懸鏈線形斷面正常水深與臨界水深的直接計(jì)算

何 育 聰

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 前 言

懸鏈線形斷面不僅在施工、制模過程中易于計(jì)算和控制，還具有防止土基凍脹破壞、抵抗外水壓力、受力條件好、輸砂率高、過水能力強(qiáng)及抵抗沖刷性能好等優(yōu)點(diǎn)[1,2]，因此，懸鏈線形渠道近年來在水利發(fā)電、灌溉排水和城市給排水工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用。

水力計(jì)算中的正常水深和臨界水深在工程設(shè)計(jì)中十分重要，應(yīng)用頻繁且有較高的精度要求。近年來，對于幾何形狀簡單的斷面如圓形、拋物線形斷面的水力計(jì)算，國內(nèi)外已有學(xué)者做出了大量研究，提出了不少的簡便算法[3-7]，在實(shí)際工程問題的解決過程中起到了很大的作用。懸鏈線形斷面正常水深和臨界水深的求解涉及高次隱函數(shù)方程，沒有解析解，求解困難，而且目前關(guān)于懸鏈線形斷面正常水深與臨界水深計(jì)算的研究較少。對于懸鏈線形斷面正常水深的計(jì)算方法有：滕凱，文輝，許曉陽[8-10]提出的直接計(jì)算式，黃開路[11]提出的迭代計(jì)算法;對于懸鏈線形斷面臨界水深的計(jì)算方法有：滕凱，陳誠，徐軍輝[12-15]提出的直接計(jì)算式。但這些公式都存在這使用范圍受限或精度不高的問題。鑒此，本文基于懸鏈線形斷面幾何特點(diǎn)，結(jié)合均勻流和臨界流基本方程，通過構(gòu)造牛頓迭代公式和迭代初值公式，提出了一種懸鏈線形斷面水力計(jì)算的直接算法。最后通過實(shí)例驗(yàn)證了計(jì)算方法的合理性。該計(jì)算方法不僅具有精度高、適用范圍大的特點(diǎn)；還可以為程序提供高精度、快收斂的迭代算法。

1 基本公式

1.1 懸鏈線形斷面的幾何特征及水力要素

懸鏈線形過水?dāng)嗝嫒鐖D1所示，懸鏈線形斷面的曲線方程為：

(1)

圖1 懸鏈線形過水?dāng)嗝鍲ig.1 Catenary-shaped cross section

過水?dāng)嗝嫠σ貫椋?/p>

(2)

(3)

(4)

式中：χ為濕周，m；A為過水?dāng)嗝婷娣e，m2；a為懸鏈線形斷面形狀參數(shù)(a>0)，m；B為水面寬度，m；x、y為曲線上任一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，m。

由式(2)、式(3)、式(4)可得：

(5)

(6)

(7)

1.2 懸鏈線形斷面均勻流和臨界流方程

根據(jù)《水力學(xué)》[16]知，均勻流基本方程為：

(8)

臨界流基本方程

(9)

式中：Q為渠道流量，m3/s；n為渠道糙率系數(shù)；i為渠道設(shè)計(jì)坡降；A為過水?dāng)嗝婷娣e,m2；χ為濕周，m；α為流速分布不均勻系數(shù)；g為重力加速度，取9.81 m/s2；Ak、Bk分別為臨界流過水?dāng)嗝婷娣e和水面寬度。

將式(6)、(7)帶入式(8)，整理可得：

(10)

將式(5)、式(7)代入式(9)，整理可得：

(11)

為方便分析，令：

(12)

(13)

(14)

式中：u為無量綱水深；k，t為無量綱參數(shù)。已知數(shù)學(xué)變換：

(15)

將式(12)、式(13)、式(15)帶入式(10)，整理可得懸鏈線形斷面均勻流方程：

(16)

將式(12)、式(14)、式(15)帶入式(11)，整理可得懸鏈線形斷面臨界流方程：

(17)

