泛函分析中常見空間相對緊集判別充要條件探討

胡鵬

摘要：一般泛函分析教材只給出了C[a，b]空間相對緊集判別充要條件。文章以類似的方法給出了常見Banach空間判別法，可以依據該充要條件容易判斷出是否相對緊集，對緊算子的判定也非常便利。

關鍵詞：相對緊集;完全有界集合

中圖分類號：O177.92 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2020）21-0327-02

給定一個Banach空間，判定其中集合是否為相對緊集是泛函分析的一個重要內容，也關系到緊算子判定、有界算子譜理論等重要內容。一般泛函分析教材只給出了C[a，b]空間中的判定條件，即Arezela-Ascoli定理[1]，并未給出一般Banach空間通用的判定定理。本文將做有益的嘗試，討論幾種常見空間相對緊集判定的充要條件。

一、相關定義引理介紹

定義1[1] 若為緊集則稱為A相對緊集。

定義2[1] 若集族覆蓋集合A，則稱為A的ε網。

定義3[1]若，X中存在有限個元素構成A的ε有限網，則稱A是完全有界的。

引理1[1]若X為Banach空間，則A相對緊集等價于A為完全有界集。

另外此處再介紹下Arezela-Ascoli定理[1]。

定理1（Arezela-Ascoli定理）是相對緊集當且僅當K為范數有界的等度連續函數族。

二、lp空間中相對緊集的充要條件

定義4[1] lp為無窮序列空間，其中每一個元素為一無窮序列滿足，且

定理2相對緊集當且僅當E有界并且，存在N使得，

從而Eh構成E的ε網，由引理3知Eh相對緊，由引理2知E相對緊得證。

本文解決了兩種常見空間相對緊集的判定問題，更多空間相對緊集判定問題還有待研究。

參考文獻：

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[4]程其襄，張奠宙.實變函數與泛函分析基礎[M].第3版.北京：高等教育出版社，2010：118.

Abstract： In general functional analysis textbooks， only the necessary and sufficient conditions for discriminating the relative compact set of C[a， b] spaces are given. This paper gives a similar method—the Banach space discriminant method， which easily judges whether the compact set is relative or not according to this sufficient and necessary condition， and can also conveniently judge the compact operator.

Key words： relatively compact set; completely bounded set