基于Origin的夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射仿真實(shí)驗(yàn)及在教學(xué)中的應(yīng)用

劉慧豐

(中北大學(xué)信息商務(wù)學(xué)院 山西 晉中 030600)

從波動(dòng)光學(xué)角度出發(fā)，由于衍射現(xiàn)象的存在，一個(gè)點(diǎn)光源過(guò)圓孔后在光屏上形成的像是一個(gè)有一定大小的艾里亮斑，而光學(xué)儀器中所用的光闌、透鏡，包括眼睛，都可以等效為一個(gè)透光的圓孔，因此光學(xué)儀器成像時(shí)的清晰程度最終要受到圓孔衍射所限制，其分辨本領(lǐng)與圓孔衍射問題息息相關(guān).光學(xué)系統(tǒng)成像時(shí)大部分是平行光或者近似的平行光入射，所以研究夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射對(duì)于光學(xué)成像和光學(xué)儀器設(shè)計(jì)至關(guān)重要.為了將圓孔衍射中現(xiàn)象和成像規(guī)律形象直觀地展示給學(xué)生，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索知識(shí)的積極性，在教育手段和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)不斷普及的現(xiàn)代，仿真技術(shù)也逐漸應(yīng)用到了教學(xué)中.人們通常將物理仿真實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)教學(xué)手段相結(jié)合，利用Matlab,Maple,Mathematica等軟件模擬仿真[1～3]，但是這些軟件對(duì)使用者的要求較高，需要一定的編程基礎(chǔ)進(jìn)行大量的編程，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)有點(diǎn)困難.Origin軟件是國(guó)際科技出版界公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)作圖軟件，功能強(qiáng)大但操作簡(jiǎn)單快捷，具有可重復(fù)性強(qiáng)、參數(shù)易調(diào)節(jié)、觀察性更強(qiáng)、省時(shí)省錢且簡(jiǎn)單易操作的優(yōu)點(diǎn)，深受用戶歡迎.

本文基于夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射光強(qiáng)分布的理論公式，通過(guò)Origin軟件中的多工作表矩陣(Matrix)窗口對(duì)衍射圖樣進(jìn)行仿真，對(duì)圖樣中光強(qiáng)分布圖結(jié)果進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，且驗(yàn)證了艾里斑的半角公式，加強(qiáng)了學(xué)生們對(duì)夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的理解.

1 基本原理

在圖1(a)中，一束波長(zhǎng)為λ的平行光垂直入射到半徑為R的圓孔上，通過(guò)圓孔后被透鏡L匯聚，在其焦平面上可得到圓孔衍射圖樣，圖樣是一組同心的明暗相間的圓環(huán)，以第一暗環(huán)為范圍的光強(qiáng)占入射光光強(qiáng)的絕大部分，稱之為艾里斑，如圖1(b)所示.

根據(jù)惠更斯—菲涅爾原理可知圓孔衍射在光屏上任一點(diǎn)P的光強(qiáng)為[4]

(1)

式中

將上式用一階貝塞爾函數(shù)符號(hào)表示，則得

(2)

式中

其中r為P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離.

(3)

在講授這部分內(nèi)容時(shí)，因?yàn)榻滩膶?duì)這部分知識(shí)點(diǎn)描述時(shí)理論推導(dǎo)過(guò)于繁瑣且涉及到了很多高數(shù)中的知識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)感到枯燥乏味且非常吃力.為了在轉(zhuǎn)變單一的物理教學(xué)方式的同時(shí)使學(xué)生更好地掌握這部分知識(shí)，可以在課堂上實(shí)時(shí)演示，但是實(shí)踐起來(lái)費(fèi)錢費(fèi)時(shí)，因此推廣起來(lái)不易.為此，利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)勢(shì)在必行.

2 衍射圖樣仿真及分析

2.1 實(shí)驗(yàn)仿真

基于圓孔衍射的光強(qiáng)分布公式，本文采用的模擬方法是Origin9.0軟件對(duì)衍射圖樣進(jìn)行仿真，具體步驟如下：?jiǎn)?dòng)Origin9.0軟件后，首先，點(diǎn)擊菜單欄中的File/New/Matrix，建立一個(gè)矩陣，設(shè)置矩陣維數(shù)為(501，501)，坐標(biāo)x，y的范圍均設(shè)定為(-0.2，0.2)；然后，左擊Matrix，選擇Set Values，依據(jù)光屏上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)分布公式(3)將矩陣元的值設(shè)定為4*I0*(J1((2*pi*R*sqrt(x^2+y^2))/(λ*f)))^2/((2*pi*R*sqrt(x^2+y^2))/

(λ*f))^2，左擊OK確定生成表征干涉光強(qiáng)的數(shù)據(jù)矩陣；最后，點(diǎn)擊Plot 菜單下的Image /Image Profiles，即可獲得仿真衍射圖像[5,6].分別改變光強(qiáng)公式(3)中R,λ參數(shù)，分析衍射圖樣隨圓孔半徑和入射光波長(zhǎng)的變化情況.

