一種適用于氣動優化的高效自適應全局優化方法

李春娜，張陽康

西北工業大學 航天學院空天飛行技術研究所，西安 710072

代理模型方法最早是由Morris[1]在1972年提出的，由于Sacks等[2]在這方面的卓越成果使得代理模型方法在20世紀90年代末得以流行。近年來，基于代理模型的優化(Surrogate-Based Optimization, SBO)以其高效性、全局性和廣泛的適用性，被廣泛應用于結構優化、氣動優化、多學科優化、航天航空工程和機械工程等學科中[3-8]。

在基于Kriging模型的SBO過程中，新樣本的選擇對于整個SBO過程的效率、魯棒性和優化質量都有很大的影響[3]。常用的樣本選擇方法有如下幾種：基于模型預測目標值、基于模型誤差、基于期望提高(Expected Improvement, EI)函數、基于可能性提高函數、基于下置信域邊界[9]。由于基于EI的取樣能夠同時權衡設計空間的局部勘測和全局搜索，并且其建模時獲得的誤差函數能夠被直接應用于EI函數值的計算，該取樣方法被廣泛應用于SBO過程。

當前，受限于樣本總數的限制，更有效的取樣方法成為研究熱點之一[10-15]。一種有效的平衡局部勘測和全局搜索的方式是確定一個包含全局最優的空間，然后在取樣迭代過程中不斷地對該空間的大小進行動態調整，并在該變化的空間內進行取樣和建模。Cheng和Wang將信賴域的概念引入基于二次響應面的SBO過程，并且通過模式搜索在子空間中取樣，特別適于處理高維優化問題[16]。Guo等使用粒子群進化算法生成大量的低成本樣本，此后采用模糊C均值聚類對這些樣本進行分類來確定關注的空間，然后從該空間的粒子中選擇新的樣本[17]。Qiu等發展了一種多級設計空間縮減方法，采用了自組織規劃來確定初始縮減空間，然后利用模糊聚類方法縮減初始設計空間到一個相對小的空間[18]。Shi等將模糊C均值聚類方法引入基于徑向基函數(Radial Basis Function, RBF)模型的優化，并采用支持向量基來確定低成本樣本的聚類中心，用以縮減設計空間[19]。Dong等在SBO過程中，采用了Kriging和二次響應面模型，并選擇二次響應面模型的全局最優點和Kriging模型的幾個局部最優點作為樣本細化過程的新增樣本。同時，為了平衡模型的全局和局部精度，K均值聚類方法被用以尋找樣本密度比較稀疏的區域，以便于通過樣本細化過程提高模型的全局精度[20]。王超等提出了引入期望提高閾值的混合選點方法，并采用擴大設計變量范圍和多輪優化的方法對設計空間進行重構，提出了自適應設計空間擴展的代理模型方法[21]。Li和Pan將信賴域方法引入SBO過程來自適應地改變動態取樣的設計空間的大小，可以提高代理模型的局部精度[22]。

綜上所述，為了進一步提高代理模型的局部和全局精度，更好地適應于具有多極值、強非線性的優化問題，本文在一般的SBO方法的基礎上，發展了一種能夠自適應序列取樣的高效全局優化算法。在自適應取樣過程中，利用模糊C均值聚類方法將設計空間劃分成若干子空間，并據此對設計空間進行縮減，然后在縮減后的設計空間中利用最大化EI函數和最小化模型預測(Minimizing Surrogate Prediction, MSP)目標來選擇新的樣本更新代理模型。上述所發展的方法命名為SBO-FCM。本文將該方法用于多個解析算例的求解，驗證了算法的正確性和有效性；并進一步將其用于氣動優化實例的求解，以檢驗算法的效率和實用性。

1 基于代理模型的優化算法

一般的,具有m個設計變量、Mc個非線性約束的優化問題的數學模型可以表示為

(1)

一般的SBO方法過程包括初始取樣、高精度模型分析、代理模型建模、動態取樣和優化，具體的流程見圖1。其中，初始取樣主要采用試驗設計(Design of Experiment, DoE)方法[2]，從取樣的均勻性上對方法進行選取和設置。高精度模型分析可以采用試驗或高精度數值仿真方法，直接或間接獲得樣本的目標函數值。代理模型建模是基于當前樣本及其目標函數值，建立一個可以代替高精度模型來預測目標函數的代理模型。當代理模型精度不夠時，需要通過樣本細化準則生成新的樣本并添加到原有樣本庫中，更新代理模型。在樣本細化過程中循環添加樣本，直到基于所有樣本建立的代理模型的精度滿足要求。最后，利用最終的代理模型來預測目標函數，進行優化。

