伴隨壓力分布反設計方法在大型客機氣動優化中的初步探索

劉峰博，蔣城，馬涂亮，梁益華

1. 中國航空工業西安航空計算技術研究所，西安 710065 2. 中國商飛上海飛機設計研究院，上海 201210

國產大型客機研制是關系國家經濟產業升級和創新技術發展的一項重大戰略舉措。而大型民用客機在“四性三減”(四性：安全性、經濟性、環保性、舒適性；三減：減重、減阻、減排)上的極致追求，是提高設計能力和市場競爭力的核心驅動力。在“四性三減”極致性能要求下，民用客機的氣動設計思路、方法及工具都需要得到升級和改進。

當下基于計算流體力學(Computational Fluid Dynamics, CFD)的分析及設計技術已大量應用于大型客機研發過程中，并且已大大縮減了設計周期及成本，波音、空客等民機設計力量均擁有成熟的CFD設計程序。在CFD的發展帶動下，目前基于伴隨理論的梯度優化設計方法與基于遺傳算法的非梯度優化設計兩種優化設計方法均取得了長足的發展，且都一定程度推廣應用到了型號任務設計中。而在大型民機氣動優化設計問題中，由于大規模設計變量及約束的引入和優化設計效率的需求，使得基于伴隨理論的梯度優化設計方法的工程應用需求更加迫切。

國內外在氣動伴隨優化設計方面開展了很多的研究，國外有斯坦福大學Jameson團隊[1]、多倫多大學Zingg團隊[2-3]、密歇根大學Martins的多學科優化設計(MDO)團隊[4-6]等研究成果。國內有西北工業大學的楊旭東[7-8]、高正紅團隊[9-10]、白俊強團隊[11-12]等，南京航空航天大學的唐智禮[13]、夏健[14]、劉學強[15]，中國空氣動力研究與發展中心的鄧有奇[16]、吳文華[17]、黃江濤[18-19]等研究成果。上述研究在處理優化問題時，均集中在以多設計點、多目標、多約束、魯棒優化等優化方法的基礎上。而在工程實際應用設計中尚存在些許困難。

相比于伴隨優化設計方法，壓力分布反設計優化方法由來已久，從早期國外Tranen[20]在二維跨聲速翼型上的應用，Henne[21]基于全速勢方程在三維跨聲速機翼上的應用，到20世紀90年代國內喬志德[22]在自然層流超臨界翼型設計上的應用和朱自強等[23]在跨聲速翼型和機翼上的應用。而近幾年將反設計方法與遺傳類優化方法相結合的研究較多，如西北工業大學宋文萍、韓忠華[24-25]等，但大多集中在層流翼型的設計中，對三維機翼反設計的研究不多。而將壓力分布反設計方法與伴隨方法相結合的研究相對較少，由于目標壓力分布裝配面臨的困難特別是在非結構混合網格上，使得直接應用于復雜三維超臨界機翼設計的更少。通常經過反設計的二維翼型裝配到機翼上之后壓力分布會發生變化甚至惡化，這種變化和惡化往往很難從二維反設計中去消除，所以開展高效的三維超臨界機翼壓力分布反設計，具有很大的工程意義。

壓力分布特征作為翼型和機翼設計的核心，是翼型或者機翼最明顯的特征，也是設計師設計思想的集中表現。而當前的氣動優化設計方法常以簡單氣動力指標為設計目標，導致優化設計得到的構型在設計點處氣動性能異常優越，偏離設計點的氣動性能卻惡化嚴重，這種優化設計結果，往往在工程應用中很難被采用。對于此類問題，已有研究者將壓力分布特征以約束形式引入優化設計中，來提高這種自動尋優方法的工程應用性，且目前主要集中在遺傳類的非梯度優化方法中，如李焦贊等[26]在翼型設計中的應用，中國航天空氣動力技術研究院的楊昆淼等[27]在C919機翼上的應用，清華大學的陳海昕團隊[28-29]提出的“人在回路”思想等，均取得了很好的工程應用效果。這些研究從一定程度上解決了優化設計自動化尋優和設計師工程設計思想之間的矛盾。但當前尚未有將壓力分布約束引入伴隨氣動優化設計方法的工程類研究。而憑借伴隨氣動優化在高效、大規模設計變量方面的優勢，開展此項研究對于工程實際應用具有非常大的意義。

