筆算教學：要知“式”，更要達“理”

姜華 魏光明

摘要：豎式是筆算的一種書寫形式，利用豎式計算是基于計算法則進行的。計算法則通常要滿足運算定律，算理則為計算法則提供了理論依據。算理、算法是筆算教學的兩大著力點，兩者相輔相成。知“式”，即掌握算法，確保實現運算能力的最低要求——“正確”。達“理”，即明晰算理，給計算教學注入更多的根部營養，可以助力學生運算能力的提升。

關鍵詞：筆算教學;豎式;算法;算理

筆算是常用的計算方法之一，通常借助豎式呈現演算過程，有相對嚴格、固定的運算順序，有明確的計算法則。在筆算教學中，不少教師依然存在重算法、輕算理的現象，這在很大程度上影響了學生借助計算學習發展思維能力。下面以一名年輕教師執教“筆算兩位數乘兩位數（不進位）”一課為例，透視這一現象并提出初步的改進建議。

一、教學現象：知“式”并不達“理”

在出示主題圖，學生列出算式 24×12之后，教師直接放手讓學生合作探究該算式的計算方法。學生也不負“師”望，出現了多種計算方法：

①把12拆成2×6，先算24×2=48，再算48×6=288。

②把12可以拆成10+2，先算24×10=240， 24×2=48，再算240+48=288。

③用豎式計算24×12=288。

教師順勢引導全班學生觀察豎式計算的過程和特點，強調了乘的順序和部分積的書寫位置等注意事項，總結出“兩乘一加”的計算方法，隨后順風順水地進入練習環節。練習1（見圖1）在獨立計算和全班核對中波瀾不驚地過去了。練習2（見圖2）的正確率卻遭遇“滑鐵盧”：全班31人，計算錯誤的有22人，錯誤率達70.97%。我們發現，錯誤點幾乎集中在第二欄的填寫，18人填成了“買（2）個熱水瓶，應付（46）元”。

對比上述兩道習題可以發現：練習1的三道筆算習題編排有層次，旨在由扶到放的過程中讓學生掌握筆算兩位數乘兩位數的計算方法。練習2賦予豎式計算真實的問題情境，關注學生是否理解豎式中每一步計算的含義。70.79%的錯誤率至少表明這些學生對筆算兩位數乘兩位數的算理還不夠明白。

筆者就“兩位數乘兩位數的筆算練習”對此班的練習情況進行了跟蹤調查，發現了一個尷尬現象：在后續練習中，只要遇到類似圖2中的練習，部分學生仍然會“執著”地出現類似上述的錯誤。這種題成了教師和學生的一個“心病”，感覺每次都在重復“昨天的故事”。那么，看似行云流水的教學背后，到底出現了什么問題呢？

二、問題分析：知“式”為何難以達“理”

1. 學生知“式”未知“理”

執教者通過課前測試，發現全班約78.4%的學生在寒假里對豎式有所預習和了解。正是這好看的數據，讓教師直奔準確計算，忽視了對算理的追問。在學習筆算的過程中，師生的演繹只有“是什么”，沒有“為什么”。

為了盡快地達成“準確計算”的教學目標，教師只是請個別優秀學生進行示范。個別示范之后的簡單處理，讓學生只知其“式”未明其“理”。這樣的結果是，學習能力強的學生憑借經驗和練習逐步完善，學習能力弱的學生就只能“霧里看花”，依靠模仿和糾錯來鞏固。當學生沒有算理的支撐，依靠模仿和機械記憶學習筆算程式化的演算過程，出現上述錯誤就在所難免。

2. 教師重“式”未重“理”

在與執教者交流中，筆者發現執教者沒有讀懂教材和“課標”要求，他更關注規范書寫豎式，固化筆算形式，進行正確計算，而丟棄了豎式產生的“理”。繼續追問，原來執教者誤解了“不進位”三字，認為“不進位”就是簡單易學，沒有難度。學生只要將三年級上冊“筆算兩、三位數乘一位數”的筆算方法和經驗遷移至此即可。但實際筆算兩位數乘兩位數，學生的學習難點有三：

