關于“理論力學”高等課程的探索與實踐

劉娟 石嵩

[摘 要] “理論力學”高等課程曾經是一門傳統的研究生課程，后因內容陳舊逐漸淡出歷史舞臺，現在國內鮮有高校開設。本文對該門課程的價值與意義進行了論述，指出本科階段的“理論力學”課程并不能滿足物理系研究生的需求，并對授課內容進行了探索，嘗試對該課程的教學進行改革與實踐。

[關鍵詞] 理論力學;分析力學;量子力學;經典場論

一、引言

以“理論力學”為首的四大力學是目前高等院校物理系本科生的必修課程，研究生階段還會開設相應的高等課程：“高等量子力學”“高等電動力學”“高等統計物理”，而唯獨“理論力學”沒有相應的高等課程。在歷史上，“理論力學”高等課程的確是一門傳統的研究生課程[1]，后來隨著物理學急速發展，對研究生的知識儲備提出了越來越高的要求，為了讓年輕人迅速進入到科研第一線，高等院校研究生培養計劃經過幾番調整，高等“理論力學”這門看似已足夠完善從而稍顯過時、又不能給科研工作提供直接技術支持的課程，逐漸淡出了歷史舞臺。所以，現在國內鮮有聽聞高校開設這門研究生課程。

而筆者所在的國防科技大學是為數不多保留這一傳統的高校。我校物理系袁建民教授為研究生開設“經典力學與經典場”課程，多年來深耕不輟。在過去的三年里，筆者有幸接替袁教授承擔了這門課程的教學任務。教學相長的過程中，筆者愈發深刻意識到，對于物理系研究生來說，這門課程的意義與價值被嚴重低估了，在目前新工科的背景下，也有著豐富的挖掘空間。因此，筆者寫下這篇粗陋的文章，希望拋磚引玉，引起各位同行前輩的關注與討論。

二、關于開設“理論力學”高等課程的意義

普通物理的“力學”課程引入微積分，大大提升了求解具體力學問題的能力，但并沒有完成觀念性的改變，學生對物理學的認知還停留在古典的牛頓力學框架內。以“理論力學”為首的四大力學，才承載了從古典物理到近代物理的轉變，經過這些課程的學習，才算真正進入了物理專業的大門。而“理論力學”作為第一站，學生接受起來并不輕松。觀念轉變往往比技能學習更加困難，領悟力總是需要大量知識積累為基礎。所以在本科階段開始學習“理論力學”時，絕大部分學生其實都是囫圇吞棗，只把分析力學當作求解具體力學問題的一種新方法。

到了研究生階段學生才能深入理解，近代物理是完全建立在分析力學基礎上的，因為相比于牛頓力學，分析力學的形式更利于擴展。首先，牛頓力學里熟知的“力”其實是稍顯粗糙的一個概念，比如量子力學有測不準原理，難以確定作用點，所以難以定義力，又比如狹義相對論里涉及到變換時，力的變換是非常復雜的，而能量作為四矢量的第零分量，可以按張量分析來處理，等等。進一步，求解牛頓方程需要事先知道力的形式，而這在大部分時候并不容易甚至無法得到，分析力學則不同，只要給出了拉氏量，就能推導出運動方程，不論是引力、電磁力，還是其他力，甚至力學以外。所以分析力學比牛頓力學更利于推廣。

三、關于理論力學高等課程的授課內容

筆者在實際教學中，選取了以下幾個方面作為切入點。

（一）經典力學與量子力學的傳承與對比

量子力學是近代物理學取得的革命性成就，而量子力學的建立則基于分析力學的理論框架。所以，在課程中我們會帶領學生從分析力學的角度來重新認識正則量子化和路徑積分量子化。1925年狄拉克根據海森堡的論文，構建了新的哈密頓體系，取代了原來的經典哈密頓體系，用以描述原子現象。從泊松括號到對易子，就是所謂正則量子化，本質上就是從泊松代數到海森堡包絡代數的一種代數形變。

