淺談能力導(dǎo)向體系下的工科有限元教學(xué)

周劍 王華畢 李德寶 張兵 王紅州 張騫 祖磊

[摘 要] 有限元方法已經(jīng)成為現(xiàn)代工程研發(fā)和設(shè)計(jì)的重要工具，大部分高等院校的工科專(zhuān)業(yè)都將有限元方法列為本科生專(zhuān)業(yè)必修或選修課程。針對(duì)有限元方法理論復(fù)雜、內(nèi)容廣泛與教學(xué)課時(shí)有限的矛盾，如何提高其教學(xué)效果成為一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。本文從優(yōu)化理論教學(xué)內(nèi)容、強(qiáng)調(diào)實(shí)踐環(huán)節(jié)和綜合考查教學(xué)效果等方面探索有限元課程的教學(xué)方法。首先要凝練有限元課程的主干內(nèi)容，將核心思想和關(guān)鍵概念貫穿于整個(gè)課程，注意應(yīng)用有限元方法的規(guī)范統(tǒng)一性。強(qiáng)調(diào)有限元軟件的實(shí)踐應(yīng)用，讓學(xué)生掌握軟件的基本使用方法、培養(yǎng)分析簡(jiǎn)化實(shí)際工程問(wèn)題的能力，是實(shí)踐教學(xué)的主要目標(biāo)。最后，從理論和實(shí)踐應(yīng)用兩方面合理考查教學(xué)效果，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生掌握有限元方法核心思想、基本理論和實(shí)際應(yīng)用多重目標(biāo)的必要手段。

[關(guān)鍵詞] 有限元;教學(xué)方法;理論和實(shí)踐;核心思想;規(guī)范統(tǒng)一

一、引言

有限元是以變分原理為基礎(chǔ)，吸取差分格式的思想而發(fā)展起來(lái)的一種有效的數(shù)值解法[1]。有限元方法作為數(shù)值解法，把求解無(wú)限自由度的待定函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解有限自由度的待定值問(wèn)題。依托有限元方法，計(jì)算力學(xué)發(fā)展成為龐大的計(jì)算機(jī)輔助工程分析（CAE）產(chǎn)業(yè)，有力推動(dòng)了諸多工程領(lǐng)域的快速發(fā)展。目前，有限元方法及其軟件已廣泛用于機(jī)械、土木、航空航天、冶金、電氣等領(lǐng)域復(fù)雜工程的計(jì)算求解，是現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)和分析的重要工具。近年，全球商業(yè)有限元軟件的需求激增，掌握一種或數(shù)種通用有限元軟件的使用，逐漸成為工科畢業(yè)生的必備技能之一。

為了適應(yīng)這種發(fā)展趨勢(shì)，大部分院校的工科專(zhuān)業(yè)都將有限元方法列為本科生的專(zhuān)業(yè)必修或選修課程。但有限元方法是綜合力學(xué)物理基礎(chǔ)、數(shù)值方法和計(jì)算機(jī)軟件的理論方法和實(shí)用技術(shù)，具有理論博大精深、涉及領(lǐng)域廣泛、專(zhuān)業(yè)知識(shí)要求強(qiáng)等特點(diǎn)。非力學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生在缺少相關(guān)力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的情況下，要在一定時(shí)間內(nèi)掌握有限元法比較困難，對(duì)于課程的教授也帶來(lái)很大的阻礙[2]。因此，如何提高有限元法教學(xué)效果成為一個(gè)需要解決的問(wèn)題。諸多學(xué)者從不同角度探討了如何優(yōu)化重組理論教學(xué)與工程應(yīng)用所占教學(xué)比例、更新教學(xué)內(nèi)容[3]，將繁雜抽象的理論知識(shí)與工程實(shí)踐教學(xué)結(jié)合起來(lái)，鍛煉學(xué)生獨(dú)立自主分析和解決問(wèn)題的能力，提高有限元課程教學(xué)的有效性[4]。

本文在學(xué)?！叭灰惑w”能力導(dǎo)向教學(xué)理念指導(dǎo)下，結(jié)合筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和心得體會(huì)，從有限元課程的教學(xué)內(nèi)容取舍、如何貫穿核心思想、強(qiáng)調(diào)實(shí)踐環(huán)節(jié)、重視教材選擇和全面綜合考查教學(xué)效果這五個(gè)方面，探索如何讓學(xué)生掌握有限元的核心思想、基本理論和實(shí)際應(yīng)用。

二、優(yōu)化理論教學(xué)

