從高考“函數與導數”壓軸題看數學學科核心素養

邱婉珠

【摘要】核心素養下的高考對學生的綜合素養提出了新的要求，“函數與導數”壓軸題是高中數學考查學生綜合素養的很好途徑.本文將以2016～2019四年高考理科全國Ⅰ卷為例來看高考中“函數與導數”壓軸題對數學學科核心素養的考查情況.得出如下結論：函數與導數壓軸題主要考查學生的“數學運算”和“邏輯推理”核心素養;高考對函數與導數的“數學運算”“邏輯推理”核心素養的考查要求有下降的趨勢.

【關鍵詞】高考;函數與導數;數學運算;邏輯推理

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）以六大數學學科核心素養為主題，分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，并且新課標強調數學學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力.那么在高考全國卷中對學生關于數學學科核心素養是如何考查的呢？由于全國除了海南采取半自主命題，浙江、上海、江蘇、北京、天津采取自主命題外，其余省份陸續于2016年采取全國卷，其中河北、安徽、湖北、福建、湖南、山西、江西、廣東、河南、山東從2016年開始采取了全國Ⅰ卷對當地考生進行數學學業質量檢測.故本文將從2016～2019近四年高考理科全國Ⅰ卷的“函數與導數”壓軸題這一處于高考的重點熱點考點為例來看高考對數學學科核心素養的考查，并給出積極教學、提升學生數學學科核心素養的幾點總結.

一、數學學科核心素養

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.這些數學學科核心素養既相互獨立又相互交融，是一個有機的整體.在高考中“函數與導數”壓軸題主要考查學生的“邏輯推理”“數學運算”核心素養，接下來將對這兩個數學學科核心素養進行簡單的介紹.

（一）“邏輯推理”核心素養的內涵

“邏輯推理”是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養.主要包括兩類，分別是從特殊到一般的推理，推理形式主要是歸納和類比以及從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹.“邏輯推理”是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.

學生通過高中數學課程的學習，能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題;能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡;形成重論〖JP3〗據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力.

（二）“數學運算”核心素養的內涵

“數學運算”是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要是對運算對象的理解，對運算法則的掌握，對運算思路的探究，對運算方法的選擇，對運算程序的設計以及得出運算結果等.“數學運算”是解決數學問題的基本手段，是演繹推理，用計算機解決問題的基礎.

學生通過高中數學課程的學習，能進一步發展數學運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

二、試題呈現與分析

（一）試題呈現

例1 （2016年高考數學全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍;

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

本題主要通過分類討論思想考查函數與導數的不等式等基礎知識.第一問主要考查函數與導數的單調性和分類討論思想，第二問是綜合運用數學的知識證明不等式.

例2 （2017年高考數學全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解法 （1）求導，根據導數與函數單調性的關系，分類討論，即可求得f（x）的單調性;

本題是對導數的綜合考查，通過導數求函數單調性及最值考查學生的分類討論思想，通過零點的判斷考查學生的計算能力.

例3 （2018年高考數學全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數f（x）=1 x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）-f（x2） x1-x2< a-2.

解法 （1）求出函數的定義域和導數，利用函數單調性和導數之間的關系對參數a進行分類討論.

（2）將不等式進行等價轉換，構造新函數，研究新函數的單調性和最值得以證明.

本題主要考查對函數單調性的判斷，以及函數與不等式的綜合，通過分類討論的思想判斷函數的單調性;通過極值點的判斷結合轉化思想，考查學生的數學運算能力.

例4 （2019年高考數學全國卷Ⅰ理科第20題）已知函數f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）為f（x）的導數.證明：

（1）f′（x）在區間-1，π2存在唯一極大值點;

（2）f（x）有且僅有2個零點.

本題通過數學轉化思想和函數與方程思想，通過求導解決函數的極值與零點的相關問題，來考查學生的邏輯思維能力與推理運算能力.

