方程思想在初中幾何中的運用

吳春紅

【摘? 要】初中階段所涉及的各種知識點中都有方程思想的影子，方程思想從本質(zhì)上說是一種同代數(shù)相關(guān)的思想，因此部分幾何問題似乎同方程思想沒有聯(lián)系，不過在解決這類問題的過程中人們往往發(fā)現(xiàn)沒有方程思想的參與是行不通的。所以，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生掌握問題中“隱形”條件并借助此類條件對數(shù)學(xué)問題加以解決的能力，也就是要培養(yǎng)學(xué)生將方程思想運用于各類數(shù)學(xué)問題解決的能力。本文就方程思想在初中幾何中的運用做了一點探索。

【關(guān)鍵詞】方程思想;幾何;運用

中圖分類號：G633.63? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ? 文章編號：0493-2099（2020）35-0141-02

The Application of Equation Thought in Junior Middle School Geometry

（Xiting Junior High School， Tongzhou District， Nantong City， Jiangsu Province，China）WU Chunhong

【Abstract】The various knowledge points involved in the junior high school stage have the shadow of equation thinking. Equation thinking is essentially a kind of algebra-related thinking. Therefore， some geometric problems seem to have no connection with equation thinking， but they are solving such problems. In the process， people often find that the participation without equation thought is not feasible. Therefore， teachers should cultivate students' ability to master the "invisible" conditions in problems and use such conditions to solve mathematical problems， that is， to cultivate students' ability to apply equation thinking to solving various mathematical problems. This article does a little exploration on the application of equation thinking in junior high school geometry.

【Keywords】Thoughts of equation;Geometry; Application

一、初中幾何知識概況

在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中，方程思想是始終涉及其中的，初中階段幾何教學(xué)中的知識點主要涉及針對三角形、圓形以及四邊形的求解。具體來說，初中階段能應(yīng)用的方程內(nèi)容主要包括一元一次以及二元一次方程或方程組，同時也可能用到分式方程，一元二次方程也是解決初中問題時候會用到的方程內(nèi)容。其中一元一次方程就是只包含一個未知數(shù)，其最高次數(shù)是1，同時等號兩邊均是整式的等式形式，這種方程的根的數(shù)量只有一個;如果一個一元方程，其中所包含的未知數(shù)數(shù)量只有一個，同時未知數(shù)項其最高次數(shù)為2，而方程又為整式方程，那么可以稱其為一元二次方程;包含兩個未知數(shù)，同時這些未知數(shù)它們的項的次數(shù)均為1，這樣的一種整式方程就稱為二元一次方程;分式方程屬于方程的一種，這是一類有理方程，其分母中包含未知數(shù)或是未知數(shù)整式。

二、如何將方程思想應(yīng)用在初中幾何教學(xué)活動中

方程思想為初中階段所學(xué)的代數(shù)知識中包含的核心思想，在整體初中代數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容中都有它的身影，可見它同初中代數(shù)之間的密切聯(lián)系，然而，這并不意味著這種思想同初中幾何之間就沒有什么聯(lián)系。初中教學(xué)所使用教材也指出這樣一個事實，即方程是一種可以有效地將現(xiàn)實世界里存在的各種數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)模型，因此方程思想不光在代數(shù)問題的解決上有很廣泛的應(yīng)用，同時也可以用來解決很多幾何領(lǐng)域的問題，具體來說就是借助圖形所具有的一些形式建立方程，再通過方程解析找到答案。實際上，對于求解初中幾何問題甚至是一切幾何問題來說，方程思想都是一種重要的手段。

三、用方程思想解決初中幾何問題常見的幾個切入點

用方程思想解決初中幾何問題常用的模式主要有六種，第一種是借由多邊形內(nèi)角和公式建立方程，很多同多邊形相關(guān)的問題都是給出內(nèi)角和度數(shù)，要求求邊數(shù)，這個時候在這一公式基礎(chǔ)上建立方程，再解方程就比較容易得到多邊形邊數(shù);第二種是借由相似三角形具有的性質(zhì)來建立方程，由于這類三角形對應(yīng)邊彼此成比例， 因此在解決相關(guān)的問題時經(jīng)常要利用該性質(zhì)在方程和幾何之間形成聯(lián)系，以解決有關(guān)問題;第三種是借由勾股定理建立方程，該定理不光在數(shù)學(xué)領(lǐng)域非常關(guān)鍵，而且也同現(xiàn)實生產(chǎn)生活有較為密切的聯(lián)系;第四種是借由面積關(guān)系來建立方程，有些幾何問題如果通過面積關(guān)系基礎(chǔ)上建立的方程分析就會容易找到答案;第五種是借由三角函數(shù)來建立方程，該函數(shù)同數(shù)學(xué)學(xué)科和現(xiàn)實生活之間也具有重要的聯(lián)系，特別適合解決測量方面的問題;第六種是借由圓的性質(zhì)來建立方程，圓相關(guān)性質(zhì)結(jié)合方程思想可以用來解決多種多樣的問題。