本文研究直接應用于三維機翼的伴隨壓力分布反設計方法和壓力分布約束方法，通過嘗試與探索，提出了三維構型伴隨壓力分布反設計與伴隨優化相結合的優化設計思路，增強伴隨梯度類優化方法中引入設計思想的可行性，提升伴隨氣動優化方法在工程型號設計中的參與程度。

1 離散伴隨方程和敏感性導數

考慮流場空間離散殘值R為設計變量D、流動變量Q和計算網格X的函數，對定常流動有R(D,Q,X)=0。同時線彈性體網格變形方程G(D,X)=0。引入拉格朗日函數：

L(D,Q,X,Λf,Λg)=f(D,Q,X)+

(1)

式中：f為優化目標函數，目前可選為各種氣動力系數及其組合；Λf和Λg均為拉格朗日算子。將式(1)拉格朗日函數對設計標量變分整理得

(2)

由于Λf和Λg可為任意值，可令

(3)

以避免?Q/?D和?X/?D的計算。相應地，式(2)變為

(4)

方程組式(3)中的兩式分別稱為離散流場伴隨方程和離散網格伴隨方程，其求解規模與設計變量個數無關。對其中各方程采用隱式時間推進并行求解，離散所得線性方程組采用GMRES方法求解。求得Λf和Λg，代入式(4)便可得到目標函數對設計變量的導數。可見，采用伴隨方法求敏感度，在流場求解基礎上還需求解一次流場伴隨方程，其計算量與流場求解相當。

進行壓力分布反設計之前，在優化定義及設置中需要給定期望的目標壓力分布，以初始翼型(二維)或某一剖面(三維)的壓力分布與目標壓力分布之差的平方和作為目標函數，對于第j個狀態：

(5)

圖1 壓力分布插值Fig.1 Pressure distribution interpolation

對于有k個截面目標的反設計，加權的目標函數為

(6)

2 翼面壓力分布約束控制方法

在針對三維機翼進行考慮壓力分布約束的伴隨氣動優化設計時，壓力分布目標/約束需要通過以下步驟進行添加：

1) 確定機翼展向控制剖面站位信息(展向Y值坐標)。

2) 對各剖面的壓力分布進行上下翼面分割，分開上下翼面壓力分布，確定分割信息。

3) 分別給出上下翼面目標/約束壓力分布信息(可分段給出X和Cp信息)。

對于如何分段給出目標/約束壓力分布，以典型超臨界壓力分布為例。如圖2所示，可將上翼面壓力分布分為4段，用來控制超臨界機翼的壓力分布特性，具體控制方法如下：

1)X1～X2段用于控制吸力平臺區域。

2)X2～X3段用于控制激波位置及強度。

3)X3～X4段用于控制波后加速區。

4)X4～X5段用于控制壓力恢復區。

而下翼面的壓力分布可以以同樣的方式給出，也可按整體處理。

圖2 壓力分布約束Fig.2 Pressure distribution constraints

3 面向工程應用的伴隨優化及壓力反設計

針對自研非結構流場解算器(WiseCFD-UG)發展了離散伴隨求解模塊。WiseCFD-UG軟件采用基于格點的二階有限體積法數值求解雷諾平均Navier-Stokes(RANS)方程和SA湍流模型方程來實現工程復雜湍流模擬。空間離散基于包含四面體、六面體、三棱柱、金字塔等單元類型的混合網格，以利用混合網格對復雜外形的適應能力。無黏通量離散采用Roe格式，并采用非結構重構來實現二階精度。黏性通量離散采用中心格式。梯度計算采用Green-Gauss方法。

圖3 考慮壓力分布約束的氣動外形優化設計流程Fig.3 Framework of aerodynamic optimization design with pressure distribution constraints

圖3為氣動優化設計時提出的面向工程應用的離散伴隨優化設計流程，采用氣動優化設計與壓力分布反設計相結合的設計思路。氣動優化設計進行自動尋優，對尋優結果的壓力分布進行篩選和修正，再采用伴隨壓力分布反設計對自動尋優構型進行反設計，或者壓力分布作為約束被引入到此輪優化設計中，從而實現離散伴隨優化方向的可控性。解決了自動優化尋優與工程適用性之間的矛盾，使得設計師的設計思想在自動優化尋優的過程中得到體現。