（一）凝練主干理論內(nèi)容

在較短的教學(xué)時(shí)間內(nèi)無(wú)法覆蓋有限元理論的諸多方面。首先，在理論教學(xué)內(nèi)容上要有所取舍，重點(diǎn)凝練有限元理論的大致框架，但同時(shí)要形成清晰的體系。結(jié)合目前眾多教材中的基本內(nèi)容體系，筆者在24個(gè)課堂教學(xué)中主要講解彈簧系統(tǒng)、桿系和桁架、平面應(yīng)力/應(yīng)變、基本傳熱和旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題這五塊主干內(nèi)容，所涉及的基本單元類(lèi)型包括彈簧單元、桿單元、梁?jiǎn)卧⑷切谓Y(jié)構(gòu)單元、三角形傳熱單元和軸對(duì)稱(chēng)單元。由于二維和三維模型的基本理論知識(shí)和分析思路都是一致的，因此在理論教學(xué)過(guò)程中只講解二維問(wèn)題，但在軟件使用中講解三維問(wèn)題的建模求解。另一方面，主要利用剛度法和能量法求解剛度矩陣，不涉及伽遼金殘差等方法。同時(shí)強(qiáng)調(diào)一些彈性力學(xué)和傳熱學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，滿足課堂知識(shí)點(diǎn)的講解需求。

（二）貫穿有限元的核心思想

有限元理論的核心思想是“化整為零”，即單元離散化，把求解無(wú)限自由度的待定函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解有限自由度的待定值問(wèn)題。有限元方程F=Kd，是有限元方法的核心和精髓，其中F是載荷矩陣，K是剛度矩陣，d是節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量。求解剛度矩陣是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在每個(gè)主干內(nèi)容中均是核心講解的知識(shí)點(diǎn)。為了清晰深刻地展示有限元方程的推導(dǎo)思路，筆者借鑒關(guān)系圖1，向?qū)W生闡述載荷、應(yīng)力、應(yīng)變、位移這四個(gè)變量間是如何通過(guò)平衡方程、物理方程、幾何方程和有限元方程進(jìn)行相互關(guān)聯(lián)的。通過(guò)該圖，不僅清晰展示了基本變量和主要方程之間的關(guān)聯(lián)，而且使有限元方程的推導(dǎo)更易于接受且印象深刻。這些核心思想和概念深入貫穿于整個(gè)課程。

另外，在教學(xué)過(guò)程中，要注意總結(jié)和應(yīng)用有限元方法的規(guī)范統(tǒng)一性。有限元方法具有成熟的理論體系，對(duì)于上述提到的五個(gè)主干內(nèi)容，雖然每種單元的剛度矩陣形式不同，但推導(dǎo)過(guò)程都是相同的思路。根據(jù)能量法，單元的剛度矩陣具有統(tǒng)一的形式：[K]=∫∫∫[B]T■[D][B]dV，其中[B]是應(yīng)變矩陣，[D]是物理矩陣。因此，對(duì)于每種具體的單元，需要求解的只是應(yīng)變矩陣和物理矩陣。同樣，在手動(dòng)求解具體問(wèn)題時(shí)一般經(jīng)過(guò)分析問(wèn)題、離散單元、求解單元?jiǎng)偠染仃?、合成整體剛度矩陣、約束條件和載荷分析，從而得到整體有限元方程，進(jìn)而求解節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量以及單元分析這些規(guī)范化步驟。在利用軟件分析過(guò)程中，則按照建立幾何模型、賦予材料屬性、劃分網(wǎng)格、施加約束和載荷、創(chuàng)建分析步、運(yùn)行求解器和結(jié)果后處理等這些基本步驟。因此可以看出，有限元?jiǎng)偠染仃?、手?dòng)求解問(wèn)題、軟件分析都具有規(guī)范化形式或標(biāo)準(zhǔn)求解步驟。在教學(xué)過(guò)程中，向?qū)W生深刻闡明這些規(guī)范統(tǒng)一性，然后再去關(guān)注具體問(wèn)題的特殊性，這樣很可能要起到事半功倍的效果。

三、強(qiáng)調(diào)實(shí)踐應(yīng)用和綜合考查

（一）強(qiáng)調(diào)上機(jī)練習(xí)和實(shí)踐應(yīng)用

實(shí)踐環(huán)節(jié)是有限元教學(xué)的重要組成部分，也是工科有限元教學(xué)的主要目標(biāo)。課程中的實(shí)踐環(huán)節(jié)主要包括課堂上的軟件演示和學(xué)生上機(jī)兩個(gè)部分。課堂上的軟件演示，主要采用案例教學(xué)，將復(fù)雜枯燥的有限元理論和實(shí)例分析相結(jié)合，提高教學(xué)效果。演示案例除了包括基本課堂內(nèi)容之外，還可以結(jié)合自身科研和有限元軟件的最近進(jìn)展，演示一些進(jìn)階功能。例如，可以在幾何建模過(guò)程中，從其他幾何造型軟件中導(dǎo)入北京鳥(niǎo)巢、大飛機(jī)C-919等復(fù)雜模型，讓學(xué)生驚嘆有限元軟件的強(qiáng)大功能，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。此外，還可以引入python語(yǔ)言腳本編程，進(jìn)行有限元分析的前處理和后處理，將最新的有限元軟件技術(shù)和發(fā)展趨勢(shì)介紹給學(xué)生。

