感知數學需要“入木三分”

周正兵

【摘要】在小學數學教學中，一些教師的教學方式方法傳統且單一，致使學生無法掌握和理解數學知識，嚴重影響了學生的正常學習。因此，教師要重視學生對數學知識和內容感知、領悟的程度，結合學生的認知特點和能力，實施合宜的教學舉措，讓學生在思考、操作、交流等活動中對數學對象能夠“入木三分”，以提高學生對數學問題的認識和對數學知識的理解。

【關鍵詞】數學學習；知識；思維；感知

作為數學教學的對象，數學知識和內容一般需要有充分體驗和多元感知的過程，這樣學生才能獲得直接、準確的認知，進而實現真正的數學理解。但是實際教學中，有不少通過“感知”才能獲得“理解”的教學內容，其教學目標通常都比較模糊，教學方式一般也比較單一。例如數感的形成、空間觀念的建立、數學思想方法的滲透、常見量的認識和把握等。類似內容的教學，老師們經常表現出無所適從，學生在課堂中也就常常“走馬觀花”，以致諸如“新授內容習題化”“教與不教一個樣”等現象屢見不鮮，嚴重影響學生對數學內容的認知和理解。而且對數學對象感知的程度通常決定著學習者認知的程度，而認知的程度又往往決定了數學理解的深度，其中，學生對這些數學對象的感知程度又是隱性的、不易覺察的。因此，數學教學需要重視學生對數學知識和內容的感知、領悟的程度，結合學生的認知特點和能力，實施合宜的教學舉措，讓學生在思考、操作、交流等活動中對數學對象能夠“入木三分”，以提高學生對數學問題的認識和數學知識的理解。下面以蘇教版數學四下《一億有多大》為例，試析讓學生感知數學知識和內容的應有目標與可能方法。

一、知識方面著力達“意”

“意”，即意思、意義、會意等。達“意”是指學生對數學內容意義的大致了解、對數學概念意義的粗略把握和對數學知識內涵的整體感知等，是數學教學最基本的目標和要求。達“意”是對數學知識和內容的表征、性質等的一種寬泛認知。

對“一億有多大”的探討，教材以“綜合實踐活動”課型設計了四個教學活動，第一個活動是“說一說”，讓學生說說對“1億”的認識，創設了讓學生結合已有認識說說“1億有多大”的交流活動，是學生進一步把握“1億”的基礎。根據知識的編排體系和學生的學習實際，學生可能依據“數級”的前后承接關系回顧“10個一千萬是1億”或“1萬個一萬是1億”，也可能依據習題中呈現的相關問題而獲得如“1億枚1元銀幣重 600噸”等經驗認識，甚至結合中國人口數、中國陸地面積等生活常識來介紹對“1億”的認識。可以說，如果絕大多數學生能從學科知識和生活實際兩個角度來闡釋自己對“1億”的認識，那就說明學生對“億”已經有了一定的認識，已經感受到“1億”確實是一個很大的數，認識到以“1億”為計量單位的物品是非常重、非常多的。從知識的層面說，已經達成教學目標了，學生已經具有了“1億”的知識基礎，已經具備了進一步感知“1億”大小的前提。

二、思維層面力求知“聯”

對數學知識的認識光有淺顯知曉肯定是遠遠不夠的，還需要思考其與相似、相關概念之間的聯系與區別，在比較、聯系中加深對數學知識的感知和認識。“知聯”就是要求數學教學凸顯知識之間的聯系，讓學生在關聯、遷移中獲得多元的認知。