2.2 影響艾里斑大小的因素

設(shè)入射光的光強(qiáng)I0=1，透鏡L的焦距f=1 m，分別定義參數(shù)R，λ不同數(shù)值，得到衍射圖樣的一系列仿真圖如圖2所示，其上方和右方的分別是y=0處光強(qiáng)隨橫坐標(biāo)x和x=0處光強(qiáng)隨縱坐標(biāo)y的變化函數(shù)圖.分析比較不同的R,λ對(duì)衍射圖像的影響.

(a)R=0.003 mm,λ=760 nm

(b)R=0.006 mm,λ=760 nm

(c)R=0.003 mm,λ=400 nm

由圖2可見，圓孔衍射圖樣是明暗相間的同心圓環(huán)，中央的亮斑光強(qiáng)極大，占據(jù)衍射能量的絕大部分，周圍亮環(huán)的強(qiáng)度隨著離中心距離的增大急劇減小，第二級(jí)明紋的光強(qiáng)已很小，在衍射圖樣中幾乎看不到.改變圓孔半徑和入射光波長(zhǎng)，艾里斑的大小也隨之改變.通過(guò)比較圖2(a)和(b)可得，當(dāng)波長(zhǎng)相同時(shí)，艾里斑的尺寸隨圓孔半徑的增大而減?。煌ㄟ^(guò)比較圖2(a)和(c)可得，當(dāng)圓孔半徑相同時(shí)，艾里斑的尺寸隨波長(zhǎng)的增大而增大.

利用Origin模擬仿真可將衍射圖樣實(shí)時(shí)地展示在課堂上，使學(xué)生們對(duì)艾里斑有了形象生動(dòng)直觀的認(rèn)識(shí).同時(shí)，學(xué)生們可以自己嘗試輸入不同的圓孔半徑和入射光波長(zhǎng)，觀察這些參數(shù)如何影響衍射圖樣，激發(fā)學(xué)生們探索知識(shí)的興趣.

2.3 極值位置 光強(qiáng)分布及艾里斑公式

col(A))/(4e-7*1))^2，選定數(shù)據(jù)后在菜單欄里點(diǎn)擊Plot里的Spline Connected，得到夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)分布如圖3(a)所示.由于光強(qiáng)比值隨半徑的增大而快速下降，為了更加清楚地觀察其他衍射亮環(huán)光強(qiáng)的分布特征，將圖3(a)中縱軸的取值范圍縮小為[0，0.020]，如圖3(b)所示.

(a)

(b)

利用界面里面的“Data Reader” 在圖3(b)中讀取前6個(gè)極值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)和相對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)比值.透鏡L的焦平面上明紋和暗紋位置以及強(qiáng)度分布情況如表1所示，與教材中給出的結(jié)果一致[4].

表1 前6個(gè)極值的位置及相對(duì)光強(qiáng)度

利用Origin描繪夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)分布曲線，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與教材中的結(jié)果一致，將仿真實(shí)驗(yàn)和理論教學(xué)相互補(bǔ)充、支撐，學(xué)生們能夠更加充分理解和鞏固所學(xué)知識(shí)，從而提高教師教學(xué)的效率與質(zhì)量.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于惠更斯—菲涅爾原理，得到了夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射光強(qiáng)分布的理論公式，接著使用Origin軟件中的多工作表矩陣(Matrix)窗口對(duì)衍射圖樣進(jìn)行仿真，定性分析了艾里斑的大小與入射光波長(zhǎng)和圓孔孔徑的關(guān)系，然后使用“Data Reader”讀取了光強(qiáng)分布圖樣中明紋和暗紋位置以及強(qiáng)度分布，且驗(yàn)證了艾里斑的半角公式.將仿真實(shí)驗(yàn)軟件與大學(xué)物理課堂教學(xué)相結(jié)合，可以將教材上的結(jié)論直觀地展示在課堂上，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 加深了學(xué)生對(duì)夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射現(xiàn)象和規(guī)律的理解.