四、利用方程思想解決初中幾何問題的方案示范

（一）平面幾何中的折疊問題

初中階段的幾何學(xué)習(xí)涉及平面幾何的內(nèi)容，其中的折疊問題比較具有代表性，除了線段及三角形幾何形狀的折疊之外，四邊形折疊也是其中一種，這類折疊問題很多都可以通過方程思想來求解。例如人教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊中包含四邊形的內(nèi)容，這里就通過利用幾何思想解決四邊形折疊問題來一窺究竟。例：將矩形紙板[ABCD]根據(jù)圖1中給出的方式進行折疊，讓頂點[B]與點[D]互相重合，以EF作為折痕，假如[AB]長度為[6cm]，[BC]長度為[=10cm]，那么[DF]長度是多少，重疊部分△DEF其面積又是多少？

解題思路：設(shè)[DF]長度是[xcm]，則[CF]長度為（[8-x]）[cm]，通過勾股定理解得[x=7.5cm]，在此基礎(chǔ)上就能繼續(xù)求解，最終可以獲得[△DEF]這個重疊部分的面積。通過本題的解題方案可以發(fā)現(xiàn)，試圖對幾何問題進行解決的時候，如果能基于圖形本身的性質(zhì)合理建立方程或方程組，并利用解方程的方法探索答案，解題就變得更容易了，所以利用方程思想處理這些問題應(yīng)，成為初中生需要掌握的一種能力和技巧。

（二）利用方程思想解決平面幾何中函數(shù)及幾何圖形類問題

利用方程思想還可以解決平面幾何中函數(shù)及幾何圖形方面問題，此類問題中比較常見的關(guān)系主要包括函數(shù)同三角形之間的關(guān)系、函數(shù)同四邊形之間的關(guān)系以及函數(shù)同圓之間的關(guān)系，在解決涉及這些內(nèi)容的問題過程中都可以將方程思想運用進來。例如，在平面直角坐標(biāo)系里面有一個直角梯形[OABC]，[AB]平行于[OC]，[OA]長度是5，[AB]長度是10，[OC]長度是12，[y=ax2+bx]這一拋物線經(jīng)過兩點[B]和[C]。（1）請將拋物線解析式算出來;（2）有一動點，假設(shè)是P，P從點A開始出發(fā)，并沿著[AC]朝點[C]方向前進，速度為兩個單位長度/s，與此同時，另有一個動點，假設(shè)是[Q]，[Q]從點[C]開始出發(fā)，并沿著[CO]朝點O前進，速度為一個單位長度[/s]，一旦[P]前進到點[C]，則兩點在同一時間停止運動，運動時間設(shè)為[T]秒，那么[T]的值是多少的時候[△PQC]構(gòu)成直角三角形？

針對第一個問題，首先，根據(jù)0A、AB以及OC的長度值可以知道B點坐標(biāo)為（10，5），C點坐標(biāo)為（12，0），在此基礎(chǔ)上將a、b的值計算出來，最終得到拋物線的解析式。針對第二個問題，首先還是使用勾股定理計算出AC長度為13，在此基礎(chǔ)上首先根據(jù)已知條件計算出點P前進到點C花費的時間為6.5秒，那么CP的長度值為AC長度減去AP長度的差值，CQ=T，將角PQC為直角以及角CPQ為直角兩種可能情況都考慮進去，就可以計算出當(dāng)T的值是多少的時候，該三角形構(gòu)成直角三角形。在解決該問題的時候，初中幾何中涉及的相似問題以及函數(shù)內(nèi)容和方程思想形成了有機的結(jié)合，這樣學(xué)生不光可以深化對相關(guān)函數(shù)知識的理解，還可以提高邏輯思考能力。

五、結(jié)語

在初中幾何學(xué)習(xí)中，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)在充分認(rèn)識到方程思想對學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的積極意義的基礎(chǔ)上帶領(lǐng)學(xué)生對其進行應(yīng)用，這樣不光能讓學(xué)生更有能力解決一些幾何問題，也能讓學(xué)生學(xué)會一種新的解決問題的思考途徑。

參考文獻：

[1]孫玉勇.淺析中學(xué)幾何解題中蘊含的方程思想[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（07）.

（責(zé)任編輯? 袁? 霜）