數(shù)形結(jié)合“畫(huà)”難為易

許敏燕

【摘要】學(xué)生在計(jì)算小數(shù)乘法簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)總會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，其中，乘法結(jié)合律和分配律的應(yīng)用混淆是最為突出的。學(xué)生對(duì)這兩個(gè)運(yùn)算定律的應(yīng)用只是處于機(jī)械地公式套用層面，而沒(méi)有真正理解其本質(zhì)含義。面對(duì)這樣的現(xiàn)狀，文章決定從“根”上下手“治療”，利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)畫(huà)圖的方法，使學(xué)生真正理解運(yùn)算定律的含義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；運(yùn)算定律；小數(shù)乘法

小數(shù)乘法是人教版五年級(jí)上冊(cè)第一單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，盡管整數(shù)乘法和小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)都是已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，然而學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中還是出現(xiàn)了各類錯(cuò)誤，簡(jiǎn)便計(jì)算這部分錯(cuò)誤更為明顯。在一次練習(xí)測(cè)試中，本班41名學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤令筆者感到震驚：7道小數(shù)乘法簡(jiǎn)便計(jì)算題，只有7名學(xué)生全對(duì)。通過(guò)對(duì)剩下的34名學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)因的分析，其中計(jì)算方法掌握不當(dāng)?shù)膶W(xué)生竟占63.4%。基于這樣的學(xué)情，筆者決定對(duì)這部分知識(shí)進(jìn)行改進(jìn)教學(xué)。為了更為精準(zhǔn)地定位學(xué)情，對(duì)本班學(xué)生進(jìn)行了第二次專項(xiàng)簡(jiǎn)便計(jì)算練習(xí)。共8題，40名學(xué)生（1人請(qǐng)假）參加測(cè)試，只有5名學(xué)生全對(duì)。對(duì)35名學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行了仔細(xì)的分析，情況如下。

第1題：0.8×0.25×0.4×12.5，錯(cuò)誤5人。錯(cuò)誤舉例：0.25 ×0.4=1；10×0.1=10；12.5×0.8+0.25×0.4。錯(cuò)因分析：對(duì)25×4=100不敏感；小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)有問(wèn)題；與分配律混淆。

第2題：56×1.25，錯(cuò)誤8人。錯(cuò)誤舉例：8×1.25=100；8×8×1.25；8×1.25×7×1.25。錯(cuò)因分析：小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)有問(wèn)題1人；方法不會(huì)5人；與分配律混淆3人；對(duì)125×8=1000不敏感2人；56拆分錯(cuò)誤2人。

第3題：0.25×149×1.6，錯(cuò)誤19人。錯(cuò)誤舉例：0.25× 0.4=1；149×0.4=596（3人）；1.6=0.4×0.4（4人）；1.6=4×4（3人）；1.6=0.8×2；1.6=0.4×1.2；262.85×1.6；0.25×1.6÷2×149；0.25×0.4+149×0.4；0.25×1.6×149；0.25×1.6×149=0.4×149；0.25×0.4×149+0.4。錯(cuò)因分析：小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)有問(wèn)題；有8人對(duì)拆分1.6出錯(cuò)；對(duì)25×4=100不敏感；不會(huì)拆分有2人；與分配律混淆有2人。

第4題：234×10.1，錯(cuò)誤8人。錯(cuò)誤舉例：10.1=10-0.1（2人）；234×0.1=2340；2340+23.4=257.4；234×10=234（2人）。錯(cuò)因分析：拆分10.1有問(wèn)題2人；小數(shù)加法、小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)有問(wèn)題3人。

第5題：9.8×7.16，錯(cuò)誤18人。錯(cuò)誤舉例：9.8=9+8；9.8= 10+0.2；9.8=9.8+0.2（2人）；71.6-1.432=57.28；0.2×7.16= 14.32；10×7.16=716；0.2×7.16=2.132（=1.732）；9×7+8×0.16；9.8×7+9.8×0.16（2人）；9.8×（10-2.84）。錯(cuò)因分析：9.8拆分有問(wèn)題4人；小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題2人；小數(shù)減法出錯(cuò)7人；小數(shù)乘法出錯(cuò)2人；分配律有問(wèn)題3人；方法不太妥3人（先拆7.16再用分配律）。

