初中平面幾何折疊問題解題策略

徐飛雷

摘?要：本文聚焦初中數(shù)學(xué)平面幾何的折疊問題，根據(jù)折疊過程中的基本性質(zhì)，總結(jié)了三種解題技巧，學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：折疊問題;軸對(duì)稱;解題策略

中圖分類號(hào)：G633.63文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ????文章編號(hào)：1992-7711（2020）07-072-2

“折疊”作為圖形的三大運(yùn)動(dòng)之一，題型多樣，變換靈活，多以折疊問題為主要載體綜合其他幾何圖形的知識(shí)進(jìn)行考察。因“圖形復(fù)雜”、“關(guān)系復(fù)雜”而成為中難題，學(xué)生在緊張的考試過程中解有關(guān)“折疊”的問題，一旦不能做到胸有成竹，便會(huì)產(chǎn)生浮躁的情緒，只有了解了折疊問題的本質(zhì)，才能迅速找到破解折疊問題的方法。

“折疊”的本質(zhì)是“軸對(duì)稱”，因此，畫一個(gè)圖形折疊后的圖形，是采用畫軸對(duì)稱圖形的方法：先畫出各個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再連結(jié)對(duì)應(yīng)的線段。一般情況下，畫圖的方法，就揭示了圖形的性質(zhì)，折疊前后的兩個(gè)圖像是全等的;折痕所在直線為全等圖形的對(duì)稱軸;對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分等，合理運(yùn)用這些性質(zhì)就能找到解題的方法。

本人結(jié)合教學(xué)實(shí)際，總結(jié)了“折疊”問題的三種解題策略。

策略一、利用“折疊前后的兩個(gè)圖形全等”的性質(zhì)

這是初中數(shù)學(xué)中“折疊問題”使用的最多的一種解題思路，利用折疊前后的圖形相互重合，是全等形，得到對(duì)應(yīng)的線段、角、面積、周長(zhǎng)等都相等，那么，如何在這么多相等的量中找到有用的等量關(guān)系呢？一般情況下，條件和結(jié)論中描述到的量會(huì)用到它的等量，圖形中已經(jīng)能夠確定的量會(huì)用到它的等量，這些量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，因此在思考問題時(shí)一定要學(xué)會(huì)標(biāo)注圖形，這樣可以幫助我們理清邊角的關(guān)系，快速找到解題思路。

此題折疊過程較為簡(jiǎn)單，沿AD進(jìn)行折疊，可以直觀的看出折疊前后的兩個(gè)全等三角形，再根據(jù)其他條件，進(jìn)行簡(jiǎn)單推理證明，即可得到線段間的等量關(guān)系。

策略二、利用“對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分”的性質(zhì)

這也是初中數(shù)學(xué)中“折疊問題”常用的一種解題思路，因此在解決有關(guān)折疊問題時(shí)，如果策略一不能解決問題，往往要考慮連接對(duì)稱點(diǎn)，利用“對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分”這一定理來解決問題，特別的，當(dāng)題目中涉及到“對(duì)稱點(diǎn)的連線”或“折痕線段”時(shí)，一般要優(yōu)先考慮用此法。

解決折疊問題，不僅需要了解折疊的過程，還需要把握折疊的基本性質(zhì)，即“全等”和“垂直”。這道題需要添加輔助線才能構(gòu)造出圖4，以折疊為載體，考察了折疊的性質(zhì)，勾股定理、相似的判定與性質(zhì)，把要求的線段放到三角形中，利用相似來求解。

策略三、利用“反折疊圖形”的思路

最近幾年有關(guān)折疊問題的新題中，經(jīng)常會(huì)看到“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的思想，即“反折疊”，它是指把一個(gè)圖形按與原折疊方向相反的方向折疊。如：原圖形畫出了折痕右邊的部分折疊到左邊后的圖形，“反折疊”圖形就是畫出折痕左邊的部分折疊到右邊后的圖形。

“折疊”的本質(zhì)是“軸對(duì)稱”，折痕是一條穿過圖形的對(duì)稱軸，沿著折痕把一個(gè)圖形“從左往右折”和“從右往左折”得出的圖形是完全相同的。原題給出的折疊圖形往往只有一半圖形的對(duì)稱圖形，另一半圖形的對(duì)稱圖形不會(huì)畫出來，這就為解題設(shè)置了障礙，使關(guān)鍵點(diǎn)無法找到對(duì)稱點(diǎn)，化解之法就是再畫出另一半圖形的對(duì)稱圖形，這樣，就得到了整個(gè)圖形關(guān)于折痕的完整對(duì)稱圖形。一般情況下，出現(xiàn)“折疊后某直線滿足某某條件”（如：折疊后“某某線經(jīng)過某點(diǎn)”或“某某弧與某某線相切”等）時(shí)，可用“反折疊”思路解決問題。

學(xué)會(huì)解題的過程就是學(xué)會(huì)處理?xiàng)l件的過程。以上三種策略概括了解“折疊問題”的三種思路，在解答折疊問題時(shí)，往往會(huì)遇到勾股定理、全等以及相似的知識(shí)。同時(shí)需要學(xué)生能直觀想象出折疊這一過程，在腦海中復(fù)原，找到折疊前后的變量與不變量，注重探究過程，培養(yǎng)邏輯推理能力，使學(xué)生逐漸掌握折疊這類問題的實(shí)質(zhì)，這需要教師在教學(xué)過程中始終堅(jiān)持。

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（作者單位：鎮(zhèn)江第一外國(guó)語學(xué)校，江蘇 鎮(zhèn)江212000）