（1）形式上有差異。三位數乘一位數的積只有一層，兩位數乘兩位數的積有兩層。兩層不完全積是學生認識上的一次非常大的跨越。

（2）口算與筆算運算順序有差異。口算24×12時，可以將12進行拆分，轉化成24×10+24×2，先算24×10或者24×2均可，但是豎式計算規定先算24×2。

（3）每步運算過程中積的表征和對齊。第二個乘數的十位與第一個乘數相乘時，積的個位上的“0”不寫，這樣的表征方式引出了積的對齊問題。

執教者將“兩位數乘兩位數的筆算”簡單地理解為兩次“兩位數乘一位數”筆算操作，再相加，忽視了學生學習的難點，忽視了對算理的探尋，沒有讓人為規定也能“講道理”。

3. 教學有“式”未有“理”

教材的編排旨在引導教師給學生創設探究24×12的空間，讓學生調動已有的知識經驗，特別是利用乘法結合律、乘法分配律，從理解拆分求積的分步過程上升到借助豎式計算。

教師沒有理解教材編排多樣化算法的意圖，忽視了尋找口算與筆算方法之間的聯系。要注意的是，提倡算法多樣化，要特別引導學生進行比較，打通不同方法之間的“隔離墻”。實際教學時，沒有通過比較尋找“先算24×10=240，24×2=48，再算240+48=288”與列豎式計算之間的聯系，更沒有在比較過程中理解每一步計算的含義。

三、實踐與思考：知“式”如何明“理”

基于以上思考，筆者就上述教學片段做了一些改進，并進行了課堂實踐：

【教學片段】

出示主題圖，引導學生閱讀信息，提出問題，并列出算式：24×12。

師：估一估，大約有多少個？

生1：因為20×10=200，我覺得是兩百多。

生2：我覺得比240還要多。因為10箱就240個，何況是12箱呢。

師：到底是多少個呢，你會算嗎？把你的算法試著在點子圖上表示出來。

學生獨立嘗試之后，全班交流。

生3、生4、生5分別結合點子圖，解釋各自的算法。（見圖3、4、5）

師：比較這三種算法，你能說說它們之間有什么相同和不同嗎？

生6：都是把12拆開算，但拆法不一樣，后來計算過程也不一樣。

生7：我發現每次拆，都是把12拆成兩部分，再把兩次算得的結果合起來。

生8：如果計算24×13，我覺得第二種拆算法就不方便了。

生9：我更喜歡第三種拆法，因為這樣算更簡便。之前兩種算9×24或6×24都要進位，而24×10是兩位數乘整十數，口算就可以了。

生9發言之后，學生們頻頻點頭。

師：口算24×12我們都會了，而且選出了簡便算法。豎式計算24×12又可以怎么寫呢？自己試試看。

學生獨立嘗試，教師巡視發現四種典型寫法。（見圖6、7、8、9）

師：現在有四種不同的豎式，你會怎么評價呢？

生10：我覺得①不對，剛才我們估算的時候就知道答案比240還要多，不可能是72。

生11：我知道問題在哪。先算的48是兩箱的數量，接下來應該算10箱的數量了，應該是240才對，他寫成了24。他一定是被1“騙”了，這十位上的1應該是10，實際上是24×10。

生12：②的計算結果雖然正確，但過程有缺陷，看擦過的痕跡就能知道。我們看不清楚288是怎么一步步算來的。

生13：③挺清楚的，和剛才的口算過程很類似。

生14：③雖然清楚，但是④更簡便啊，0不用寫了。

生13：我覺得0不能省掉，這樣很容易發生①的錯誤。

生13和生14誰也不能說服對方。班級對③和④也形成了不同的意見。

師：看來大家對這個“0”有不同想法了。那這個0能不能省寫？如果能，那可以省寫的道理又何在呢？我們不妨借助③一探究竟。

師生互動，借助學具卡片，聯系點子圖（圖5）的圈算，逐步明晰豎式的每一層積的算法和意義。（見圖10、11）

生13突然站起來了：老師，我明白240后面的那個“0”為什么不寫了，因為豎式第二層的積總是用兩位數乘一個整十數，積的末尾肯定會出現一個“0”，0加任何數還是原來的數，因此這個“0”可以省略不寫。