圖1 一般的SBO方法流程圖Fig.1 Flowchart of common SBO procedure

2 Kriging模型

在本文所發展的SBO優化方法中，代理模型采用了Kriging模型[23]。Kriging模型是一種基于統計理論建立的插值模型。如果要為一個未知函數y(x): Rm→R建立Kriging模型，其中x為設計變量，需要首先利用試驗設計方法生成一組樣本S=[x1,x2,…,xn]T∈Rn×m。然后，通過高精度分析工具獲得每個樣本對應的響應值y=[y1,y2,…,yn]T∈Rn。最后，利用樣本和對應的響應值建立Kriging模型，可以表示為

(2)

(3)

其中：θl為Kriging模型的第l個未知相關參數;m為設計變量個數。

(4)

進一步求解可以獲得Kriging模型的誤差

(5)

3 模糊C均值聚類

模糊C均值聚類是一種軟聚類，最早是在1973年由Bezdek和Christian提出的[24]，是對簡單聚類方法的改進，能夠盡可能保證每類中個體的差異性最小。假設當前用于聚類的數據集為xk(k=1,2,…,Np)，對應的目標函數值為fk(k=1,2,…,Np)。如果要將當前Np個樣本聚合成Nc個類，每個類中心和其他樣本的差異性可以表示為

(6)

式中：vi為第i個類中心；uik為第i個類中的第k個樣本到該類中心的權重，即隸屬度系數；U為對Np個樣本的模糊劃分；d為大于1的常數，通常取2。式(6)通常存在一個局部最小值，因此可以通過求解如下的優化問題來獲得Nc個聚類，即獲得U和V，表達式為

(7)

式(7)中的優化問題可以利用拉格朗日乘子法求解，根據極值存在的必要條件，可以計算得到類中心和隸屬度系數，表達式為

(8)

(9)

聚類實現的具體流程描述如下：

步驟1 設置類數目Nc≥2，小量ε>0，初始化種群的中心V0，設置最大迭代步Kmax和初始迭代步ks=0。

步驟2 如果ks

步驟3 通過求解式(8)更新聚類中心Vk+1。

步驟5 根據每個樣本對于不同類的隸屬度系數，將其劃分到不同的類，劃分原則是：第k個樣本xk歸屬于最大的uik對應的類(即對應的i)。

圖2為采用模糊C均值聚類方法對100個2-D空間中的樣本進行聚類的示例。其中，100個樣本由Maximin拉丁超立方設計[25]生成，類的數目Nc=3。圖2(a)中，3種不同顏色代表不同的類，每個類的中心用不同的符號標出。對比于圖2(b) 可見，類的劃分與輸入數據的空間特征相關。此示例的輸入為設計變量和其對應的目標函數值，因此類的劃分同時考慮了樣本的空間分布和目標函數大小的分布。

圖2 100個2-D樣本聚類示例Fig.2 Example for 100 clustered samples in 2-D

4 SBO-FCM方法

SBO中的樣本細化方法必須具有自適應性。為了進一步提高代理模型的局部精度，本文發展了基于聚類的自適應樣本細化方法。該過程可以分為以下4步：① 在當前設計空間內生成偽樣本，并縮減偽樣本數量；② 對縮減后的偽樣本進行聚類，生成子空間；③ 在子空間內選擇新的樣本；④ 對子空間進行聚合，生成新的設計空間。本文所發展的SBO-FCM方法的流程如圖3所示。由于前面對一般的SBO過程已經進行了描述，這里只對改進的自適應取樣過程進行講解。

1) 偽樣本生成和縮減

在SBO過程中，初始迭代過程中的高精度樣本數量不足，不適合于聚類分析。因此，本文采用偽樣本來進行聚類，即首先在當前設計空間內利用隨機拉丁超立方設計(Random Latin Hypercube Design, RLHD)生成Np個偽樣本，并通過代理模型預測獲得所有偽樣本的目標函數值。然后，通過如下操作對Np個偽樣本進行縮減，以盡可能地縮減子空間的范圍。

