“直線與圓的位置關系”（第1課時）教學設計及反思

■夏乾冬

【教學目標及重難點】

1.了解直線與圓的三種位置關系；

2.學會通過圓心到直線的距離d與半徑r之間的數量關系判定直線與圓的位置關系；

3.用運動的觀點研究問題，體會數形結合的思維方法。

【教學過程】

一、環節一:回顧舊知識點，為類比探究做鋪墊

問題1：點與圓有幾種位置關系？

師：前面我們學過點與圓的關系，請問點與圓有幾種位置關系？

生：點在圓內，點在圓上，點在圓外。

師：每種位置關系對應怎樣的數量關系？

生：點在圓內時，d＜r；點在圓上時，d=r；點在圓外時，d＞r。

師：這里的d與r指什么？

生：d是點到圓心的距離，r是圓的半徑。

師：很好，由點與圓的位置關系，我們可以得到d與r的關系。那么，由d與r能否推出點與圓的位置關系呢？

生：可以，因為圓的內部是到圓心的距離小于半徑的點的集合，所以當d＜r時，點在圓內；圓上是到圓心的距離等于半徑的點的集合，所以當d=r時，點在圓上；圓外是到圓心的距離大于半徑的點的集合，所以當d＞r時，點在圓外。

師：非常好！這樣一來，我們就建立了形與數的關系。

二、環節二:建構問題體系，為類比探究搭梯子

問題2：直線與圓有哪幾種位置關系？請嘗試畫出示意圖。

（學生在練習紙上畫圖。兩分鐘后，教師請幾名學生到黑板上先后畫出幾幅直線與圓的關系示意圖。）

師：大家能將這幾種位置關系進行分類，并說說分類的依據嗎？

生：我認為可以分為三類，即直線與圓沒有交點，直線與圓有一個交點，直線與圓有兩個交點。

師：我們給這三種關系起個名字——直線與圓沒有交點，叫作直線與圓相離；直線與圓有一個交點，叫作直線與圓相切；直線與圓有兩個交點，叫作直線與圓相交。

問題3：這三種位置關系中，有沒有對應的數量關系呢？

師：大家能否類比點與圓的位置關系，來描述其對應的數量關系呢？

（學生思考，并在學習單上推演。）

生：我覺得跟圓心與直線的距離存在數量關系。如果把圓心與直線的距離看成d，圓的半徑看成r，那么，當直線與圓相交時，d＜r；當直線與圓相切時，d=r；當直線與圓相離時，d＞r。

師：你是如何發現的？

生：點與圓的位置關系，即點與圓心之間的距離d與圓的半徑r之間的關系；直線與圓的位置關系，即直線與圓心之間的距離d與圓的半徑r之間的關系。通過類比，我們就得到了相應的數量關系。

師：太棒了！

（教師在圖上演示，過O點做OD⊥l，找到了d，然后對比此時的d與r的關系，在板書2的基礎上形成板書3。）

問題4：點與圓的位置關系同直線與圓的位置關系有何區別及聯系呢？

（教師投影問題4，請學生思考。學生小組交流后，派代表進行展示。）

生：在點與圓的位置關系中，d是指點與圓心之間的距離，是線段；在直線與圓的位置關系中，d是指直線與圓心之間的距離，是垂線段。

生：直線l與⊙O的三種位置關系也可以看成點D（垂足）與⊙O的三種位置關系。如果點D在圓內，那么直線與圓相交；如果點D在圓上，那么直線與圓相切；如果點D在圓外，那么直線與圓相離。

師：很好！還有嗎？

（學生一片沉默。）

師：如果把直線看成是由無數個點組成的呢？

（有的學生頓悟，發出“哦”的聲音。）

生：直線與圓相交時，直線上的點在圓內、圓上和圓外；直線與圓相切時，直線上的點在圓上和圓外，不在圓內；直線與圓相離時，直線上的所有點都在圓外。

師：太厲害了！這位同學說出了點與圓的位置關系同直線與圓的位置關系的內在區別和聯系。

（此時，學生自發地響起掌聲。）

問題5：在這三種位置關系中，你認為哪一種最特殊？

生：我認為直線與圓相切時的位置關系最特殊。

師：為什么？

生：因為此時直線與圓有一個公共點，而且圓心到直線的距離與半徑的關系是d=r。

師：是的，此時，這條直線叫作圓的切線，這個公共點叫作切點。說到這里，哪位同學能推測一下，后面我們會學習什么？

生：既然切線比較特殊，我覺得后面應該會學習切線的性質。

師：非常好！后面我們還會研究切線的性質和判定。那么，今天這節課我們就上到這里，下課！

【教學反思】

在本節課上，基于點與圓的位置關系這一“數學現實”，筆者首先創設情境，提出“點與圓有幾種位置關系”的問題，引導學生進行復習回顧，并通過追問“每種位置關系對應怎樣的數量關系”，為類比探究直線與圓的關系做好鋪墊。接著，筆者繼續提出問題，引導學生通過類比，探究直線與圓的位置關系，及其對應的數量關系。最后，筆者通過追問，使學生對直線與圓最特殊的位置關系產生關注，并拋出切線、切點的概念，為下節課的內容做鋪墊。

除了進行問題引導教學外，筆者在本節課中還特意通過“雕塑式板書”，來記錄學生思維的生長過程。所謂“雕塑式板書”，就是教師根據教學活動的進程，有意識地選擇對學生思維有幫助的精髓內容進行板書。在一開始，板書可能只表達了一些零散的信息，但是，隨著教學內容的推進和數學思維的深入，板書最終會呈現出一個完整的知識結構。“雕塑式板書”的時間節點能夠與學生思維成長的過程同步，這是PPT所無法實現的。

總之，一堂數學課的結束，并不意味著教學內容和數學思維的戛然而止。數學課應當“收”中有“放”，通過及時的回顧總結和類比探究，使前后知識形成一個完整的體系。正如章建躍老師所言：“研究的對象在變，研究套路不變，思想方法不變，這就是數學基本思想、基本活動經驗的力量。”