不定方程計算法在化學中的應用

張軍

摘要：根據求解策略的不同，把不定方程在化學計算中的應用歸納為代入、比值、消元、討論4種類型，并選了6個較為典型的例題進行了解析，說明不定方程計算方法的應用可使一些化學計算問題得到簡化。

關鍵詞：不定方程計算法；化學計算；中學化學教學

文章編號：1005–6629（2013）8–0062–03 中圖分類號：G633.8 文獻標識碼：B

方程的個數少于其中所含未知數的個數，通常稱之為“不定方程”。如不限定條件，這類方程的解一般是不確定的。進行化學計算時，如活用不定方程計算方法卻常常使一些化學計算問題得到簡化。已有文獻[1～4]中以不定方程應用于有機化學計算的討論居多，而具體解法以討論法為主。筆者以更開放的視角，根據求解策略的不同，將中學化學不定方程應用中常見的有關問題大致分為四種類型，分述如下。

1 代入型

這種類型多見于選擇題，一般可根據相關化學規律建立一個二元一次方程，再將選項提供的可能結果逐一代入該方程進行驗證，如果能使方程成立，則問題得解。

例1 高嶺土的組成可表示為Al2Si2Ox（OH）y，其中x、y的數值分別是（ ）。

A. 7、2 B. 6、3 C. 5、4 D. 3、6

解析：高嶺土中Al、Si、H、O等元素的化合價分別為：+3、+4、+1、-2，由化合價規則，即化合物中所有元素化合價代數和等于0，也即正化合價之和等于負化合價絕對值之和，可得

3×2+4×2+1×y=2×（x+y）

即2x+y=14

將各選項提供的可能結果分別代入上式進行驗證，顯然當x=5，y=4時方程成立，故選C。

本例若不建立不定方程，直接代入驗證，也會得解，但遠不如將選項中的數值代入以上不定方程更為方便、高效。

2 比值型

這種類型由題意建立的方程一般含兩個未知數，且其常數項一般為0，有一定的特殊性。因此，運算時并不奢求其中所有未知數的具體值，而僅需確定其比值關系。

例2 在FeCl3 和CuCl2 的混合液中加入過量鐵粉，充分反應后，溶液中溶質的總質量不變，則原溶液中FeCl3 和CuCl2 的物質的量之比為多少？

解析：設原溶液中FeCl3和CuCl2的物質的量分別為2x和y，由于鐵粉過量，因此原溶液中FeCl3和CuCl2均全部參與反應，即

Fe + 2Fe3+=3Fe2+ Fe + Cu2+=Fe2+ + Cu

1mol 2mol 1mol 1mol 1mol

x 2x y y y

再依據溶液中溶質的總質量不變，建立不定方程，此條件可顯化為反應中溶解的鐵的質量和析出的銅的質量相等，即

56 g·mol-1×（x+y） = 64 g·mol-1×y

也即56x=8y

因此 = =

故原溶液中FeCl3 和CuCl2 的物質的量之比為

= =

本例解析中把兩個未知數看成一個整體（即 ），十分巧妙地將不定方程轉化為一元一次方程，從而輕松得解。另外，把FeCl3 的物質的量設為2x，使得建立的方程更為簡潔和方便運算，也是一個需要注意的亮點。相反，如果不能充分認識以上不定方程的特殊性，非要拘泥于一般的窮舉討論法分別求得x、y，幾乎是不可能的。

3 消元型

消元型所建立的方程也有其特殊性，比較常見的是其中多個未知數之間存在確定的比例（或倍數）關系，因此，方程加減運算的結果可同時消去多個未知數，從而確定剩余唯一未知數的具體值。

本例解析中充分利用兩個方程整體上的倍數關系，通過加減消元法將三元一次方程直接轉化為一元一次方程而得解。當然，兩個方程整體上的倍數關系直接依賴于把H2的體積設為2x，如果按照一般的處理將其設為x，所建立的兩個方程整體上的倍數關系不復存在。盡管方程可解，具體運算卻要麻煩些了。

4 討論型

此類型比較普遍，多見于有機化合物分子式的確定。隱含條件通常為未知數取值范圍為正整數。當然對具體問題，還可結合有關化學規律，將取值范圍進一步縮小，從而討論求解。

例4 現有一種有機物，它完全燃燒時消耗氧氣與生成的二氧化碳的體積比為3：4，它具有兩個羧基，其余的碳原子結合的原子或原子團都相同。取0.2625 g該化合物恰好能與25.00 mL 0.1000 mol·L-1的NaOH溶液完全中和。試確定該化合物的分子式和結構簡式。

解析：由于n（NaOH）=0.1000 mol·L-1×25.00 mL×10-3 L·mL-1= 2.500×10-3 mol

根據酸堿中和反應規律得

（教育部考試中心2002年高考化學試測題4）

解析：

B10C2H12的電子總數N（e-）=5×10+6×2+1×12=74，

由題意，得5x+y+z=74，

觀察各選項易知，z=2，于是上式可化為5x+y=72。

采用代入驗證法，當x=12，y=12時，方程成立，故選D。

例6 合成氨工業生產中所用的α-Fe催化劑的主要成分是FeO、Fe2O3。

（1）某FeO、Fe2O3混合物中，鐵、氧的物質的量之比為4：5，其中Fe2+與Fe3+物質的量之比為 。（其余小題略，2006年高考上海卷第30題）

解析：

由上述討論，我們容易感受到在化學計算中靈活運用不定方程思想的獨特魅力！教學是充滿思想的活動，讓最基本的化學觀念和解決相關問題的思想植根于學生心中，是中學化學教學的中心任務和永恒課題。

當下教學，教師尤其需要堅守，不能因為追求十分短視的目標，將本該精彩紛呈的化學課堂異化為嚴重挫傷學生學習熱情的“堂堂練”和“題海戰”。為此，教師需要不斷學習，讓研究成為工作常態和習慣，只有豐富自己的真切體驗和感悟，教學中才可能避免“就題論題”，也才有機會點燃學生思想的火花。讓學生樹立不定方程思想，不可能一蹴而就，需要給學生提供特定的化學情境和較為充分的時間體會、領悟；而精妙靈活的設未知數技巧，更需要在解決具體問題的過程中通過比較分優劣，在后續的應用中積累經驗，進而升華成規律。

參考文獻：

[1]梁陸元.運用不定方程討論法解化學計算題[J].化學教學，2012，（7）：68～69.

[2]張克棟，張力文.用不定方程解中學化學習題的方法與技巧[J].化學教學，2010，（5）：70～71.

[3]譚家祥.不定方程有定解[J].化學教學，1996，（11）：31～33.

[4]樂宗果.用不定方程解有機化學選擇題幾例[J].中學化學教學參考，1992，（Z1）：46.

[5]王祖浩主編.普通高中課程標準實驗教科書·化學與生活（選修）[M].南京：江蘇教育出版社，2004.