師：省略0之后的24，表示什么意思？十位上的1乘24，第二層的積的末位寫在什么位置？

……

1.幾何直觀——悟算理

“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》十個核心詞之一。顧名思義，幾何直觀的兩大維度是幾何和直觀，就是依托、利用圖形進行數學的思考和想象，讓研究的對象“看得見、摸得著”。實際教學中，可以利用數軸、方格紙、線段圖、點子圖，幫助學生發現問題、理解題意、尋求突破。

在本節課中，筆者利用點子圖，幫助學生在口算、豎式、直觀圖之間建立聯系，巧妙地將算式與點子圖相結合，將抽象的算理進行直觀、具體化的處理。學生在分一分、圈一圈、算一算的活動中，把兩位數乘兩位數這一新問題轉化為已有的經驗，即兩位數乘整十數和兩位數乘一位數。點子圖的運用，打破了教材主題圖的局限，有利于多樣化算法的出現，更有利于學生對多樣化算法進行優化，發現按數位把一個乘數拆成整十數和一個一位數，計算更加簡便。點子圖的運用，為搭建豎式埋下伏筆。雖然這兩種方法書寫形式不同，但是算理是一脈相承的。這樣，就讓學生對筆算的算理有了一些初步的感悟。

2.大膽放手——辨算理

運算能力也是《義務教育數學課程標準（2011年版）》十個核心詞之一，其三個外顯特征是正確計算、理解算理、方法合理。運算途徑簡潔，是方法合理的自然結果。前面的案例中有兩次全班交流辨析，分別出現在口算24×12和筆算24×12時。學生在第一次辨析中發現，按數位把第二個乘數拆成整十數和一個一位數，計算更加簡便。在辨析過程中，學生對運算信息的挖掘、運算方法的選擇、運算過程的簡化等有了進一步的感悟。

口算的辨析為豎式的呈現搭建了“腳手架”。筆者在教學時大膽放手，讓學生順著“腳手架”自主琢磨豎式的寫法。因為每個學生的學習背景和學習能力存在差異，課堂中出現了多樣化、差異化的豎式，筆者摒棄了先前的個別的標準化示范，收集并展示了多個不同思維水平層次的學生的真實想法，讓學生在比較中掌握豎式的正確寫法、尋求豎式計算過程的優化、明晰豎式計算的算理，從而突破學習難點。

3.巧用教具——明算理

計算過程中，積的表征和對齊問題對學生來說是一個難點。在本課中，為什么第二次的不完全積的個位上的“0”可以省略，不能用“一般這樣寫”一帶而過。教學中，筆者借助數字卡片，聯系點子圖的圈算過程，在“一遮一換”中讓學生明白了每一步運算的含義，尤其是第二步“換0”的操作，讓學生清晰地看到積的第二層0出現的必然性，以及可以“省0”的可行性。在生13的自覺評價中，可以清楚地看到學生在理解的基礎上實現了思維拔節。

由此可見，研讀教材不能停留于表面，應該注重溯源而上和順流而下，運用整體性和結構化的思維厘清所教知識點在知識脈絡中的位置，發現學生的思維盲點，進而有針對性地設計教學活動。就計算教學而言，教師應該依理馭法，學生只有明“理”才能得“法”。教師不僅要從認識上“法”“理”并重，更應依據學生原有認知，借助幾何直觀，給計算教學注入更多的“根部營養”，讓學生在計算時有效地發展思維能力。

責任編輯：丁偉紅