淺談數的發展史

【摘? 要】早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數的需要，就產生了自然數;隨著生產和科學的發展，數的概念也得到了發展。

【關鍵詞】數;發展史

回顧數的歷史我們可以發現，隨著數系的每一次擴張，數域在不斷擴大：自然數集→整數集→有理數集→實數集→復數集

今天，人們對從1數到10這樣的小事會不屑一顧，然而上萬年以前，這事可讓人們煞費苦心。人類在最原始時代就有了數的意識，并且指出：“數有三種基本的用途：計算、訂購和測量”這些用途是合理的，然而形成數的概念，卻不容易理解，現代的學生必須經過十二年的正規教育才能掌握數的概念，然而提出這些數的概念需要花費一千年甚至更長的時間。

數是一個神秘的領域，人類最初完全沒有數的概念。而是在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，讓人類腦海中逐漸有了“數量”的影子，才逐漸產生了數的概念。

很久很久以前，人類的祖先為了生存，往往幾十人在一起，過著群居的生活。人類的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是獸皮和樹葉，吃的是山上的野獸、樹上的野果和河里的魚蝦，終年靠狩獵為生。它們白天共同勞動，搜捕野獸、飛禽或采集果蔬食物;晚上住在洞穴里，共同享用勞動所得。在長期的共同勞動和生活中，它們之間逐漸到了有些什么非說不可的地步，于是產生了語言。它們能用簡單的語言夾雜手勢，來表達感情和交流思想。隨著勞動內容的發展，它們的語言也不斷發展，終于超過了一切其它動物的語言。其中的主要標志之一，就是語言包含了算術的色彩，人類先是產生了“數”的朦朧概念。它們狩獵而歸，獵物或有或無，于是有了“有”與“無”兩個概念。連續幾天“無”獸可捕，就沒有肉吃了，“有”、“無”的概念便逐漸加深。后來，群居發展為部落，部落由一些成員很少的家庭組成。所謂“有”，就分為“一”、“二”、“三”、“多”等四種，任何大于“三”的數量，它們都理解為“多”或者“一堆”、“一群”。那時候，雖然每天獵取的食物不多，但仍然有一個記數的問題。他們獲取的獵物，開始只是以“多”和“少”來區分。漸漸地，有人想到可以扳著手指頭來數數。因為那時每天狩獵的結果也只是“屈指可數”的水平。比如捕獲了一頭野獸，就用1個指頭代表。捕獲了3頭，就用3個指頭代表。再后來，狩獵的工具改進了，水平也提高了，當獵物超過十個以后，“屈指”已不可數，于是又想到在一條繩子上打結來記數。“結繩記事”也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。“事大，大結其繩;事小，小結其繩。結之多少，隨物眾寡”。又過了不知多少年代，人們漸漸感到“結繩”不但麻煩，而且時間一長往往記不清這些“結”指的是什么了，后來又改為“書契”，即用刀在竹片或木頭上刻痕記數。用一劃代表“一”，用二劃代表“二”，當然，這個“正”字還包含著“逢五進一”的意思，就出現了刻劃記數，它是比結繩記數進步的一種記數法。隨著時間的推移，契也不能滿足生產和生活的需要，人們終于想到要用一些符號來表示各種不同的東西和各種東西的數目，出現了最早的數字。在國外，大約在公元8世紀，有一種印度的數字傳入阿拉伯，它們是：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。這種數字后來又由阿拉伯人傳入歐洲，被歐洲人稱作阿拉伯數字。這些數字符號，在使用過程中又經人們不斷改進，最后演變成現在我們所使用的數字。

就這樣，在逐步摸索中，祖先從混混沌沌的世界中走出來了。

數字的出現，給人們的生產和生活帶來了極大的方便。但如何用盡量少的數字來表示那么多的數呢？這個問題，是中國人首先創造了十進制記數法以后，才最終得到圓滿的解決。

人類對0的認識比較晚。打不到野獸，空手而歸，這是最初對“0”的印象：空虛、饑餓、一無所有。在記錄這種情況時，各民族大多不約而同地用空位來表示。后來，又用符號“□”表示空位，慢慢地就演化成現在的“0”了。

人類認識了自然數后接著認識分數。打獵有時兩人合作才能獵獲一只兔子，有時五人合作一共獵獲兩只羊，如何分配這些食物呢？起初，人們只知道“二分一”、“五分二”;后來，才逐漸形成了分數的概念，記錄下來，就是“二分之一”“五分之二”……到公元前四、五世紀時，分數已在中國廣泛應用了，有些分數還有特殊名稱，如叫半，叫少半，叫大半。

在小學數學中，算式“2-3”給學生的印象是不夠減。但學習了有理數的知識后，學生就能解決這個問題了。正負數的概念也是從生產實際的需要中產生的。生產發展了，人們的財富多起來，促使人們“互通有無”，進行交換。于是，人們把私有財產記為正，欠債記為負;收入記為正，支出記為負;運進記為正，運出記為負;超出記為正，不足記為負……人們從這些具有相反意義的量中抽象出了正數和負數的概念。負數是相對于正數而言的。正數和負數既相互對立，又相互依存。

整數、分數統稱為有理數。對于自然數而言，有理數系是較完美的數系了。利用它們人類能夠計算物體或物體的一部分，它對加、減、乘、除（除數不為零）四種運算是封閉的。

古希臘數學家畢達哥拉斯認為：世界上只存在整數和分數（萬物皆數），除此以外，沒有別的什么數了。可是不久就出現了一個問題：公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯斯發現了一個驚人的事實，當一個正方形的邊長是1的時候，對角線的長m等于多少？是整數呢，還是分數？畢達哥拉斯和他的門徒費了九牛二虎之力，也不知道這個m究竟是什么數。世界上除了整數和分數以外還有沒有別的數？這個問題引起了學派成員希伯斯的興趣，他花費了很多的時間去鉆研，最終希伯斯斷言：m既不是整數也不是分數，是當時人們還沒有認識的新數。從希伯斯的發現中，人們知道除了整數和分數以外，還存在著一種新數。給新發現的數起個什么名字呢？當時人們覺得，整數和分數是容易理解的，就把整數和分數合稱“有理數”，而希伯斯發現的這種新數不好理解，就取名為“無理數”。

數系因生產和科學發展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾：分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾。數集擴充到了實數集以后，人們便能夠解二次甚至某些高次方程，然而一個最其貌不揚的二次方程x2+1=0卻使得數學家狼狽不堪。像x2+1=0這樣的方程在實數范圍內是無解的，難道存在平方為-1的數嗎？如何解決這個問題？經過長期的猶豫、徘徊，到了16世紀，一些勇敢的數學家作出了大膽選擇：引入一個新數i，把i叫做虛數單位，并且規定i2=?1，并從而建立了一個復數系。

到了18世紀，復數理論已經比較成熟，人們很自然的想到了這樣的問題：復數系還可能進行擴張嗎？是否可以找到一個可以真包含復數系的“數系”，它們承襲了復數系的運算和運算律？也就是說，我們能否進一步構造一個包含復數系的新的數系，且使原來的運算性質全部保留下來？一個很自然的想法是考察一元復系數高次方程的解，如果我們能夠找到一個復系數方程，它在復數范圍內沒有解，就有可能得到一個復數系的擴張系。

作者簡介：謝積科，男，渭南市教師進修學校高級教師，主要研究數學教學方面的內容，發表過《學習新課標，感悟新課標》《數學因生活而完美，生活因數學而精彩》等多篇論文。