一個函數不等式恒成立問題的兩種解法

曹 彬

(貴州省黔西第一中學 551500)

函數作為高中數學知識體系的核心，是歷年高考的熱點，函數題常常作為高考壓軸題出現.以研究函數性質為主要解題手段的不等式稱為函數不等式，函數不等式恒成立問題是高考函數題中的重點，在高考試卷上較為常見.通常以一次函數、二次函數、三角函數、指數與對數函數為載體，考察函數的圖象與性質，滲透換元、轉化與化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創新性，發展學生數學核心素養起到積極的作用.

函數不等式恒成立問題都要轉化為函數最值問題，但對于解析式較復雜的函數，學生普遍感到難以找到解決問題的切入點和突破口.本文旨在介紹洛必達法則應用的同時，多種解法求一類特殊函數不等式恒成立問題中參數取值范圍.

一、問題的提出

已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，若對任意x∈(1,+∞)，都有f(x)>0恒成立，求常數a的取值范圍.

這種問題通常轉化成討論f(x)在(1,+∞)上的最小值，而且常常用參變分離方法.如果仔細觀察，會發現f(1)=0，這種問題的解法就有數形結合法、參變分離法，下面分別介紹這兩種解法.

二、問題的解答

1.解法一(數形結合法)

因為x>1，所以g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(1,+∞)上為單調增函數，且g(1)=f′(1)=2-a.

當2-a≥0，即a≤2時，f′(x)>0在(1,+∞)上恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上為單調增函數.由于f(1)=0，故滿足f(x)>0在(1,+∞)上恒成立.

綜上，a≤2.

評析這種解法就是參考答案給出的常規解法，根據函數的性質確定函數的圖象，通過討論函數在指定范圍內是否有零點，逐步縮小參數的范圍并最終確定，但是找區間的端點是難點.

2.解法二(參變分離法)

洛必達法則 設函數f(x)和g(x)滿足：

(2)函數f(x)，g(x)在x0的某個去心鄰域內可導，且g′(x)≠0；

評析這是最容易找到入手點的解法，但在最后階段卻出現疑惑，因為在x=1處的函數值不能直接解出，所以要用洛必達法則求極限值.

運用上述兩種解法，可解決如下同類型題：已知函數f(x)=(1-x2)ex，當x≥0時，都有f(x)≤ax+1恒成立，求a的取值范圍.

函數題的得分率歷來不高，學生普遍感到困難，分析有如下原因：需要對證明的等式或者不等式進行變形，此過程需要技巧，經驗性很高，學生一般很難掌握；含有參數的問題需要分類討論，討論的類別較多，運算量大還容易遺漏；對研究的函數不能畫出圖象，難以構造出直觀模型輔助思考；很多函數題需要多次求導.

所以，如果用高中知識解答高考函數題，對學生的思考靈活性、思維嚴密性、表達邏輯性等方面的要求較高，難度較大.