第6題：6.1×3.6+3.6×3.9，錯(cuò)誤3人。錯(cuò)誤舉例：3.6× 10=360；6.1+3.9+7.2。錯(cuò)因分析：小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)有問(wèn)題；不會(huì)分配律的逆運(yùn)算。

第7題：79.9×13.7+87.3×7 9.9-79.9，錯(cuò)誤13人。錯(cuò)誤舉例：13.7+87.3-1=10.1；（13.7+87.3-79.9）×79.9（2人）；79.9×（13.7+87.3）（2人）；79.9×（13.7+87.3）；79.9×13.7+ 87.3×79.9；79.9×100-79.9。錯(cuò)因分析：小數(shù)加減法出問(wèn)題有6人；沒(méi)有理解1個(gè)79.9的意思有2人；沒(méi)有處理79.9有2人；開(kāi)始沒(méi)有處理79.9，后來(lái)又補(bǔ)上去了的有2人；79.9的處理不是最佳處理方式。

第8題：8.8×1.259，錯(cuò)誤6人。錯(cuò)誤舉例：8.8=8-0.8；8.8= 8×11（3人）；8.8=8×0.8；8×12.5=2。錯(cuò)因分析：拆分8.8出錯(cuò)的有5人；對(duì)8×125=1000不敏感的1人。

對(duì)上述學(xué)情進(jìn)行整理、統(tǒng)計(jì)，提出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)措施，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)（如表1）。

從不同角度對(duì)學(xué)生的錯(cuò)因進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)60%的學(xué)生對(duì)整數(shù)乘法的運(yùn)算定律掌握出現(xiàn)了問(wèn)題。因此，如果只是對(duì)“歷史遺留問(wèn)題”進(jìn)行反復(fù)的操練，學(xué)生不但不能有所改善，反而會(huì)越發(fā)糊涂。讓學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合，重新認(rèn)識(shí)運(yùn)算定律才是當(dāng)務(wù)之急。基于這樣的思考，筆者設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)實(shí)踐。

一、談話導(dǎo)入

同學(xué)們，昨天我們做了36×2.5這道題（板書(shū)：36×2.5），老師把大家的方法進(jìn)行了羅列，現(xiàn)在我們一起來(lái)看一看，哪些做法是對(duì)的？哪些是不對(duì)的？為什么？

預(yù)設(shè)：“1、2分別運(yùn)用了乘法結(jié)合律和乘法分配律，而3、4、5方法用錯(cuò)了，3應(yīng)該把加號(hào)改成乘號(hào)，4多乘了一個(gè)2.5，應(yīng)該去掉，5后面還得是0.5乘36。”

“為什么要這么做呢？”

預(yù)設(shè)：“因?yàn)楦鶕?jù)運(yùn)算定律是這樣的。”

“這樣的解釋還是沒(méi)有說(shuō)明為什么再乘2.5就錯(cuò)了，不乘才是對(duì)的。看來(lái)大家都只是會(huì)做，但為什么這么做這個(gè)道理都說(shuō)不清楚。”

二、利用數(shù)形結(jié)合，理解運(yùn)算定律

1.理解36×2.5的意義

（1）我們來(lái)看36×2.5這道算式，你覺(jué)得這道算式可以解決什么樣的問(wèn)題呢？

預(yù)設(shè)：“36個(gè)2.5是多少？”

（2）他從乘法的意義進(jìn)行了解釋，能不能結(jié)合生活實(shí)際來(lái)說(shuō)說(shuō)看。

預(yù)設(shè)1：“買(mǎi)36支筆，每只筆2.5元，一共需要多少元？”

預(yù)設(shè)2：“可以解決長(zhǎng)方形的面積問(wèn)題。”

（3）同學(xué)們舉了不少例子，真不錯(cuò)，那在這些例子中，它們有什么相同的地方呢？都是在求36個(gè)2.5是多少？（板書(shū)：36個(gè)2.5是多少？）