② 根據定義的縮減閾值系數tr，計算目標函數閾值ft=tr(fmax-fmin)，其中0

③ 對比目標函數均值和目標函數閾值，確定被刪除的偽樣本的目標函數值下限，即fd=max(fm,ft)。

④ 刪除所有目標函數值大于fd的偽樣本，剩余的Nr個偽樣本用于聚類分析。

圖3 SBO-FCM方法流程Fig.3 Flowchart of SBO-FCM

一般而言，縮減閾值系數可以控制設計空間被刪除部分的大小，閾值系數越小，剩余偽樣本所在的設計空間大小可能越小。但是，為了保證有足夠的偽樣本用于聚類分析，并且阻止設計空間的迅速減小，采用目標函數下限來篩選被刪除的偽樣本更加合理。

2) 聚類分析

之后采用上述的模糊C均值聚類方法對剩余的Nr個偽樣本進行聚類分析，最多可以生成Nc個類(初始設置的類個數)。每個類中的偽樣本可以構成一個子空間，有Nc個類就有Nc個子空間，可以用于下一步樣本細化選點。

3) 樣本細化

在自適應的SBO過程中，需要在迭代過程中不斷添加新的樣本來更新代理模型，以提高模型的全局和局部精度。上述過程被稱為樣本細化過程。不同于一般的SBO方法，本文不在整個設計空間內取樣，而是在聚類分析形成的若干子空間內采用樣本細化策略來選擇新的樣本，這樣可以一次添加多個樣本，既充分利用計算機的并行能力，又適應于非線性強，具有多極值的復雜問題。本文所使用的樣本細化策略包括：基于EI函數的取樣、基于MSP的取樣和混合取樣方法。

(10)

式中：Φ和φ分別表示標準正態函數的積分分布函數和概率密度函數。因此，通過最大化EI函數選點的過程可以表述為

(11)

基于MSP的取樣為最小化模型預測目標函數值，該過程可以表述為

(12)

混合取樣方法將上述兩種方法進行組合，而且可以在不同的樣本細化迭代步中選擇使用。由于子空間可能存在交疊的情況，這可能導致在不同的子空間獲得的新樣本相同或者極其相近，因此，需要對這些相同或相近樣本進行剔除。

4) 子空間融合

最后，將若干子空間進行融合，生成新的設計空間，作為下一步迭代的輸入。

5 算例分析

5.1 解析算例

本文采用了6個帶有邊界約束的低維和高維解析算例對方法進行了測試和驗證。6個算例的具體介紹如下。

2-D Branin(BR)函數具有3個極值，分別位于(-π, 12.275), (π, 2.275) 和 (9.424 8, 2.475)，對應的全局最優目標函數值為0.397 9。優化問題可以表示為

minf(x)=[x2-5.1(0.5x1/π)2+(5/π)x1-

6]2+10[1-0.125(1/π)]cosx2+10

s.t.x1∈[-5,10];x2∈[0,15]

(13)

2-D的Rosenbrock(RB)函數具有一條長的脊線，會給搜索帶來極大的困難。該問題的全局最優點位于(1, 1)，對應的最優解為0。優化問題的數學模型為

s.t.x1,x2∈[-5,10]

(14)

2-D Griewank(GN)函數具有極強的非線性，在設計空間內具有非常多的局部極值點，但是只有一個全局極值點位于(0, 0)，其目標函數值為0。優化問題如下

s.t.xi∈[-100, 100]i=1,2

(15)

2-D Rastringin(RS)函數也具有很強的非線性，有多個局部極值，但只有一個全局最優解(0, 0)，對應的目標函數值為0。優化問題的數學模型為

s.t.xi∈[-1,1]i=1,2

(16)

6-D Hartmann(HN6)函數具有6個局部極值，由于函數的非線性和多變量的特點，尋找全局最優點變得困難。該問題只有一個全局最優解(0.201 7, 0.150 0, 0.476 9, 0.275 3, 0.311 7, 0.657 3)，對應的目標函數值為-3.322。優化問題如下，系數見文獻[27]:

s.t.xi∈[0,1]i=1,2,…,6

(17)

16-D(F16)高維測試算例有16個設計變量，是個非線性函數，最優點對應的函數值為25.878。優化問題表述為

s.t.xi∈[-1,0]i=1,2,…,16

(18)

式中：系數aij可以通過文獻[27]獲得。

為了評估SBO-FCM方法，本文還采用了基于EI的代理模型優化方法(SBO-EI)和基于MSP的代理模型優化方法(SBO-MSP)對上述算例進行了求解。初始的試驗設計樣本數目根據文獻[9]，確定方法為：當問題的維度m≤6時，取(m+1)(m+2)/2個樣本；當問題維度m>6時，取2m個樣本作為初始樣本。

