突破解三角形中的“選擇綜合征”

林麗娟

【摘要】在高考備考復習中發現，盡管已經過一輪復習，但學生仍對有些知識點或基本題型存在固化誤區或“選擇難”“入手難”的問題.如果我們能從學生的角度出發，從學生的困惑出發，將各基本題型進行針對性的歸納總結，再以微專題的形式展示給學生，勢必會達到事半功倍的效果.現就解三角形中的困惑進行探討，這一類型，學生的盲點在于其困惑如何選擇，也就是通常所講的“選擇綜合征”，如何將其突破，以便于在復習中達到絕佳效果，值得探究.

【關鍵詞】解三角形;正余弦定理;全國卷高考復習;“選擇綜合征”

運用正、余弦定理解三角形是全國卷中的必考題型，也是同學們容易失分的基礎題型，總是糾結于“選什么”“如何選”等問題，而這類“選擇綜合征”也讓他們總是“摸不著頭腦”，時而會時而不會，極其不穩定.立足于學生平時解題中的困惑，“選擇困難癥”一般分別為：① 正余弦定理的選擇;② 三角形的選擇;③ 變量的選擇.本文圍繞如何突破這一難點，結合筆者的教學經驗，談談想法，舉例探析，供讀者參考.

一、合理選擇正、余弦定理優化解題

解三角形時，要分析和研究問題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的.是否能根據題目中的已知條件，靈活選取正、余弦定理解三角形，也就尤為重要.

例1 在△ABC中，已知a=22，b=4，A=30°，求S△ABC.

另外，我們也可以從被求的面積出發，不難推出，只需再得到c邊就可以迎刃而解.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即8=16+c2-8c·3 2，即c2-43c+8=0，由方程解得c=23±2，再分類討論，從而利用公式S△ABC=1 2bcsinA 求三角形面積.解三角形要根據題設條件合理選擇正、余弦定理，可用正弦定理也可用余弦定理時，要注意這兩種方法的利弊之處，也要注意正、余弦定理間的共性，從而更有效地解題.

二、合理選擇三角形優化解題

當遇到多個三角形時，如何根據題設條件及求解對象合理選擇三角形？基本原則是要目標明確，把所有的條件“已知—可知—未知”盡可能集中在某個三角形中，利用正、余弦定理建立等量關系，用方程思想化之解之.

例2 （2013年高考全國課標Ⅰ卷）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC=90°.

（1）若PB=1 2，求PA的長;

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

解析 本題第一小題引導學生觀圖分析已知量和未知量在哪個三角形中，所解的三角形若條件不足“三個”，應弄清缺什么條件，這些條件怎樣由已知推出.第二小題引導學生利用方程思想解三角形，讓學生體會方程思想在解三角形中的應用.我們直接看一下第二小題：

（2）設∠PBA=θ，則∠PBC=90°-θ，在Rt△PBC中，BC=1，∴BP=cos（90°-θ）=sinθ.

在△ABP中，由正弦定理得：

顯然，第二種方法簡單許多，把盡可能多的邊角關系集中在一個三角形中，再利用正、余弦定理用方程思想將其化簡.本例中有多個三角形，應先根據條件畫圖，通常選擇條件較多的三角形及目標三角形.本例第二問我們就是根據方程思想，直接解三角形條件不足時，引入一個變量解三角形，盡可能集中在某個可關聯邊角的三角形中.

三、合理選擇變量優化解題

如果所要解的三角形條件不足，能否根據題中的信息結合圖形進行觀察、比較，恰當地選擇一個變量結合函數或方程思想進行求解呢？

例3 在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，則四邊形ABCD面積的最大值為.

解析 合理設元，由SAS可確定三角形、建立函數關系求最值.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎知識，考查運算求 解能力，考查化

例3變形 如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，則△BCD面積的最大值為

解析 此小題較難，難點在于如何設元、如何合理選擇變量.求△BCD的面積要先設出∠ACB=β，而在△ABC中已知AB=1，BC=2，設出∠ABC=α，由兩邊一夾角，三角形是確定的（可解），可表示出邊AC，不妨設AC=a，如何轉化變量也是個難點.

在△ABC中，設∠ABC=α，AC=a，

由余弦定理得：a2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα，

（轉化變量，消去邊）在△ABC中，由正弦定理得：

在高考復習中，如果能從學生的盲點、糾結點出發，幫助學生適當理清、剖析，再以微專題的形式展示給學生，那么復習勢必會達到事半功倍的效果.“他山之石，可以攻玉”，希望學生在復習的路上能少走些彎路，直搗黃龍.我們也希望成功的課堂教學能“常態化”，在高考的備考路上漸行漸穩.當然，在復習過程中這也是在培養學生自學能力、遷移能力，提高學生分析問題和解決問題的能力，掌握科學的學習方法，形成良好的思維習慣，培養數學核心素養.教學相長，培養學生的同時，教師的專業素養也得到了相應的提升，希望早日由“教書匠”向“研究型”乃至“專家型”教師過渡.

【參考文獻】

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[2]鞠妍.一道反復用作壓軸的高考題——高考復習的一些思考[J].中數數學，2011（5）：46-48.