2.數(shù)形結(jié)合，理解運(yùn)算定律的應(yīng)用

（1）獨(dú)立探究。大家腦海里都有了一些例子，下面請(qǐng)你利用這些例子來(lái)有理有據(jù)地說(shuō)一說(shuō)為什么1、2是對(duì)的，3、4、5是不對(duì)的。現(xiàn)在你可是榮升為一名研究者咯，請(qǐng)看清楚研究要求：選擇自己喜歡的例子（可以是剛才同學(xué)舉的，也可以是你自己想到的），通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、圈一圈等方式來(lái)解釋為什么1、2的簡(jiǎn)算過(guò)程是對(duì)的。也可以用這樣的方式來(lái)解釋為什么3、4、5的簡(jiǎn)算過(guò)程是不對(duì)的。

（2）小組合作。下面以四人小組為單位進(jìn)行相互學(xué)習(xí)和交流，請(qǐng)看清楚合作要求。

①把研究結(jié)果相互交換，試著讀懂其他三個(gè)同伴的方法。②如果讀不懂，再請(qǐng)教同伴。③想一想，方法之間有什么聯(lián)系。（共同點(diǎn)是什么？不同的是什么？）

解釋第1、2題為什么是對(duì)的（學(xué)生作品）。盡管從運(yùn)算定律的本質(zhì)含義上去解釋第3、4、5題為什么是錯(cuò)的很難，但是有時(shí)你真的不得不佩服學(xué)生的創(chuàng)造力。

（3）全班交流匯報(bào)。現(xiàn)在請(qǐng)幾個(gè)組上來(lái)介紹自己的研究結(jié)果，有請(qǐng)分享者之前，老師想對(duì)傾聽(tīng)的孩子們提出要求，請(qǐng)大家邊聽(tīng)邊思考：

①方法對(duì)嗎？有什么建議？②你受到了什么啟發(fā)？③對(duì)他的方法，你有什么疑問(wèn)？

分享者介紹完自己的方法后問(wèn)同學(xué)們：我的方法對(duì)嗎？你們聽(tīng)懂了嗎？你受到了什么啟發(fā)呢？你還有什么疑問(wèn)？

（4）回顧小結(jié)。同學(xué)們，你還記不記得剛開(kāi)始我們是怎么來(lái)解釋這5個(gè)題目的對(duì)錯(cuò)的？我們只說(shuō)了運(yùn)算定律的應(yīng)用，而現(xiàn)在我們又是怎么來(lái)解釋的？舉了具體的事例，畫(huà)了很多的圖形，有具體物品價(jià)格的圖，有圖形面積的，這樣有理有據(jù)的解釋更加直觀，顯得與眾不同，別人更加能理解。是的，在這個(gè)過(guò)程中，你有什么收獲？

①通過(guò)各種畫(huà)圖的方式來(lái)解釋更為直觀、更好理解了。②都解釋了36個(gè)2.5是多少？

三、練習(xí)鞏固

出示：79.9×7+4×79.9-79.9。

想一想，你準(zhǔn)備用什么事例或畫(huà)怎么樣的圖形來(lái)說(shuō)清楚這個(gè)題呢？同桌相互說(shuō)一說(shuō)。

四、課堂小結(jié)

今天我們通過(guò)“36個(gè)2.5是多少？”這個(gè)例子對(duì)小數(shù)乘法簡(jiǎn)便計(jì)算進(jìn)行了重新認(rèn)識(shí)，相信今后你一定能有理有據(jù)地分析簡(jiǎn)算了。

利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)創(chuàng)造情境、畫(huà)圖表示的方法，學(xué)生對(duì)乘法結(jié)合律和分配律有了較為豐富的認(rèn)識(shí)，真正理解了其數(shù)學(xué)的本質(zhì)含義，做到了“知其然更知其所以然”。這樣的改進(jìn)，這樣的教學(xué)實(shí)踐，不僅從根本上解決了“歷史遺留問(wèn)題”，而且為學(xué)生今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算鋪路搭橋。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版） [M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.