懸鏈線形斷面正常水深和臨界水深的求解問題即為式(16)、式(17)的求根問題。利用已知的n,Q,i,a可以求出k、t。將k、t分別代入式(16)、式(17)，并分別求根u,最后根據(jù)式(12)可以求得正常水深和臨界水深。

2 a值的確定

在設(shè)計(jì)懸鏈線形斷面時(shí)，通常只給出設(shè)計(jì)流量下對應(yīng)正常水深的水面寬度B和a的比值η=B/a，而不直接給出a的值。

將式(2)、式(3)帶入式(8)，整理得：

(18)

由式(18)可直接求得a的值，然后將a和η代入式(4)可以直接求出設(shè)計(jì)流量下正常水深h的值，即：

(19)

3 懸鏈線形斷面正常水深的直接計(jì)算公式

3.1 正常水深的牛頓迭代式

懸鏈線形斷面正常水深的求解問題就是非線性方程(16)的求根問題，對式(16)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換得到懸鏈線形斷面正常水深的牛頓迭代公式：

(20)

由式(20)迭代計(jì)算出無量綱正常水深u之后，將u代入式(12)即可求得正常水深。

3.2 u的取值范圍及合理迭代初值選擇

懸鏈線形斷面的水力最佳斷面的條件[2]是B/a=3.21223,將其代入式(4)可求得h/a=1.5921。以h/a=1.5921為中心，擴(kuò)展其取值范圍為[h/17a,17h/a]=[0.093 65,27.065 7],取[0.09,29.00]作為h/a的取值范圍，即u∈[1.09,30.00]作為本文正常水深直接計(jì)算公式的適用范圍。

迭代計(jì)算的精度與收斂速度不但和迭代公式的形式有關(guān)，還與迭代初值的選取有關(guān)。只有選取合適的迭代初值，才能有高的計(jì)算精度和快的收斂速度。運(yùn)用MATLAB，采用合適的函數(shù)模型，對千余組散點(diǎn)(k、u)進(jìn)行擬合分析，使擬合公式的相關(guān)系數(shù)最大，得到如下擬合公式：

u=1.087k0.741 1+0.230 8k1.367+0.995 9

(21)

將式(21)代入式(20)，只進(jìn)行一次迭代計(jì)算便得到正常水深的直接計(jì)算式：

(22)

式中：u=1.087k0.741 1+0.230 8k1.367+0.995 9。

4 懸鏈線形斷面臨界水深的直接計(jì)算公式

4.1 臨界水深的牛頓迭代式

懸鏈線形斷面臨界水深的求解問題就是非線性方程(17)的求根問題，對式(17)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換得到懸鏈線形斷面臨界水深的牛頓迭代公式：

uj+1=

(23)

4.2 u的取值范圍及合理迭代初值選擇

由文獻(xiàn)[13]可知，實(shí)際工程中無量綱臨界水深hk/a的取值范圍不會(huì)超出[0.537, 6.945]，即u不會(huì)超出[1.537, 7.945],本文擴(kuò)大其范圍取a∈[1.5,10.0]。

運(yùn)用MATLAB，采用合適的函數(shù)模型，對千余組散點(diǎn)(k、u)進(jìn)行擬合分析，使擬合公式的相關(guān)系數(shù)最大，得到如下擬合公式：

u=1.053t0.240 9+0.113 7t0.360 9+0.993 2

(24)

將式(24)為代入式(23)，只進(jìn)行一次迭代計(jì)算便得到臨界水深的直接計(jì)算式：

(25)

式中：u=1.053t0.240 9+0.113 7t0.360 9+0.993 2。

5 精度評價(jià)

5.1 公式的誤差分析

(28)

(29)

編程分別得到無量綱正常水深和臨界水深的初值公式和直接計(jì)算式的相對誤差分布曲線圖如圖2～圖5所示。

圖2 無量綱正常水深初值誤差分析Fig.2 initial value error analysis of dimensionless normal water depth

