一道高考不等式題的淺析

陳麗

【摘要】不等現象是現實生活中的常見現象，建立不等關系能夠更好地解決實際問題.不等式在高考中是重要的考查內容，常常與幾何、函數、方程、概率等內容相結合.高考題大多來源于教材，對一道不等式題目的一題多解、一題多變、教材中的題源以及推廣，能夠使學生通過解答一道題目了解一類不等式題型，提高學生的解題能力.本文選擇2019年高考理科數學（全國卷Ⅰ）中的一道不等式證明題進行簡要分析.

【關鍵詞】不等式;一題多解;一題多變;推廣

2019年高考理科數學（全國卷Ⅰ）第23題不等式選講：

23.已知a，b，c為正數，且滿足abc=1，證明：

（1）1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2;

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

一、對不等式（1）的一題多解、多變、題源及推廣

（一）對不等式（1）的一題多解

對不等式（1）變形的方式有兩種：直接將abc=1替換題目中的分子1，或者將不等式左邊直接通分.

將證明1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2轉化為證明a2+b2+c2≥bc+ac+ab成立.

證法1 比較法

證明：∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2） 2

=1 2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法2 綜合法

證明：∵abc=1，∴1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab.

又∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca.

根據不等式性質，三式相加得：

2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），

∴ab+bc+ca≤a2+b2+c2，∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法3 分析法

證明：∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab abc≤a2+b2+c2，

∴bc+ac+ab a2+b2+c2≤abc，

bc+ac+ab a2+b2+c2≤b2+c2 2+a2+c2 2+a2+b2 2 a2+b2+c2=1，

∴abc=1，∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法4 反證法

證明：假設1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2不成立，即

證明a2+b2+c2<1 a+1 b+1 c成立.

由題意得1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab.

∵a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=1 2[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2）]

=1 2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，與假設矛盾，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2.

證法5 放縮法

證明：令a≥b≥c，

∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）=a（a-b）+c（b-c）+c（c-a）

≥c（a-b）+c（b-c）+c（c-a）=0，

∴a2+b2+c2-（bc+ac+ab）≥0，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法6 一般形式的柯西不等式

三維柯西不等式為：

證明：1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

根據柯西不等式得：

（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（bc+ac+ab）2，

右邊展開、移項得：a2+b2+c2≥bc+ac+ab，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法7 向量法

證明：設m =（a，b，c），n =（c，a，b）.

∵|m |·|n |≥|m ·n |，

∴a2+b2+c2·b2+c2+a2≥ac+ba+cb，

∴a2+b2+c2≥ac+ba+cb，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法8 構造函數[1]

證明：設f（a）=a2+b2+c2-（bc+ac+ab），

f（a）=a2-a（b+c）+b2+c2-bc，

Δ=（b+c）2-4（b2+c2-bc）=-3（b-c）2<0，

∴f（a）≥0恒成立，∴a2+b2+c2≥bc+ac+ab，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

同理，也可以以b或c為自變量構造函數，證明不等式成立.

證法9 參數法

證明：令a≥b≥c，設a=t+c，b=n+c（t≥0，n≥0），

∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=（t+c）2+（n+c）2+c2-c（n+c）-c（t+c）-（t+c）（n+c）

=（t-n）2+nt≥0，

∴a2+b2+c2-（bc+ac+ab）≥0，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

（二）對不等式（1）的一題多變

一題多變主要是通過改變同一道題的條件或者結論，一題多變的類型主要包括隱藏定值條件、改變成立的條件，或者改變背景將條件與其他知識進行交匯等.

變式1：（隱藏成立的條件）已知a，b，c為正數，且滿足lnabc=0，證明：1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

變式2：（改變結論）已知a，b，c為不全相等的正實數，且abc=1，證明：a2+b2+c2≥1 a+1 b+1 c.

變式3：（改變條件）已知a，b，c為正數，證明：ab+bc+ac≤a2+b2+c2.

變式4：（交換條件和結論）已知a，b，c為正實數，且1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2，證明：abc=1.

變式5：（增加元，交換條件和結論）a，b，c，d為正實數，且滿足abcd=1，證明：1 a+1 b+1 c+1 d≤a3+b3+c3+d3.

變式6：（改變背景）[2]設a，b，c是△ABC的三邊，證明：a2+b2+c2≤2（ab+bc+ac）.

（三）不等式（1）在教材中的題源

題（1）來源于高中數學4-5不等式選講，第一講的練習題第10頁第7題：

求證：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.

當項數為3項時，即：當abc=1時a2+b2+c2≥bc+ca+ab=1 a+1 b+1 c.

（四）對不等式（1）的推廣

可以由此推廣到n項時：

題（1）已知a1，a2，…，an為正數，且滿足a1a2…an=1.

當n=2時，當且僅當a1=a2時成立.

二、小 結

在證明不等式成立中，可以用綜合法、分析法、參數法、放縮法、數學歸納法、柯西不等式證明以及幾何證明等多種證明不等式的方法證明不等式成立.對不等式的考查中涉及了不等式的性質、函數的性質、向量的性質以及高等數學的知識[3].對不等式的一題多解多變有利于培養學生思維的靈活性，對高考題的題源的分析和嘗試推廣，教師一定要對考題和教材做到精確分析，幫助學生把握教材，精學精練.

【參考文獻】

[1]林克富.數學教學應重視一題多解[J].內江科技，2007（5）：156.

[2]侯富金.巧用不等式的性質一題多解[J].課程教育研究，2013（9）：178.