上述算例用每種方法都重復求解了30次，以測試求解方法的魯棒性。每種方法求解不同問題獲得的最優解的均值、30個最優解的方差如表1所示。結果表明，SBO-FCM方法得到的最優解均值是最好的，也是最接近于解析解的，特別是對于非線性很強的問題，例如GN函數、RS函數，SBO-FCM的效果會明顯優于SBO-EI和SBO-MSP。從方差上看，SBO-FCM方法獲得的30次解的方差最小，表明該方法的魯棒性較好。

圖4中的箱線圖也證明了SBO-FCM方法具有較好的魯棒性。圖示表明，對于低維且非線性的一般的多極值問題，例如BR函數，3種SBO都具有較好的魯棒性。對于低維但具有較強非線性RB、GN和RS函數，SBO方法的魯棒性都有所下降；但是相比而言SBO-FCM的魯棒性是下降較小的，在三者中最好。當問題的維度提高時，即使優化問題的非線性一般，3種SBO的魯棒性也都會明顯下降，但是SBO-FCM依然在三者中最好。

表1 解析算例最優值對比Table 1 Comparison of optima for analytical tests

每種SBO方法30次重復求解解析算例的平均函數調用次數和樣本細化迭代次數在表2中進行了對比。

對于SBO-EI和SBO-MSP而言，樣本迭代的每個迭代步中，只添加一個新的樣本；對于SBO-FCM而言，由于樣本細化每個迭代步劃分的子空間內樣本數量過少，無法建立代理模型，以及子空間有交疊區，可能選擇了相同的新增樣本，因此每個迭代步添加的新樣本數量并不相同。從總函數調用次數看，大多數情況，SBO-FCM總是需要最多的函數調用次數。但是，對比樣本細化迭代次數，SBO-FCM在多數情況下是明顯好于其他 2種 SBO方法的，因為SBO-FCM在一個迭代步中能夠選擇多個新增樣本，并且可以充分利用計算機資源對樣本進行并行求解(如果需要高精度分析，例如CFD)。上述分析說明SBO-FCM方法對于具有強非線性的問題具有很好的求解效率。

圖4 解析算例箱線圖Fig.4 Box plots of analytical tests

樣本細化過程的自適應性，可以通過圖5展示的BR和RS函數優化得到的樣本分布來進行分析。圖中所示的樣本分布為每種SBO方法在30次求解中獲得一次最佳最優解次。可以發現：① SBO-MSP方法是一種局部方法，其添加的樣本集中在局部極值附近；因此，在初始樣本很少，不能充分描述整個設計空間的情況下，或者目標函數非線性很強，具有很多極值的情況下，很容易陷入局部最優；② SBO-EI是一種全局優化方法，因為EI函數權衡了模型局部和全局精度，但是對于強非線性和很多極值的問題，其全局能力下降，如圖5(b3)所示，很可能得到一個局部最優結果；③ SBO-FCM方法在平衡全局和局部搜索能力上是最好的，其添加的樣本基本覆蓋了所有極值存在的區域，如圖5(b1)和5(b2)對比所示。相比而言，SBO-FCM方法的樣本細化過程具有很好的自適應性，能夠同時對模型的全局和局部精度進行改進。

綜上分析，解析算例證明了所發展的SBO-FCM方法的正確性；此外算例對比表明，SBO-FCM具有較高的效率、很好的魯棒性和自適應性，適應于求解具有強非線性、多極值的優化問題。

表2 解析算例平均函數調用次數和樣本細化迭代次數對比Table 2 Comparison of mean of function evaluation times and mean of refinement cycles

5.2 氣動優化實例

為了進一步檢驗方法的應用性能，本文將SBO-FCM方法應用于RAE2822翼型減阻優化問題的求解，氣動優化計算的狀態為迎角α=2.31°，馬赫數Ma=0.729，雷諾數Re=6.4×106。此外，要求優化得到的翼型升力系數均不小于基準翼型，最大相對厚度不小于9.5%。優化問題的數學模型表示為

(19)

式中:CD和CL分別表示阻力系數和升力系數;t表示翼型最大相對厚度，無量綱化的翼型長度為1。設計矢量x具有10個設計變量，是由Hicks-Henne參數化方法對翼型進行參數化得到的，表示基函數的系數，來控制翼型形狀的改變，如圖6所示，1-10代表了10個控制系數分布在上下翼面的所在位置。

