巧解二次函數面積類問題

呂建虎

【摘要】各地的中考數學壓軸題中二次函數都是永恒的話題，它有時甚至是這個試卷難度的風向標，如何提高學生解決二次函數面積類問題的能力，是每一名數學教師必須面對的課題.中考題是命題專家精心設計的作品，而這類問題中也隱含了一些一般性結論，本文將圍繞二次函數面積類問題，結合筆者日常教學心得體會，論述如何巧解二次函數面積類問題.

【關鍵詞】二次函數;面積;水平寬;鉛直高

初中數學中考壓軸題有一種常考的類型，二次函數最大面積問題.常用的方法有割補法、鉛垂高法等.學生面對此類問題往往不能順利地解決，究其原因在于割補法過程煩瑣、計算量大、容易出錯.本文主要介紹一種巧解二次函數面積類問題的方法，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.該方法是鉛垂高法的推廣，只要順利表示水平寬與鉛直高，就可以巧妙地將面積最大問題轉化為二次函數的最大值問題.

一、方法介紹

結論：S△=1 2水平寬·鉛直高.

如圖1所示，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度AD叫△ABC的“鉛垂高（h）”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=1 2ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半[1].

證明 如圖2所示，通過作鉛垂高AD，將△ABC分割成△ABD和△ACD，即S△ABC=S△ABD+S△ACD，過點B作BE⊥AD交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD交AD于點F，

S△ABD=1 2·AD·BE，

S△ACD=1 2·AD·CF，

S△ABC=S△ABD+S△ACD

=1 2·AD·BE+1 2·AD·CF

=1 2·AD·（BE+CF）

=1 2a·h.

注意事項：1.找出B，C的坐標，橫坐標大減小，即可求出水平寬;

2.求出直線BC的解析式，A與D的橫坐標相同，A與D的縱坐標大減小，即可求出鉛垂高;

3.根據公式S△=1 2水平寬·鉛垂高，求出面積.

二、例題精講

例題 如圖3所示，拋物線頂點坐標為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B.

（1）求拋物線和直線AB的解析式.

（2）點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，連接PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB.

（3）是否存在一點P，使S△PAB=9 8S△CAB，若存在，求出P點的坐標;若不存在，請說明理由.

解 （1）由頂點C（1，4），A（3，0）可以得出拋物線的解析式為y1=-x2+2x+3，已知B點的坐標為（0，3），所以直線AB的解析式為y2=-x+3.

（2）因為C點坐標為（1，4），把x=1代入y2=-x+3可得D（1，2），因此，CD=4-2=2，

S△CAB=1 2·OA·CD=1 2×3×2=3.

（3）如圖4所示，設P（x，-x2+2x+3），由P，F橫坐標相等易知F（x，-x+3），則△PAB的鉛垂高PF=yP-yf=（-x2+2x+3）-（-x+ 3）=-x2+3x，△PAB的水平寬OA=3，

由S△PAB=9 8S△CAB得：

1 2·PF·OA=9 8×3，

即1 2·（-x2+3x）·3=9 8×3，

解得x=3 2，則P點坐標為3 2，15 4.

三、結束語

通過以上例題可以看出，利用這種方法計算三角形的面積的關鍵是正確表示水平寬和鉛垂高，從而巧妙地借助坐標將面積最大問題轉化成二次函數最值問題，和割補法相比有很大的優勢.希望能開闊學生的視野，找到解題的靈感，使類似問題迎刃而解.如有紕漏，敬請讀者指正.

【參考文獻】

[1]劉永智.一個三角形的面積計算公式及其應用[J].中學生數學，2014（10）：5-6.