對“1億有多大”的教學，教材除了設計了“說一說”的活動，還借助“計算器計算”編排了“數一數”“量一量”和“稱一稱”三個操作活動，借助“數100本練習本的時間”“量10枚1元硬幣的厚度”和“稱100粒大米的質量”三個有操作有推理的體驗活動，讓學生得出“數1億本練習本的時間”“1億枚1元硬幣的厚度”和“1億粒大米的質量”，活動不可謂不多樣，學生的感受不可謂不多元。但是審視用心良苦的活動設計，學生除感受到1億“很長、很高、很重”之外，以“抽象的概念理解其他抽象概念”的不足也是顯然的，因為對單位質量、時間概念來說，學生的感受通常是不清晰，把握通常是不準確的，用不清晰、不準確的感受和認識理解其他不具關聯性的概念，這樣的操作往往也具有不確定性，所以說，這樣推算出的數據肯定不科學，操作效果肯定不容樂觀！對此，可以將三個實踐活動與學生生活實際密切、充分聯系起來，有助于學生對“億”的認知和把握。例如在“數一數”的環節，教師先拋出“一個人按正常的速度1年能數完1億本練習本嗎？”讓學生先進行判斷和猜測，然后在拿100本新練習本進行三輪試驗，求出平均值大約45秒數100本，然后借助計算器進行推算和計算，得出如果像機器人那樣每天數24小時大約需要1.4年能數完1億本練習本，如果按人工每天只工作8小時大約需要4.3年能數完1億本練習本……接著反過來再追問和計算“假如一個人一生大約工作35年，那么大約可以數8～25億本練習本”。再例如根據10枚1元的硬幣大約厚2厘米，那么1億枚1元硬幣就厚20000000厘米，即200000米或200千米。再讓學生算一算，如果將這些硬幣豎著立于250米長的跑道正好可以立多少圈，如果豎著排列大約是揚州到南京汽車路程的幾倍等。這樣，以問題為驅動，將抽象的數據與學生熟知的事物結合起來，能夠讓學生感受到“1億”與生活實際的關系，為在多元信息的作用下實現對“1億”的進一步理解提供可能。

三、感知維度臻于構“形”

“構形”既是必要的教學方式也是實現“入木三分”的應有目標，意思是在整體感知數學對象的前提下，讓學生能夠獲得對其內涵有較為全面的了解和深刻的認知。換言之，不管是對“數”的大小的感知還是對“圖形”特征的把握，數學教學都需要讓學生有個類似“形”的形象記憶。

“億”是一個抽象的計數單位，要讓學生對“億”有比較形象的理解，估計沒有數學思維的成人通常都難以企及，所以需要以形象的依托作為感知的輔助支撐，進而促進學生對數學的理解。在上述讓學生知道“1億枚1元硬幣的高度大約是揚州到南京汽車路程的2倍”后，不妨補充單位面積1平方米，出示1個1平方米的正方形后，讓學生比劃一下1平方米的大小（教室1塊地磚的大小），再想一想1億平方米有多大，然后引導學生得出邊長10000米的正方形的面積就是1億平方米，接著出示學校的平面圖并告訴學生學校的面積大約是40000平方米，讓學生算出大約2500個學校占地面積是1億平方米，最后將大大的學校平面圖縮得很小，再呈現2500個學校平面圖即1億平方米，讓學生說一說“看著圖你有什么想法？”。如此操作，在交流、比較中，給學生留下的不僅僅是“很大、很多”的一些寬泛的、模糊的印象，還有在強烈視覺沖擊下頭腦中留下的“形”的記憶。不難看出，關于路程的關系是在一維圖形層面的感知，而借助單位面積1平方米推算和想象是二維圖形層面的比況，待學生以后學了體積單位后還可能實現三維形體層面的感悟。概言之，以“形”的方式讓學生感知數學內容，以多維的、多元的教學手段讓學生構建數學對象的印象，既豐富了學生的認知，又幫助學生對教學內容進行把握和理解。

總之，達“意”、知“聯”和構“形”，三者既是并列關系的實現教學目標的方式，又是具有遞進意味的“入木三分”的教學維度和要求。類似“一億有多大”的教學內容不在少數，教學的著力點可能會不盡相同，但都值得我們咀嚼和探索。如對千克和克的認識、體積和體積單位等。教學中，不論是對“數”的感知還是對數學思想的領悟，不論是對“形”的把握還是對規律性質的理解，都需要創設豐富的實踐活動，都需要給學生創造感受數學、領悟數學的機會。唯有如此，學生的數學學習才是立體的、可感的，才能 “入木三分”！