4 超臨界機翼氣動壓力反設計算例

對于三維伴隨氣動反設計優化的驗證，選取具有典型特性的超臨界構型CRM(Common Research Model)機翼，此模型作為美國航空航天學會組織空氣動力優化討論會(Aerodynamic Design Optimization Discussion Group, ADODG)發布的優化案例模型，具有一定的研究價值。在此構型上定義兩個優化算例，分別命名為Case 1和Case 2，其具體設計要求如表1所示。

4.1 Case 1壓力分布反設計優化

以隨機擾動變形后的CRM機翼為初始構型，而以CRM機翼原始構型在巡航設計狀態下8個不同站位的壓力分布作為目標壓力分布，完成在馬赫數Ma=0.85,雷諾數Re=5.0×106巡航狀態下壓力分布反設計。反設計優化所用的計算網格為Pointwise軟件生成的非結構混合網格，網格節點數量約為200萬。遠場距離為參考弦長的100倍，網格法向增長率1.2，并保證物面第1層網格y+小于1，表面網格如圖4所示。

采用三維自由變形(Free-Form Deformation, FFD)參數化方法對CRM機翼進行控制，FFD控制框如圖5所示，通過11 個不同站位下FFD控制點對其進行控制，控制點分布為10×11×2，并以控制點作為設計變量，共計220個。

表1 Case 1和Case 2定義Table 1 Definition of Case 1 and Case 2

圖4 CRM機翼表面網格Fig.4 Surface grid of CRM wing

圖5 CRM機翼FFD控制體Fig.5 FFD control box of CRM wing

此算例的目標函數(Object_function)定義為8個不同站位剖面壓力分布與目標壓力分布的偏差和，即

式中：n為截取的第i個站位剖面上的網格節點數，而目標壓力分布在網格節點上的裝配方式如第1節所示。

圖6給出了反設計優化目標函數的收斂曲線，目標函數值在20輪迭代后幾乎不再變化，目標函數值不斷向“0”逼近，并最后達到收斂標準。反設計經歷59輪迭代，在96核并行集群上運行24 h，可以得到反設計結果，可以實現“一日設計循環”的工程設計效率要求。

表2為反設計前后機翼氣動力參數的變化對比，其中α為迎角，CL為升力系數,CD為阻力系數,Cmy為力矩系數反設計構型與目標構型的氣動力參數值吻合較好，阻力系數相差0.2 counts，基本可以忽略不計，單從氣動力系數方面也可以看出壓力分布反設計的效果很好。

圖6 Case 1目標函數收斂歷程Fig.6 Convergence history of objective function for Case 1 study

表2 Case 1反設計前后氣動力性能對比Table 2 Comparison of aerodynamic performance of base- line and inverse design result in Case 1 study

巡航設計狀態下初始的CRM隨機自由擾動機翼(Baseline)、CRM原始構型機翼(Target)、CRM壓力反設計機翼(Inverse design)的表面及剖面壓力分布對比如圖7所示。圖中：y為機翼展向位置，b為機翼半展長，可以看出，伴隨壓力反設計優化能有效地將初始的CRM隨機自由擾動機翼糟糕的壓力分布反設計為帶有超臨界壓力分布特征的目標壓力分布，在經過反設計后與給定的目標壓力分布具有較好一致性，且在不同剖面上壓力分布的前緣峰值、吸力平臺區、前后加載、波后加速區、激波強度和激波位置等特征方面都與目標壓力分布一致，由于翼梢位置沒有給定目標壓力分布，所以翼梢處表現稍有差別。圖8給出了反設計后6個典型控制剖面的幾何對比，反設計后的典型剖面的翼型與目標翼型幾何對應較好。圖中：z為機翼法向位置。上述結果表明，三維伴隨壓力分布反設計方法能夠實現具有超臨界壓力分布特性的寬體客機機翼氣動優化反設計。