翼型的網格(網格Ⅰ)由商業軟件Pointwise生成，為混合網格，一共22 842個網格單元，第1層附面層網格高度為1.0×10-5，網格如圖7所示。為了證明網格的收斂性，本文對比了另外2套網格(網格Ⅱ和網格Ⅲ)，其差異主要在翼面附近網格的密度。2套網格的附面層高度與第1套網格相同，網格單元數量分別為13 285和52 237。CFD計算采用的是開源代碼SU2[28]，來求解Navier-Stokes方程，湍流模型為Spalart-Allmaras 方程模型。

圖6 RAE2822翼型參數化Fig.6 Parameterization of RAE2822 airfoil

圖7 RAE2822中等尺度網格(網格Ⅰ)Fig.7 Medium-scale mesh of RAE2822 airfoil (grid Ⅰ)

CFD計算結果對比如表3所示。結果表明，中等尺度的網格(網格Ⅰ)和細網格(網格Ⅲ)的氣動計算結果較為接近，其相對誤差小于1%，因此采用網格Ⅰ對問題進行優化。在優化過程中，新翼型的網格采用RBF網格變形方法獲得。

此外，CFD計算求解的精度通過求解RAE2822翼型的流場來進行檢驗。如圖8所示，計算得到的壓力系數分布與試驗數據吻合得很好，證明求解器具有足夠的精度。

對于采用的SBO方法，根據(m+1)(m+2)/2推薦的樣本數量，采用RLHD試驗設計方法生成了66個初始樣本，并且利用CFD對這些樣本進行了計算。優化采用的3種SBO方法都是基于相同的初始樣本進行的。此外，本文還采用了差分進化(Differential Evolutionary, DE)算法[29]和改進的非線性單純形法(SubPlex)對該氣動優化問題進行求解，以對比優化方法的效率和優化質量。其中，DE設置的種群大小為20，代數為100；SubPlex設置的最大迭代次數為1 000，收斂標準為1.0×10-6。

不同優化算法求解得到的結果如表4所示。

表3 網格收斂性分析Table 3 Convergence analyses of mesh

圖8 RAE2822翼型壓力系數分布與試驗數據對比Fig.8 Comparison of pressure coefficient distribution of RAE2822 airfoil with experimental data

DE需要上千次的高精度分析，但是這并不能改善其局部搜索能力差的缺點；SubPlex獲得了較好的結果，因其在設計空間的多個子空間內進行局部搜索，所以局部搜索能力較DE要好，但是仍然需要調用上千次CFD分析。相比而言，SBO方法調用的CFD分析次數大大減少，其中SBO-EI的局部勘測能力略顯不足；SBO-Hybrid的局部勘測能力要好一些，因為在基于EI選擇新樣本的同時，還加入的基于MSP的策略選擇新的樣本，可以加強模型的局部精度；SBO-FCM獲得的最優外形的阻力系數最小，但是調用CFD分析197次(包括初始試驗設計方法的CFD分析次數)，而樣本細化迭代次數只有64次。

圖9對比了優化得到的外形的壓力系數分布和幾何外形。鑒于表4中的優化結果，圖中只對比了SubPlex、SBO-Hybrid和SBO-FCM得到的外形。可以發現，優化后得到的外形在壓力恢復段只出現了弱激波，原始基準外形的強激波被抹平，且SBO-Hybrid和SBO-FCM優化后的外形上表面的激波更弱。從幾何外形上看，SBO-FCM得到的最優外形的最大相對厚度前移，這有利于保持高的負壓力峰值。

圖10對比了SBO-FCM得到的最優外形和基準外形的壓力場云圖。很明顯，基準外形的上翼面中部偏后一點的位置存在強激波，壓力等值線在該處集中匯聚；而優化后的翼型上表面中部附近的壓力等值線分布的較均勻，不存在強激波，說明了最優外形的確具有更小的波阻。

圖9 優化后的壓力系數和幾何外形對比Fig.9 Comparison of optimum pressure coefficients and geometries

為了分析SBO-FCM通過聚類劃分子空間能夠加強空間勘測能力并加快樣本細化過程的速度，圖11對不同SBO方法中的樣本在不同設計變量構成的空間內的分布以及樣本響應值的云圖進行了對比。

圖11(a1)展示了SBO-FCM最后一步樣本細化迭代中的聚類結果：圓球表示聚類1中的偽樣本，立方體表示聚類2中的偽樣本，樣本的顏色代表模型預測的響應值；橙色八面體為尋優得到的最優解。可以發現，在設計變量2～4所構成的空間內，2個類的偽樣本是相互摻混的，說明這3個 設計變量對目標影響的非線性程度很高。此外，摻混的類空間會導致2個子空間范圍都較大，同時在子空間取樣可以提高樣本細化過程的全局勘測能力。相應地，圖11(a2)顯示在設計變量2～4構成的空間內，至少有3個子區域存在極值，分別位于圖的中上部、左下側和中間偏右側一點的位置；尋得的最優點位于左下側的區域。

