遵循生長規律 找尋解題策略

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合肥一六八玫瑰園學校教育集團/ 李巖

卜以樓老師的生長數學觀認為：教學的首要任務,就是要明晰“教什么”的問題?！敖淌裁础笔侵浮敖虒W生學什么”和“教學生怎么學”。如果說教師教什么,學生就得聽什么,那么教師的主導地位與學生的主體地位的關系就不明確,很容易變成以教師為主宰。教師把“學生學什么”作為教的內容,那關系就比較明確了,教師要教學生的是“學什么”,就是引導學生去質疑、去發現、去探究、去歸納、去判斷、去概括……去把本來教師要教的東西變為學生自己去探索他所應該學的東西。本文以上述“生長數學”的觀點談談一道中考試題的教學。

一、試題呈現

已知： 在矩形ABCD 中，BD 是對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD 于點F，如圖1。

（1） 求證：AE=CF；

（2） 如圖2，當∠ADB=30°時，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2 中四個三角形,使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的。

圖1

圖2

二、學生解決問題情況反饋

本題是2019 年黑龍江省哈爾濱市的一道中考試題。第（1）題是證明兩條線段相等，可利用全等三角形進行證明。通過對學生解題情況的觀察發現，學生選擇哪一對三角形以及證明這一對三角形全等的條件的選擇都具有多樣性，而且都能較為順利地解決。第（2）題需要根據圖形和題意直接寫出符合條件的四個三角形。筆者在巡視指導中發現學生分析題目不夠透徹，對于面積的計算找不到抓手，沒有回歸題目的本質從三角形的高入手思考問題，進而在直接寫出結論的過程中出現攔路虎，基礎稍弱的同學基本放棄了思考。即使有學生得到了結果，但基本都是通過添加輔助線而得出的。

那么，對于類似的問題，教師應該如何引導學生學會解決呢？ 這其實就是教師要明確“教什么”的問題，事實上就是指“教學生學什么”和“教學生怎么學”，這就需要教師引導學生去質疑、去發現、去探究、去歸納、去判斷、去概括等，把本來需要教師教的東西變成學生自己經過探究應該獲取的東西。

三、以生長數學觀指導學生解決問題

生長數學的教學觀是將自然生長的理念引入數學學習活動的教學，是讓數學學習活動助力個體生命生長的教學，是前后一致的、邏輯連貫的、一以貫之的數學教學。在這個過程中,需要關注知識的生長、生命的生長、智慧的生長、境界的生長?；氐骄唧w問題的解決上來，教師應該教會學生干什么、怎么干、干干看和回頭看。

1.干什么

可以引導學生按照以下步驟對問題進行分析。

（1） 題目要我們干什么？

第（1）問要求證明什么？第（2）問如何直接得出四個三角形？

立意：確定問題最終目的，讓學生在梳理條件過程中有明確的方向。在第（2）問中要明確要求不能添加輔助線。

（2） 題目中的所給條件有哪些？

立意：梳理題目中的已知條件，哪些條件可以為我所用。對于本題，已給條件有：①四邊形ABCD 是矩形；②BD 是對角線；③AE⊥BD 于點E；④CF⊥BD 于點F。第（2）問中又給出的條件是：⑤∠ADB=30°；⑥不添加任何輔助線；⑦寫出的四個三角形中的每個三角形的面積都等于矩形面積的。

（3） 題目中的隱含條件又有哪些呢？

立意：題目中隱含條件的挖掘往往是解決問題的關鍵。本題的隱含條件有（由矩形的性質可得）：①對邊相等AB=CD，AD=BC ；②對邊平行AB∥CD，AD∥BC；③內錯角相等∠ABE=∠CDF，∠CBE=∠ADE，等。

2.怎么干

第（1）問要求證明AE=CF，這是證明兩條線段相等。目前我們證明線段相等的方法有很多，學生也非常容易想到最直接的方法就是尋找并證明兩個三角形全等，而這一點并不難。問題的關鍵在于教師要教會學生學會深入思考，領悟第（1）問的作用，關注第（1）問和第（2）問之間的聯系，第（1）問能否為第（2）問的解決提供必要的幫助。對于怎么干，路徑和方向很重要。

3.干干看

當我們有了解決問題的清晰思路，抑或只是有了一點苗頭，接著就應該進行大膽嘗試，或許在嘗試過程中，我們的思路有可能豁然開朗。

問題（1）的證明：在矩形ABCD 中，∵AB∥CD 且AB=CD，∴∠ABE=∠CDF。又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°?！摺螦BE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，∴△ABE≌△CDF?！郃E=CF。

對于問題（2），可以考慮兩個思路。

（2） ∵S△ABE=DF·AE，且BE=DF，∴ S△ABE=S△ADF=S矩形ABCD。同理S△BCE=SS矩形ABCD。所以，四個三角形分別是△ABE，△ADF，△CBE，△CDF。

4.回頭看

本題考察了矩形的性質、全等三角形、含30°角的直角三角形性質、勾股定理、等積三角形等知識，對學生的綜合能力有較高的要求，“等底等高的兩個三角形面積相等”是解決本題的關鍵。第（1）問的證明兩條線段相等并不是一個孤立的問題，而是為了證明第（2）問中的兩個△ABE 和△CBE 的高相等，這樣四個三角形面積相等也就自然而然地得到了。至于面積如何等于原矩形面積的，則可以由含30°角的直角三角形的三邊關系來確定。

從此題的解答過程中可以看出，題目本身難度不大，但得分率不高，原因在于學生在找已知條件時，不能充分挖掘題目本身的隱含條件，而本題對于隱含信息的梳理尤為重要。這就需要借助幾何直觀將問題變得簡明與形象，以便于學生探索解決問題的策略與方法，實現數學能力的升華。

四、結束語

北京大學丘維聲教授說過：“學數學就是學數學思維方式?！币虼?，教數學也就是教數學思維方式。思維方式既具有策略的宏觀靈動，又具有方法的微觀定向。對于圖形問題，需要經歷抽象、分析、計算、思維生長等過程，探索圖形中各元素之間的關系，然后通過邏輯推理進行證明，這個過程可以讓學生清晰地體會到合情推理和演繹推理的靈魂。數學核心素養的養成，不能單純依賴教師的“教”，而是需要學生參與其中，遵循知識生長規律，尋找解決問題策略，感悟數學本質，積累解決問題的能力和經驗。