4.2 Case 2壓力分布反設計優化

對于Case 2，將CRM機翼原始構型作為反設計的初始構型，而目標壓力分布選取離散伴隨三點優化得到的巡航設計狀態(Ma=0.85)下8個 不同站位的壓力分布，完成馬赫數Ma=0.85，雷諾數Re=5.0×106巡航狀態下的壓力分布反設計。這里的離散伴隨三點優化得到的壓力分布是指：考慮阻力發散特性的三點優化，即在馬赫數Ma=0.83、0.85、0.87三個設計點，權重因子分別為0.25、0.5、0.25下的加權減阻優化，詳細的優化設置及描述可參考文獻[30]。FFD控制框及控制點的分布與4.1節中Case 1相同。由于三點優化得到的壓力分布是含迎角α作為設計變量的結果，所以此算例進行反設計時也將攻角作為設計變量，設計變量個數共計221個。而目標函數(Object_function)的定義與4.1節Case1的定義方式相同。

圖9給出了Case 2的收斂歷史曲線，反設計經歷48輪，同樣在96核并行集群上運行19 h可達到收斂標準，得到反設計構型，同樣滿足工程設計效率要求。

表3給出了反設計構型與目標構型氣動力系數的對比，可以看出經過壓力分布反設計之后的反設計構型，升阻力系數及俯仰力矩系數值與目標構型值吻合較好，迎角α也增加到目標構型對應值接近的范圍。從氣動力系數的比較上，進一步驗證了此算例壓力分布反設計的效果。

圖8 Case 1初始構型、目標構型與反設計構型6個典型站位翼型形狀對比Fig.8 Comparision of sectional airfoil shapes for baseline, target and inverse design configuration at 6 span-wise positions in Case 1 study

圖9 Case 2目標函數收斂歷程Fig.9 Convergence history of objective function for Case 2 study

表3 Case 2反設計前后氣動力性能對比Table 3 Comparison of aerodynamic performance of base- line and inverse design result in Case 2 study

圖10給出巡航設計狀態下初始的CRM原始構型機翼(Baseline)、CRM多點優化后目標構型機翼(Target)、CRM壓力反設計機翼(Inverse design)的表面及剖面壓力分布對比。可以看出反設計構型的壓力分布與給定的經多點優化后的目標壓力分布云圖吻合較好，對比典型站位處剖面壓力分布也與目標壓力分布一致。圖11給出了反設計后6個典型剖面的幾何對比，反設計后的典型剖面的翼型與目標翼型幾何對應較好。上述結果表明，本文的伴隨壓力分布反設計方法能夠直接針對大型客機三維超臨界機翼進行氣動優化設計。

圖10 Case 2反設計機翼的表面壓力云圖及典型站位壓力分布Fig.10 Pressure contour and pressure distribution of typical span-wise stations of inverse design wing in Case 2 study

圖11 Case 2初始構型、目標構型與反設計構型在6個典型站位翼型形狀對比Fig.11 Comparision of sectional airfoil shapes for baseline, target and inverse design configuration at 6 span-wise positions in Case 2 study

5 寬體客機壓力分布修正優化設計

考慮到在真實的工程設計應用中，直接給出滿足設計要求的目標壓力分布具有很大的困難，為此本節將伴隨壓力分布反設計方法中對壓力分布的處理方式以壓力分布約束的形式引入到寬體客機的伴隨優化設計中，即將伴隨壓力分布反設計中的優化目標轉換為伴隨優化中的優化約束。針對某寬體客機，開展考慮壓力分布修正的伴隨多點優化設計。首先對寬體客機進行考慮阻力發散特性的兩點優化(Ma=0.85和Ma=0.87)，并定義優化算例為Design 1。對Design 1在巡航設計點的優化壓力分布進行修正，并結合工程設計要求，將修正后的壓力分布引入優化設計系統中，對Design 1的結果進行二次優化設計。在二次設計中，主要對主設計點馬赫數Ma=0.85進行優化設計，將壓力分布作為約束，目標函數以及其余的幾何、氣動約束與多點優化一致，巡航攻角不再作為設計變量，定義此輪優化算例為Design 2。