表4 RAE2822翼型優化結果對比Table 4 Comparison of results for optimizing RAE2822 airfoil

圖10 SBO-FCM得到的最優外形與基準外形的壓力場云圖對比Fig.10 Comparison of contours of baseline and optimized geometry by SBO-FCM

圖11(a3)展示的樣本分布是由SBO-EI方法獲得的，樣本響應值云圖說明空間可能存在2個極值區域，分別位于圖中上部和中間偏右側，而尋得的最優解位于中上部，說明SBO-EI方法在處理非線性強的問題時全局勘測能力不足。圖11(a4) 展示了SBO-Hybrid方法的樣本分布，圖示表明：空間中可能存在3個極值區域，但是所找到的極值位于圖中上部；此外，SBO-Hybrid尋得的最優點與SBO-EI尋得的最優點的3個變量相似，說明SBO-Hybrid對于具有強非線性的復雜問題，其局部的挖掘能力略顯不足。

圖11(b)展示了設計變量6～8構成空間內的樣本分布。圖11(b1)給出了SBO-FCM最后一步樣本細化迭代中聚類的結果，圖中符號的意義與前述相同。可以發現，2個類的偽樣本基本上位于2個獨立的子區域中，說明這3個設計變量對目標的影響相對獨立。這樣，在子空間加點時，更容易發現多極值區間，同樣可以提高樣本細化的全局勘測能力。圖11(b2)～圖11(b4)對比了不同方法分析的樣本的空間分布和響應值云圖。可以發現，除了試驗設計的樣本，3種方法在樣本細化過程中添加了更多的目標響應值小的樣本。SBO-FCM通過子空間加點，目標響應值小的樣本聚集在2個局部區域；SBO-EI添加的目標響應值小的樣本較分散；SBO-Hybrid添加的目標響應值小的樣本集中在一個區域。3種方法找到的6～8這3個設計變量的最優點的值很接近，說明變量對目標影響的相關性較小時，優化過程的難度減小；但是樣本分布表明SBO-EI的全局勘測能力最差，SBO-FCM的全局勘測能力較好。

設計變量6～8位于翼型上表面，如圖6所示。從圖9可以發現，設計變量6～8的變化趨勢與圖11(b1)中2個類空間相對獨立。SBO-FCM尋得的最優外形的設計變量2與設計變量3、4的變化趨勢相反；相應地，圖11(a1)中類空間是摻混的。但是，SBO-EI和SBO-Hybrid尋優得到的外形的設計變量4與設計變量2、3相反。設計變量2～4對目標影響相關性大的特性會使優化問題變復雜，這可能是不同方法得到的最優外形在下表面差異較大的原因。根據上述分析，SBO-FCM的全局勘測和局部挖掘能力都強于SBO-EI和SBO-Hybrid，說明SBO-FCM更適合于求解非線性強的復雜問題。

圖11 不同SBO方法的樣本在不同設計變量構成的空間中的分布對比Fig.11 Comparison of infills by different SBO methods within spaces expanded by defferent design variable

6 結 論

1) SBO方法在求解優化問題時，可以大大減少高精度分析模型的調用次數，提高優化過程的效率。但是針對具有強非線性或者高維設計空間的優化問題，SBO-EI的局部勘測能力呈現不足。

2) 采用聚類分析算法對設計空間縮減后的偽樣本進行聚類，可以捕捉多個具有共性的子空間，然后在子空間中通過EI和MSP準則選擇樣本，并進行相似樣本剔除，可以提高樣本細化過程的自適應性。

3) 經過了聚類分析后最后融合的新設計空間在樣本細化過程中也會自適應地發生縮減，這有利于提高建模效率和模型的精度。

4) 解析算例測試證明SBO-FCM方法具有很好的全局探索和局部勘測能力，適用于強非線性和多設計變量的問題。此外，SBO-FCM方法還具有很好的魯棒性和較高的效率，可以充分利用計算資源進行多樣本的并行計算。

5) 優化實例證明SBO-FCM在求解具有強非線性的氣動優化問題上，仍然具有較高的效率，其樣本細化過程保持良好的自適應特性，可以獲得很高的優化質量。