一般上機(jī)時(shí)間不會(huì)太長(zhǎng)（4-8個(gè)學(xué)時(shí)），需要合理安排上機(jī)內(nèi)容。首先，應(yīng)該針對(duì)理論教學(xué)內(nèi)容，編寫(xiě)相應(yīng)的基礎(chǔ)示例練習(xí)和詳細(xì)指導(dǎo)教程，供學(xué)生參照練習(xí)，達(dá)到熟悉軟件基本操作和加深課堂內(nèi)容的目的。在完成基礎(chǔ)練習(xí)之后，進(jìn)一步布置開(kāi)放性題目，鍛煉學(xué)生使用軟件解決工程實(shí)際問(wèn)題的能力。為了考查學(xué)生的上機(jī)效果，學(xué)生需提交較為詳細(xì)的上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，展示其分析結(jié)果以及對(duì)工程問(wèn)題簡(jiǎn)化和有限元分析準(zhǔn)確性方面的理解和思考。課程內(nèi)的實(shí)踐時(shí)間畢竟有限，其主要目標(biāo)是掌握軟件的基本使用方法和解決問(wèn)題的思路，為以后學(xué)生從事有限元理論研究和軟件應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。課堂之外，更多地是鼓勵(lì)學(xué)生將有限元方法應(yīng)用于畢業(yè)設(shè)計(jì)、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)大賽等實(shí)踐活動(dòng)，以解決更加具體和復(fù)雜的工程問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中繼續(xù)加深對(duì)有限元理論和軟件使用的深入學(xué)習(xí)，達(dá)到學(xué)以致用、漸入佳境的效果。

（二）全面綜合考查學(xué)習(xí)效果

為了達(dá)到較好的課程教學(xué)效果，全面合理地考查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果至關(guān)重要。有限元方法是理論和應(yīng)用的綜合課程，因此考查體系自然也包括理論和應(yīng)用兩部分。筆者在教學(xué)過(guò)程中，主要通過(guò)平時(shí)作業(yè)、期末測(cè)試和上機(jī)作業(yè)三部分評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。由于有限元理論復(fù)雜、公式繁冗，因此理論考查不宜太深，主要強(qiáng)調(diào)基本理論方法和分析思路。平時(shí)作業(yè)中，學(xué)生通過(guò)典型例題的求解，熟悉單元/節(jié)點(diǎn)離散、剛度矩陣計(jì)算和組裝、載荷移植、矩陣求解等重要步驟，理解掌握有限元求解問(wèn)題的基本步驟和核心思想。學(xué)生在解題過(guò)程中“事必躬親”，才能明白難點(diǎn)所在。期末測(cè)試采用開(kāi)卷形式，考查有限元基本概念和典型問(wèn)題的計(jì)算求解。上機(jī)作業(yè)主要判斷分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和開(kāi)放問(wèn)題的獨(dú)立完成度。

四、結(jié)語(yǔ)

針對(duì)有限元方法理論復(fù)雜、內(nèi)容廣泛與教學(xué)課時(shí)有限的矛盾，筆者從優(yōu)化理論教學(xué)內(nèi)容、強(qiáng)調(diào)實(shí)踐環(huán)節(jié)和綜合全面考查教學(xué)效果等方面，探討了有限元課程的教學(xué)方法。首先要凝練有限元課程的主干內(nèi)容并保持清晰的理論框架，教學(xué)過(guò)程中要著重強(qiáng)調(diào)將核心思想和關(guān)鍵概念貫穿于整個(gè)課程，注意總結(jié)和應(yīng)用有限元方法的規(guī)范統(tǒng)一性，提高理論教學(xué)效果。配合使用數(shù)本優(yōu)秀教材以及關(guān)注網(wǎng)上慕課資源也是非常重要的。強(qiáng)調(diào)有限元軟件的上機(jī)練習(xí)和課程以外的實(shí)踐應(yīng)用，讓學(xué)生掌握軟件的基本使用方法、培養(yǎng)分析簡(jiǎn)化實(shí)際工程問(wèn)題的能力，是實(shí)踐教學(xué)的主要目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

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