一類新定義下的連續不可導的函數

馬濤

【摘要】設f（x）是定義在[a，b]上的精致函數，有

（1）f（x）在[a，b]上的弧長無限.

（2）f（x）在[a，b]上是處處連續處處不可導的.

【關鍵詞】函數;幾乎精致;弧長

一、引 言

對處處連續處處不可導的這一類函數，古今有一些研究，大致可分為兩類，第一類為維爾斯特納斯以三角級數構造的，如下

其中，11+3 2π.這類函數偏重代數性質，忽略了幾何性質.

第二類為分子布朗運動形成的軌跡，具有一定的幾何性，但近似于震蕩的，幾何結構過于單一化了，且是隨機的.

新定義的這類函數，有精致的幾何結構，且在不同量級的尺度下測量，具有不同的幾何結構，從而使得幾何結構變得豐富多彩，使得幾何結構不具有確定的答案.

其中，蘊含了分形的思想，偏重于幾何結構，更在意于小量級下的結構，這和量子所處的尺度相重疊，都著重于描敘精細結構，探索微觀下的性質.

二、預備知識

數列與序列：數列{an}.→：n→+∞.序列{an}.可以使得，n<+∞.

數序基礎：a，b∈R ，且a≠b，那么，a，b之間必定包含R 上無窮多個數;對大于或小于關系，R 上滿足完備性.

符號意義：I={1，2，3，…，n}，n∈N +，稱I為指標集.

A，B為任意集合，A

數量級上的比較定義：a1a2是正實數集上任意兩個元素.設定‖a‖代表正實數a的數量級，等價于，n1n2.其中，a1a2，‖a1‖=10n1，‖a2‖=10n2;數量級計數表示為a=a′a，a′∈[1，10）.

稱Δx的值為精度.

無特殊聲明外，一律在閉區間討論.

定義1 有f（x）在[a，b]上有定義，也可以定義在（-∞，+∞）上.

給x0∈[a，b]，在給定的δ>0下，∪（x0，δ）<[a，b]內.[在x=a或x=b處.考慮;∪+（a，δ）或∪-（b，δ）].

滿足下述條件：

在某一點的右鄰域或左鄰域滿足精致定義，稱，該點的右邊或左邊是單邊精致的.

除特殊聲明外，一般在∪+（x0，δ）內討論.

存在性.

顯然的，P0點精致性可以決定于尺度遠遠小于ε的微觀結構.

證畢.

例 如布朗運動的幾何結構為病態的精致函數圖像，其中改變了|ai|，|ai-1|的范圍，使得|ai|→+∞;|ai-1|→+∞.

定義2 變換φ稱為連續形變.假如滿足如下條件.

① 只對函數關系圖像有效，且：變換后關系依然為函數關系.

② 變換前后，弧長（或弧面.）具有不可伸縮性.

③ 變換前后，函數關系圖像都為連續的.

三、主要結論

定理1 f（x）是定義在[a，b]上的精致函數，則f（x）在[a，b]上的圖像總弧長趨于無窮.

證 由定義可知，f（x）在[a，b]上是連續的，則弧長是存在的.

證畢.

直觀上的反映：當弧長為有限值，分割區間長度趨于零，則分割區間上的弧長是沒有阻礙趨近于零;當弧長為精致弧長，分割區間長度趨于零，則分割區間上的弧長總存在精度阻礙其趨于近零.

證畢.

以上結論表明，以精致函數圖像作積分路線，被積函數正則的條件下，其第一類線路積分大多是發散的，這也是精致函數區別于一般函數的重要特征.

四、結束語

本文研究了新定義下的，處處連續處處不可導一類函數，并分析了其中一些性質，得到了一些結果，如任意子區間上的弧長無限性，任意子區間內不存在單調性，線路積分在正則條件下的發散性.

確切地說，在量子尺度的量級上更具有意義，很自然可以想到，將精致的概念進一步推廣，擴展到精致曲面，以及更高維度的幾何體，容易推測，它們在有限的區域內蘊含無窮大的邊界.

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