多個函數多介值的微分中值定理及其應用

楊麗英 趙新平 呂雄

[摘 要]基于Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，從多個函數的角度出發，對微分中值定理進行推廣，給出了關于三個函數的微分中值定理，得到了多個函數多介值的微分中值定理的新形式，拓展了微分中值定理的應用范圍。

[關鍵詞] 微分中值定理;多個函數;多介值

在許多實際問題的計算中，由于客觀條件的限制，我們經常只能觀察或測量到變量在邊界或者區間端點處的值，而實際應用時，卻往往需要根據邊界或者端點處的值來判斷變量在區域內部的變化情況。比如，物體在表面受到力或電的作用時，如何判斷物體內部各點的受力變化情況等。微分中值定理恰是反映函數邊界值與區間內部導數值之間聯系的重要定理，是微積分學的理論基礎，在不等式的證明、函數幾何形態的判定、方程根的存在性證明等許多方面都有著重要的作用，在科學計算和工程技術領域具有廣泛的應用。

在數學分析[1]或高等數學[2]教材中，通常以拉格朗日（Lagrange）中值定理為基礎展開討論，然后給出一些簡單的推廣和具體應用.

關于微分中值定理推廣的研究一直是一個非常活躍的課題，許多學者對其進行了推廣。文獻[3]在附加函數在區間端點或無窮遠點處有極限的條件下，將閉區間上的微分中值定理推廣到開區間或無窮區間上;文獻[4-6]給出并推廣了多元可微函數的微分中值定理;文獻[7]將微分中值定理推廣到高階導數的情形，并直接推出Taylor公式;研究了不連續函數微分中值定理的推廣及應用;將微分中值定理原結論中的關于函數值差的描述改為函數值和的形式，在新的限制條件下得到了新形式的微分中值定理。文獻以實例的形式討論了含有不同介值點的中值問題。本文從多個函數的角度出發，對微分中值定理進行推廣，給出新形式的微分中值定理，并通過具體例子給出推廣定理的應用，拓展微分中值定理的應用范圍。

一、三個函數的微分中值定理

首先給出三個函數的微分中值定理，它是兩個函數的Cauchy中值定理和一個函數的Lagrange中值定理的推廣。

三、結論

將經典的關于一個函數和兩個函數的微分中值定理推廣到三個函數的情形，得到了關于三個函數的單介值和多介值的微分中值定理，并通過兩個具體例子說明所得定理的應用。當其中一個或兩個函數取特殊值時，本文所得結果可以給出經典的Lagrange中值定理、Cauchy中值定理和文獻[3]中的全部中值定理。

參考文獻

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