一類含參導數問題的解決策略探究

薛彥旭

【摘要】近幾年高考導數與函數試題中出現了冪函數和指數函數或冪函數和對數函數的復合函數題型，是高考試題中的難點、熱點、更是亮點.通常以壓軸題呈現，尤其第二問是拉開學生層次的題型，此類問題通常涉及恒成立和能成立問題，考查函數性質與導數處理最值等綜合應用能力，求解中重視參數變量分離和分類討論兩種思維，合理變形轉化是解決問題的入口，幾乎每位考生對此類問題卻很困惑，也無解題策略，為了解決這類問題，本文將給出一種解決方案，供各位讀者參考和借鑒.

【關鍵詞】參變分離;分類討論;合理變形轉化

定理 洛必達法則

函數f（x）及g（x）在區間[a，b]內有定義，limx→af（x）=0，limx→ag（x）=0，存在有限導數f′（a）及g′（a），且g′（a）≠0，則limx→af（x） g（x）=f′（a） g′（a）.

例1 設函數f（x）=ex-1-x-ax2，a∈R .

（1）若a=0，求f（x）的單調區間;

（2）若當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析 （1）略.

高考試題中引出的一類含參導數問題中通常以函數為載體，以導數為工具，以考查函數性質及導數應用為目標，是最近幾年函數與導數交匯試題的顯著特點和命題趨向.運用導數確定含參函數的參數取值范圍是一類常見的探索性問題，主要是求存在性問題或恒成立問題中的參數的范圍.解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想，通過分離參數、分類討論等思維方法進行求解.而求解策略的恰當選擇，取決于求解視角是否準確.另外，當參變分離有困難時，我們通過對函數的參數分類討論，達到求函數最值也能解決此類問題.