5.1 Design 1不考慮壓力分布約束的兩點優化

采用常規離散伴隨多點優化策略，針對寬體客機全機構型，開展考慮阻力發散特性的兩點優化設計。具體的優化問題定義如表4所示，FFD控制體分布及約束布置如圖12所示。

兩點優化前后的巡航狀態下的壓力分布比較見圖13。圖中：虛線為原始機翼壓力分布曲線，實線為兩點優化后壓力分布曲線。在巡航狀態下，優化后機翼的各剖面壓力分布激波強度減弱，且維持著超臨界壓力分布特性，激波位置不同程度的前移，這對阻力發散特性是有益的。但激波后存在不同程度的二次加速區，且內翼壓力分布存在抖動，趨于無激波形態，機翼壓力分布等壓線沿展向的一致性變差，這往往反應在阻力蠕增特征曲線上，低馬赫數范圍的阻力蠕增特性變差，這對工程應用帶來挑戰。

表4 寬體客機兩點氣動優化問題說明Table 4 Wide-body aircraft multipoint aerodynamic shape optimization problem statement

圖12 寬體客機FFD控制體分布及約束分布Fig.12 Constraints location and FFD control box of wide-body aircraft

5.2 Design 2考慮壓力分布約束的優化

在5.1節Design 1的優化結果的基礎上，選取優化構型的巡航狀態為優化對象。對壓力分布適當修正，并以約束的形式添加到第2輪優化Design 2中，具體的壓力分布修正準則如下：

1) 展向直等壓線分布控制

2) 吸力平臺壓力波動修正

對10個控制剖面上翼面10%～50%弦長位置進行壓力系數采樣，采樣的壓力系數采用最小二乘法進行線性擬合，得到

式中:xij為第i剖面上第j個采樣點的x位置信息，定義采樣點與線性擬合值的偏差為吸力平臺約束函數：

3) 激波后二次加速區修正

將修正后的壓力分布以壓力分布約束的形式添加到Design 1優化得到的巡航點設計結果中，再進行一輪伴隨單點優化設計。圖14給出了初始構型及Design 1和Design 2的巡航馬赫數下的優化壓力分布對比。可以看出考慮壓力分布約束優化后的Design 2構型，展向直等壓線分布得到改善，內翼吸力平臺波動得到改善，波后的二次加速區得到一定的抑制。對初始構型以及Design 1和Design 2的構型進行阻力發散特性評估，評估結果如圖15所示。從圖中可以看出：Design 1在高馬赫數范圍內獲得了不錯的機翼阻力收益，但低馬赫數范圍的阻力蠕增特性變差，而考慮壓力分布約束的Design 2優化結果，使得在馬赫數小于巡航設計馬赫數時出現阻力蠕增現象得到改善，巡航設計點獲得2.9 counts的收益。

圖13 寬體客機機翼第1輪優化后表面壓力云圖及典型站位壓力分布Fig.13 Pressure contour and pressure distribution of typical span-wise stations of optimal wing in the first round optimization design

圖14 寬體客機機翼第2輪優化后表面壓力云圖及典型站位壓力分布Fig.14 Pressure contour and pressure distribution of typical span-wise stations of optimal wing in the second round optimization design

由此說明，應用的伴隨壓力分布反設計方法在寬體客機超臨界機翼設計中具有一定的工程實用性。為進一步開展寬體客機氣動優化設計方法研究打下一定的基礎。

圖15 阻力發散曲線對比Fig.15 Comparison of drag divergence curves

6 結 論

1) 采用目標點鄰域線性插值的方法解決了目標壓力分布在非結構混合網格剖面上的裝配難題。

2) 直接對三維CRM機翼進行壓力分布反設計，驗證本文的伴隨壓力分布反設計方法能有效的對寬體客機機翼進行反設計優化，反設計效果明顯，效率高，結果可靠。

3) 利用伴隨壓力分布反設計方法直接對三維機翼進行反設計，相比于傳統翼型反設計再裝配方案，具有更高的效率和精度。

4) 在寬體全機構型離散伴隨兩點氣動優化結果的基礎上，引入壓力分布反設計約束方法，改進了展向直等壓線分布和吸力平臺區壓力分布波動等問題，使優化構型更加接近工程實用性。

5) 對于寬體客機超臨界機翼設計，采用考慮壓力分布約束的伴隨多點優化是很有必要的。這種方法將數值優化與人工經驗結合，可以促進伴隨氣動優化方法在工程應用中的實用性。