（二）對稱性思想的深化與系統化講授

相比于牛頓力學，分析力學的一大明顯優勢在于，已知拉氏量就能得到運動方程，而拉氏量的具體形式需要根據體系的對稱性來寫出。回顧高中學習牛頓力學時，非常不嚴謹地“證明”了動量守恒，而在分析力學里，將動量守恒歸結于空間的平移對稱性。更進一步看，Noether定理告訴我們，每一種連續對稱性都對應一個守恒量，這些對稱性可以是外部的，也可以是內部的，比如電荷守恒，是源于阿貝爾整體規范對稱性。本科階段“理論力學”沒有給出Noether定理的系統講授，是因為大二學生還沒有遇到過時空平移和旋轉以外的對稱性，而那些豐富的內部對稱性，其實正是近代物理的思想基石，所以Noether定理并不是平庸的再闡述，而是創造性的預見，在近代物理中有著非比尋常的意義。將Noether定理放在“理論力學”高等課程里，講授給對近代物理已有所了解的研究生，是非常合適且有必要的。

在打磨這門課程的過程中，筆者還在某些特定問題上得到一些靈感。對稱性是近代物理中最深刻的思想之一，研究對稱性的理論是群論，每個群元代表一個對稱操作，而群元由生成元來生成。另一方面，根據Noether定理，每一個連續對稱性都對應一個守恒荷。在量子物理中，我們經常會直接使用的一個結論：守恒荷即生成元。關于這個結論可以在群論中找到嚴格證明[2]，但筆者發現，在分析力學框架內也可以給出一定說明，筆者將在下一篇文章里中詳細討論這個問題。

（三）經典場論初步

這是本科階段“理論力學”不夠課時來講授的部分，卻是應用非常廣泛的一套理論框架。牛頓力學需要知道力的具體表達形式，體系不同，力也不同，牛頓力學對于解決弱引力以外的體系是比較薄弱的，但分析力學通過將離散力學擴展到連續的場論，從而可以處理電磁場和引力場，甚至彈性物理、流體力學等各種體系。更重要的是，經典場論的理論框架可以直接擴展到量子場論，這是近代物理最偉大的成就之一，不管是粒子物理還是凝聚態物理，甚至宇宙學和量子引力，都多少需要一定的量子場論基礎。量子場論是一門過于龐雜且煩瑣的課程，非理論物理專業的學生一般沒有精力來系統學習，但可以通過“理論力學”高等課程來獲取一些經典場論的知識，這其實也是量子場論的入門基礎，即使對于后續需要學習量子場論的學生，也是大有裨益的。

四、我校關于理論力學高等課程的創新嘗試

除了以上內容，我們還在課程中嘗試引入了另一塊新內容：近代數學物理方法。據筆者了解，目前國內的高校除了一小部分理論物理專業，大多數物理系的學生并未修習過近代微分幾何，而在近代物理研究中時常會使用到這些數學語言，所以適當了解也是很有幫助的。由于思維方式的差異，給物理系的學生講授抽象數學并不是一件容易的事情，而分析力學的幾何表述恰好是一個很合適的切入點。比如拉格朗日力學的數學形式建立在切叢上，而哈密頓力學的數學形式建立在余切叢上，余切叢具有內秉的辛結構，所以哈密頓力學自然具有辛結構，這也是正則變換的幾何表述[3]，在編程計算中也有重要價值。

五、小結

根據筆者在中國科技大學和國防科技大學就讀與教學經歷來看，物理專業研究生攻讀博士學位的比例是很大的，而以博士研究生的標準要求他們，則需要對物理學各個方向都有所了解，這是一名合格的物理學博士應當具備的專業素養。另一方面，如果能盡早掌握一些新的數學物理方法，比起遇到問題再來臨時學習，更有利于他們以后的科研工作。而這兩方面，都可以在研究生階段的理論力學高等課程中學到。

參考文獻

[1]Goldstein H，Pool CP，Safko J.Classical Mechanics.London：Pearson Education，2011.

[2]丁培柱，王毅.群及其表示[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]余揚政，馮承天.物理學中的幾何方法[M].北京：高等教育出版社，1998.