基于Legendre-Fourier-Galerkin譜方法求解薛定諤方程

(云南財經大學統計與數學學院 云南 昆明 650221)

本文我們主要研究薛定諤方程，薛定諤方程分為帶有時間方向的初邊值問題以及不帶時間方向的初邊值問題，我們將針對在極坐標系下的薛定諤方程設計算法.下面首先介紹帶有時間方向的二維薛定諤方程在極坐標下的初邊值問題：

(1)

我們設計基于Legendre-Fourier-Galerkin(LFG)譜方法求解上述問題.

一、Fourier譜方法降維過程

假定未知函數φ=φ(r,θ,t)有如下傅里葉展開式：

(2)

其中N為給定正整數，展開式中基函數eimθ滿足如下正交性質：

(3)

當整數m≠n時,δmn=0；當整數m=n時,δmn=1，γ為常數.

將(2)式代入(1)式中有：

(4)

我們利用基函數eimθ的正交性，用e-inθ同時乘以(4)式的兩端，并在區間[0,2π]上對θ求積分，整理可得：

(5)

這一過程通過傅里葉變換將二維含時薛定諤方程轉換為一維含時薛定諤方程，目的在于減少計算量.

二、Legendre-Galerkin譜方法多項式展開

假設-1=x0

結合LGL quadrature結點構造在r方向上的結點，將徑方向r的取值范圍轉換到區間[-1,1]上，即：

(6)

(7)

將(6)式代入(7)式，并將v(r)依次換成

可得到如下解析式：

(8)

此時，方程只剩下時間變量.

三、時間方向使用Crank-Nicolson方法

在時間方向上我們采用Crank-Nicolson方法離散(8)式，即

(9)

其中

其中p=0,1,2,….(迭代次數，自行選擇).

設用向前的歐拉公式可以得到：

如此反復進行得：

本文通過求解具體例子來詳細介紹基于基函數φi(x)，eimθ的Legendre-Fourier-Galerkin 譜方法在薛定諤方程初邊值問題的求解實現過程：先假定方程中的未知函數能夠用基于基函數φi(x)，eimθ的展開式來逼近，然后將該未知函數的逼近展開式代入方程之中，再利用LFG 譜方法得到關于未知函數的微分方程組的初邊值問題和邊值問題，最終通過求解該薛定諤方程的近似解的信息。

基于基函數φi(x)，eimθ的LFG譜方法具有精度高、實現過程簡單等優點， 本文的算法實現過程及數值例子顯示了該譜方法的這些優點。所有的計算結果都通過我們撰寫的Matlab程序得到。在將來我們將討論如何利用LFG譜方法求解含有更為復雜勢能場的薛定諤方程的求解問題，給研究薛定諤方程現象的物理學家提供更為精準的數值解。