（二）試題分析

近幾年，以函數與導數命制的壓軸題占據著高考數學的制高點，這些試題是命題專家將高中知識與大學知識進行巧妙結合，常常以高等數學知識為背景精心設計的問題，注重考查學生的“四能”以及學生的數學核心素養和探究、創新意識.本文主要研究高考函數與導數這一壓軸題是如何對學生的數學學科核心素養進行考查.

由試題呈現我們可以知道，近四年高考數學全國卷Ⅰ理科卷對函數與導數的考查均是兩個問題組成，其中第二個問題均需要在解決第一個問題的基礎上進行解答.通過分析我們發現，前三年關于函數與導數均作為必答題的最后一道壓軸題，并且第一個問題均是要經過對參數的分類討論從而對問題進行解答，主要運用分類討論思想，學生通過掌握基本形式和規則，探索和表述解題過程，理解命題體系，有邏輯地解答，主要是對學生的“邏輯推理”核心素養的考查.第二個問題在第一個問題的基礎上，綜合運用數學的單調性、極值、最值、零點等知識，結合轉化思想、函數與方程思想等，考查學生推理論證以及運算能力，學生通過理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路最終求得運算結果，主要是對學生的“數學運算”核心素養的考查.對2019年高考數學全國卷Ⅰ理科卷，相對前三年有些許變化.在試題分布方面，2019年全國Ⅰ理科卷分布在必答題的導數第二題，即20題;在試題的題干中，函數并不存在參數，而是一個具體的函數表達式;在試題的問題設置上并不存在明顯的討論題目.

雖然2019年全國Ⅰ卷理科卷關于函數與導數的考查相比于前三年的試題發生了些許變化，但是所謂萬變不離其宗，對函數與導數的考查仍位于高考壓軸題的地位，對函數與導數的相關極值、最值、零點、單調性等知識的考查，具有較強的綜合性，難度較大，通過對函數求導再求導，結合單調性以及零點存在定理，證明f′（x）在區間〖JB（（〗-1，π 2存在唯一極大值點，要求學生通過對運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的探究、運算方法的選擇，設計運算程序，求得運算結果，得以證明結論，主要對學生數學運算核心素養的考查.通過數學轉化思想，函數與方程思想，推斷出x，f′（x）和f（x）的變化情況表，從而證明f（x）在定義域內有且僅有2個零點，要求學生掌握基本形式和規則，學會對論證過程的表述和探索，對命題體系的理解，能夠有邏輯地表達證明過程并得出證明.

三、總結提升

筆者將結合前面的試題分析做出如下的總結：

（1）函數與導數壓軸題主要考查學生的“數學運算”與“邏輯推理”核心素養，對函數與導數的相關知識的考查相對比較綜合，難度較大.學生在平時做此類型的題時，要注重對“數學運算”與“邏輯推理”核心素養的培養.筆者通過對學生答題卡進行分析以及對部分學生的訪談發現，學生在解決此類題型時，理解了解題思路就認為完成了任務，懶于下筆、懶于反思，這將不利于學生“數學運算”與“邏輯推理”的核心素養的培養，不利于學生對此類題的思考，在今后仍然對此類題無從下手.所以筆者建議學生應該勤下筆、勤反思，多計算、多思考，培養學生的“數學運算”核心素養、“邏輯推理”核心素養，爭取學會舉一反三，培養學生創新精神，靈活解決問題.

（2）高考對函數與導數的“數學運算”“邏輯推理”核心素養的考查要求有下降的趨勢.2016～2018年關于函數與導數的考查試題均分布在必答題的最后一道題，即21題，難度較大;2019年關于函數與導數的考查試題分布在必答題的倒數第二道題，即20題，難度相比前三年有所降低.前三年所給出的函數含有參數，需要對參數進行分類討論，解決問題;2019年所給出的函數是一個具體的函數表達式，不含參數.由此也可看出難度相比前三年有所降低.

【參考文獻】

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