談談數學史對數學教學的幫助

梅波

摘? 要：教科書由于篇幅所限，以及對邏輯、體系的追求，提供給學生的往往只是干巴巴的數學結論。如果能從數學史的視角引導學生理解數學概念與數學規則，讓學生經歷前人探素與發現的過程，那么一方面可以使“數學教學順應生活事理的邏輯走向，學生的學習可以像呼吸一樣自然和樸素”;另一方面則可以通過“淺顯的情境去凸顯數學思想的深刻內涵，使得數學教育具體中見深邃，淺顯中見厚重，使得數學能夠煥發出思想的光芒、經典的力量”。而更為重要的是，數學史在教學中的引入，可以向學生傳遞這樣一種信息：歷史上的數學家在研究中也遭遇過很多的曲折和失敗，他們也有自己不能解決的問題，我們所遇到問題都是正常的，從而讓學生樹立頑強鉆研的勇氣與持續學習的信心。

對于如何將數學史融入數學教學這一問題，國外一些學者在20世紀90年代就已經開展了比較系統的研究，并總結了十余種數學教學中運用數學史的方法。國內的一些研究則將這些方法整合為重構式、復制式兩類。

關鍵詞：數學史;重構;復制

一、“重構”歷史進程，理解問題起源

“重構式”是指在教學中借鑒或重構知識的發生、發展歷史，意圖呈現知識的自然發生過程，重構的數學史材料或直接呈現于新概念的引入中.或隱含于某個知識點的發展過程中。

因數、倍數、質數、合數……數論中的這些基本概念如果按照課本的呈現方式展現，學生將有的反應是：學這些東西有什么用？繼而會產生這樣的迷惑：為什么研究自然數時不討論“0”？將本單元置于合理的歷史背景下，學生學習中的這些困惑將得到一定程度的消解。雖然這些基本概念在歷史長河中發生、發展的歷程已然無法考證，但我們可以根據概念進行合理的猜想。因此，我將“因數和倍數”單元知識發生發展的背景整體性地置于公元前人類文明的初始時代，在這一歷史背景下和學生一起重構了這些基本概念的發展歷程。

單元教學伊始，微課“史前時代的數學”帶領學生進入了人類文明的初始階段。學生跟隨微課回顧了數的發展歷程——自然數自然而然的產生過程，受十根手指影響而確立十進制……那時，沒有分數，沒有小數，甚至也沒有0，當然更沒有負數……

理解了歷史背景，我告訴孩子們，現在我們穿越時空，回到史前時代，成為那個時代中愛好數學研究的一群人。我們會遇到什么問題呢？

孩子們依據已有的知識背景，提出“史前數學家”最有可能遇到的問題：除法除不盡怎么辦？而這正是“因數”和“倍數”概念提出的基礎——區分能整除和不能整除的除法，根據能整除的除法將數的關系定義為“因數”和“倍數”。

在這樣的歷史背景下，很自然地，學生能夠理解除法給“史前數學家”帶來的困惑，更能夠理解為什么要尋找“2、5、3的倍數的特征”——除法這么麻煩，有時能夠整除，有時又不能整除，如果能夠知道2、5、3的倍數有什么特征，就不用每次都這么麻煩地用除法計算一遍了。

就這樣，在師生合力“重構”的歷史背景下，這些數學問題的產生和發展既順理成章，又妙趣橫生。

二、“復制”數學問題，感受數學魅力

“復制式”的一個顯著特點是在數學教學中直接呈現歷史上的數學問題，通過“做數學”來了解數學的歷史發展，從而加深對數學理解。“因數和倍數”單元中所牽涉的許多數學問題就是歷史上的數學問題，教學中可以直接呈現給學生，并介紹這些問題的解決方法。

例如，課本上讓學生用分別劃去2、3、5、7等數的倍數找100以內質數的方法，就是由古希臘著名數學家埃拉托斯特尼提出的“篩法”。

在教學時，可以直接出示問題：找出100以內的所有質數，做一個質數表。然后請學生獨立思考后討論：你準備怎樣找出100以內的所有質數？學生很自然地會想到一個數一個數地檢查、驗證;也可能有其他更好的方法。

在學生各抒已見之后，介紹埃拉托斯特尼所提出的“篩法”，并請學生思考“篩法”與一個數一個數地檢查、驗證的方法相比，好在哪里，接著請學生運用“篩法”在百數表內找出所有的質數。在實際操作的過程中，學生能夠體驗到“篩法”批量篩除的準確和高效。

關于質數和合數還有一個非常有趣的問題，那就是：有最大的質數嗎？

在找完100以內的所有質數之后，我向孩子們介紹了目前數學家們找質數的成果。孩子們果然很好奇地提問了：老師，有沒有最大的質數？我故意反問：你們認為呢？由于孩子們已經有了樸素的無限觀，因此他們認為，自然數的個數是無限的，沒有最大的自然數，所以應該也沒有最大的質數，只要不斷地找下去，就能找到更大的質數。

孩子們的想法當然是有道理的。但是，數學不只是這樣的。我告訴他們，這個問題很早以前就有人提出來，并且已經證明了。是怎樣證明的呢？

于是，我們追隨古希臘數學家歐幾里得的腳步，開始了一段證明。

首先，假設已經找到了所有的質數，其中最大的是n。接著，將所有的質數相乘，2×3×5×7×11×…×n，這是一個什么數呢？當然是一個擁有眾多質因數的合數。接下來將這個積加1，記為k，即k=2×3×5×7×ll×…×（n+1）。因為k不是任何已知質數的倍數，所以k一定是一個比n更大的質數。

怎么樣？這個證明漂亮吧？這就叫做“反證法”。你能試著用反證法證明沒有最大的自然數嗎？這個問題對孩子們來說當然是小菜一碟——假設已經找到了最大的自然數n，則n+1是比它更大的自然數……

兩個問題都是兩千多年前數學家真實研究過的，而他們所采用的解決問題的方法都能夠使孩子們理解并嘗試加以運用。由此，學生一方面更深入地理解了數學的發展歷史，另一方面加深了對數學問題的理解，感受了數學理性思維的魅力。

在數學教育哲學層面上，更為重要的不在于教學的形式，而在于揭示數學到底是什么。我們很難簡明地向學生闡述這個問題，但以數學史的視角開展教學，可以帶領學生一起感受數學理性、純粹的美，朦朧而又似乎清晰地把握數學的本質，穿越時空，領略數學在曲折前行中迸發的魅力！