了數學的大概念，屬于基本問題，可推廣和一般化， 對當時的社會具有針對性，培養了大量的數學人才. 有些數學題目，隨著數學的發展與數學家認識的轉 變，變得沒有多少價值了，理應退出課堂.為了提高考 試區分度，一些教師以創新為名，在學科交會處命制 了一些數學題，部分新命制的數學題可能欠妥當.如 這題：

如圖1，已知△ ABC的三個頂點坐標分別為A（- 4，0）、B（l，0）、C（ - 2，6）.設拋物線與y軸交于點D， 連接AD交BC于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形 與 △ABC相似嗎？

該題是幾何函數知識的拼盤，牽強附會地湊在一 起.函數是研究變化關系與變化規律的，是通過變化 關系研究變化規律.核心是根據已知的自變量變化規 律和兩變量間的變化關系，研究因變量的變化規律. 圖像是研究函數變化規律的工具.該題在函數圖像上 取幾個點，構造幾何圖形，探討圖形形狀.它不是函數 的基本問題，也不是運用幾何的基本方法，更不是數 學大概念的表現，在數學史上從來沒有出現過，這與 融入數學文化背道而馳.融入數學文化，就是要學著 與數學家做同樣的事.數學家沒有考慮過的問題，依 據專長理論^[7]，顯然沒有學習、練習的價值.文化選擇 教育內容，數學文化選擇數學內容，傳承、規范、整合 數學的價值取向.教師要具有鑒賞數學題的能力，布 置給學生能夠傳承數學文化的典型數學題.學生每天 在做教師布置的數學題中，潛移默化地形成鑒賞數學 題的默會知識.針對教輔書中良莠不齊的數學題，教 師需要以數學大概念和初中數學的基本問題為標準， 有針對性地給學生示范如何鑒賞這些數學題，幫助學 生初步學會鑒賞數學題，加強數學品味，事半功倍地 學好數學.

參考文獻：

[1] 教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[S].北京： 人民教育出版社，2018：10.

[2] J·萊夫，·溫格.情景學習：合法的邊緣性參與[M].工 文靜，譯.上海：華東師范大學出版社，2004： 2.

[3] 章建躍.研究三角形的數學思維方式[J]數學通報， 2020（4）：1-10.

[4] 教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[M1].北京： 北京師范大學出版社，2012：2.

[5] 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設 計（第一版）[M1].上海：華東師范大學出版社，2016：6.

[6] 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設 計（第一版）[M1].上海：華東師范大學出版社，2016：121.

[7] 胡誼.專長心理學一一解開人才及其成長的密碼[M]. 上海：華東師范大學出版社，2006：74.

（董濤，福建師范大學數學與信息學院教授）

（責任編輯：萬丙晟）