活用數學關系式 速解高考物理題

潘春芳 項薔媛

[摘要]運用數學知識解決物理問題的能力是高考考查的主要能力之一。近似處理在許多實際問題中有著廣泛的應用，熟練掌握幾種常用的近似關系對有效解決相關物理問題有積極的作用，同樣地，無窮遞減等比數列求和公式S=a1/（1-q）是解決許多實際問題的重要方法文章結合幾道典型考題，探討近似關系及無窮等比數列求和公式在解答某些物理問題中的應用。

[關鍵詞]數學關系式;物理問題;應用

[中圖分類號]

G633.17

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0046-02

應用數學知識解決物理問題的能力是《（物理）考試說明》中的六大能力之一。可見，解決物理問題與數學方法密不可分，數學是解決物理問題的工具，可以這樣說：沒有數學基礎，物理是學不好的。下面通過幾個典型例題分析近似關系和無窮遞減等比數列求和公式S=a1/（1-q）在解答高考物理題時的運用。

一、當λ《1時（1+λ）_n≈1+nλ

[例1]（2007年江蘇卷）如圖l所示，帶電量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細桿上，相距為d。若桿上套一帶電小環C，帶電體A、B和C均可視為點電荷。

（1）求小環C的平衡位置;

（2）若小環C的帶電量為q，將小環拉離平衡位置一小位移x（|x|《d）后靜止釋放，試判斷小環C能否回到平衡位置？（回答“能”或“不能”即可）

（3）若小環C的帶電量為-q，將小環拉離平衡位置一小位移x（|x|《d）后靜止釋放，試證明小環C將做簡諧運動。

可見，上式滿足物體做簡諧運動的動力學方程：F=-kx，所以，小環C將做簡諧運動。

評析：本題的前兩問實際上是給考生解第3問做鋪墊，只要掌握了證明物體做簡諧運動的一般解題思路和方法，再結合庫侖定律、力的合成和近似關系式進行運算，就能迅速求解。

二、對于無窮遞減等比數列（|q|<1），當n趨于無窮大時，數列的和為S=a1/（1-q）

[例2]（1989年全國卷）一個質量為m、帶有電荷-q的小物體（可視為質點），可在水平軌道Ox上運動，O端有一與軌道垂直的固定墻、軌道處于勻強電場中，其場強大小為E，方向沿Ox軸正方向，如圖2所示。小物體以初速度v。從xo點沿Ox軌道運動，運動時受到大小不變的摩擦力廠作用，且f< qE;設小物體與墻碰撞時不損失機械能，且電量保持不變，求它在停止運動前所通過的總路程s。

解析：首先要分析小物體的受力情況和運動過程，其次再建立物理圖景。開始時，設物體從xo點以速度v。向右運動，它在水平方向受到方向均向左的電場力qE和摩擦力廠作用，因此物體做向有的勻減速直線運動，加速度大小為a¹=（qE+f）/m，減速直到速度為零;而后，物體受向左的電場力和向有的摩擦力作用，因為 ，所以物體做向左的初速度為零的勻加速直線運動，加速度大小為 ，直到以一定速度與墻壁碰撞，碰后物體的速度與碰前速度大小相等，方向相反，然后物體將做多次的往復運動，一直到停在墻壁處。

小物體從開始向右勻減速運動的位移大小為：x¹=v0₂/2a¹，然后向左勻加速運動與墻第一次碰撞前

此題，除了上述解法之外，還可以運用動能定理和能量守恒法求解，限于篇幅，不再贅述。

[例3]（2018年4月浙江卷）如圖3所示，一軌道由半徑為2m的四分之一豎直圓弧軌道AB和長度可調的水平直軌道BC在B點平滑連接而成。現有一質量為0.2 kg的小球從A點無初速釋放，經過網弧上B點時，傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6N，小球經過BC段所受的阻力為其重力的0.2倍，然后從C點水平飛離軌道，落到水平地面上的P點，P、C兩點間的高度差為3.2m。小球在運動過程中可視為質點，且不計空氣阻力。

（1）求小球運動至B點時的速度大小;

（2）求小球在網弧軌道上克服摩擦力所做的功;

（3）為使小球落點P與B點的水平距離最大，求BC段的長度;

（4）小球落到P點后彈起，與地面多次碰撞后靜止。假設小球每次碰撞機械能損失75%，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等。求小球從C點飛出到最后靜止所需時間。

由二次函數的單調性可得，當v^c= 1.6 m/s時，B至P的水平距離最大，由此可得：LBC=3.36m。

（4）由于碰撞前后速度方向與地面的夾角相等，所以碰撞前后水平與豎直分速度比例不變，每次碰撞機械能損失75%，故每次碰撞合速度、分速度均變為原來的二分之一。

當n取無窮大時，物體處于靜止狀態。由無窮遞減等比數列求和公式，可得：

評析：在復習迎考中，要固本強基，狠抓主干知識，要加強對物理基礎知識、基本技能和基本方法的理解，掌握物理規律。在教學設計中要突出通過問題載體，建構物理模型，研習解題過程，掌握解題方法，并強化數學知識在物理學科中的應用，這對提高學生分析問題、解決問題的能力有幫助。

[參考文獻]

[l]潘春芳，項薔媛.2018年4月浙江省物理選考第20題的多種解法[J].中學物理，2018（13）：57-58.

[2]項薔媛，潘春芳.等比數列在物理解題中的應用例析[J].教學考試，2018（22）：38-40.

（責任編輯 易志毅）