圖3 無量綱正常水深誤差分析Fig.3 dimensionless normal depth error analysis

圖4 無量綱臨界水深初值誤差分析Fig.4 error analysis of initial dimensionless critical water depth

對于本文的正常水深直接計(jì)算公式來說，初值公式的最大相對誤差為0.057 2%，一次迭代后最大相對誤差為5.33×10-5%；從圖(3)可以看出，當(dāng)u∈[1.8,30.0]時(shí)，最大相對誤差為1.78×10-6%。二次迭代后最大相對誤差可以減小到1.01×10-13%，精度比一次迭代提高了108倍。

對于本文的臨界水深直接計(jì)算公式來說，初值公式的最大相對誤差為0.052 3%，迭代一次后最大相對誤差為5.05×10-5%。二次迭代后最大相對誤差減小到4.71×10-11%，精度比一次迭代提高了106。

本文的懸鏈線形斷面正常水深和臨界水深公式的精度均遠(yuǎn)高于工程要求。

圖5 無量綱臨界水深誤差分析Fig.5 Dimensionless critical depth error analysis

5.2 與前人公式對比

現(xiàn)將已有的懸鏈線形斷面正常水深及臨界水深直接計(jì)算公式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將這些公式用統(tǒng)一的參數(shù)表示，結(jié)果如表1，表2。

6 應(yīng)用舉例

選擇文獻(xiàn)[17]算例：某斷面形狀為懸鏈線形的渠道，其設(shè)計(jì)流量Q=3 m3/s，渠道坡降i=1/1 500，糙率n=0.014，η=3.315。

在工程設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)流量可以直接求得正常水深的精確值；再用本文公式計(jì)算正常水深，從而對公式的精度進(jìn)行驗(yàn)證。臨界水深的精確值則通過編程迭代運(yùn)算得到：

表1 懸鏈線形斷面正常水深計(jì)算公式統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Statistics table of calculation formulas for normal water depth of catenary linear section

(1)正常水深精確值：將η、n、i、Q代入式(20)、式(21)，求得a=0.761 900 371 837 558,正常水深精確值h1=1.309 247 279 446 131。

(3)臨界水深精確值：利用迭代式(25)進(jìn)行編程，取g=9.81 m/s2。使得u的最后兩次迭代值的誤差小于10-15，得到u2=2.127 411 917 909 701，代入式(14)計(jì)算得到h2= 0.858 975 559 469 495。

7 結(jié) 論

結(jié)合懸鏈線形斷面幾何特征、水力要素和臨界流、均勻流其中t=αQ2/(4ga5)，h臨界=a(u臨界-1)。

表2 懸鏈線形斷面臨界水深計(jì)算公式統(tǒng)計(jì)表Tab.2 Statistical formula for calculating critical water depth of catenary linear section

基本方程，得到了懸鏈線形斷面臨界流與均勻流方程。通過引入合適的無量綱參數(shù)，對臨界流和均勻流方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到臨界水深和正常水深的牛頓迭代式，再利用優(yōu)化擬合原理得到臨界水深和正常水深的初值計(jì)算公式，一次迭代后得到正常水深和臨界水深的直接計(jì)算公式。最后對公式進(jìn)行誤差分析及比較，表明在工程適用范圍內(nèi)：無量綱正常水深的初值計(jì)算公式最大相對誤差絕對值為0.057 2%，直接計(jì)算公式最大相對誤差絕對值為5.33×10-5%；無量綱臨界水深初值計(jì)算公式的最大相對誤差絕對值為0.052 3%，直接計(jì)算公式的最大相對誤差絕對值為5.05×10-5%，遠(yuǎn)高于現(xiàn)有計(jì)算公式精度，且公式適用范圍廣、物理概念清晰，可以應(yīng)用于軟件算法。

□