多金屬露天礦多目標生產計劃優化問題建模及求解算法

顧清華 呂艷紅 盧才武 阮順領

（1.西安建筑科技大學管理學院，陜西西安710055；2.西安建筑科技大學資源工程學院，陜西西安710055）

1 引言

礦產資源是一種不可再生資源，近年來隨著經濟下行和礦產資源的逐漸枯竭，礦山企業必須采用高效節約的生產方式進行開采生產，而伴生資源的合理利用是當前礦山企業降本增效的重要途徑之一。原有針對單一礦種的生產計劃優化方法，只能達到單一礦產資源的優化目標，不能滿足當前礦山企業進行多礦種綜合利用和精細化開采的實際需要，因此對多金屬露天礦的多目標生產計劃優化問題研究顯得十分重要和迫切。有效的多金屬露天礦生產計劃的制定是合理持續地利用有限礦產資源和提高礦山企業經濟效益的關鍵。

露天礦的生產計劃優化問題是一個組合優化問題。近年來，國內外許多文獻對露天礦山生產作業優化問題建模進行了研究。①在資源有限的情況下，多數露天礦生產計劃優化問題以生產開采成本最小為目標進行研究，如Eivaz等[1]以開采成本最小為目標編制多出礦點露天礦采掘生產計劃，滿足礦山實際生產需求；吳仲雄等[2]以年運費最低為目標函數，礦山可采量和供礦量等為約束條件，構建露天礦開采計劃模型。②根據礦石品位具有分布廣、波動大等特點，部分生產計劃優化研究側重對礦種品位波動的研究，以品位波動最小為目標進行研究，如王李管等[3]、Bascetin[4]根據礦山的生產需求，從礦石品位波動的角度出發，以單一礦種品位波動最小為目標建立配礦生產計劃模型，解決入選礦石不均勻的問題，提高礦產資源利用率；Gholamnejad J等[5]針對地質品位因素，從品位不穩定的角度出發建立生產計劃模型，優化結果較接近于實際生產要求。③露天礦的生產計劃也受外部市場等不確定因素的影響，金屬的價格變化對生產計劃的影響也是研究熱點，如Stone P等[6]以企業經濟效益的角度出發，提出價格和經濟成本的模型，利用整數規劃的方法生成最優的中長期生產計劃。④除此之外，還有學者從開采順序[7]、投資價值和風險[8]等方面進行了相關研究。綜合上述研究分析，國內外關于露天礦生產計劃的問題研究均在一定程度上滿足礦山企業絕大數經濟指標需求，但存在以下不足:一是現有文獻主要以單一礦種為研究對象，不能滿足當前低品位多礦種綜合開發利用的實際需求，不利于企業的高效節約生產；二是多數露天礦生產優化問題模型目標單一，不能滿足實際生產中多因素多目標綜合優化的實際需求。

隨著對露天礦山生產計劃優化問題建模研究的不斷深入，計算復雜性增加，露天礦山生產計劃很多情況下是NP完全問題，其求解方法也是研究生產計劃優化問題的重點。很多采用人工的方式控制礦山的計劃、采裝，這種方式難以保證生產的準確性、連續性及穩定性。目前對礦山生產計劃優化模型的求解方法主要側重于兩個方面。一是數學規劃的方法，主要包括整數規劃[9]、動態規劃[10]等方法。這些數學方法是露天礦生產計劃優化建模應用較早的方法，一方面由于其目標函數唯一，且對多約束問題模型的求解有一定的限制，導致在實際應用中仍存在不足。相比于數學方法，群體智能優化算法在求解規模復雜的優化模型方面具有明顯的優勢。近年來，許多研究用智能優化算法求解礦山的生產計劃優化問題，為礦山開采生產的準確性、連續性及穩定性提供保證。Moosavi等[11]將遺傳算法和拉格朗日相結合，對礦山采掘計劃進行了研究分析；Samavati[12]提出一種局部分支啟發式算法快速合理安排礦石塊體的開采順序，使得整個生產過程的凈現值達到最大；Asif K等[13]提出用粒子群對生產計劃優化模型進行求解；Sattarvand等[14]、Shishvan等[15]將蟻群算法應用到露天礦的采掘生產計劃的編制之中。目前這些算法大多針對單一礦種、單一目標的生產計劃優化問題進行求解，而針對多金屬多目標的生產計劃優化問題，分別從算法的收斂性、準確性等方面進行研究的文獻仍十分不足。

綜上分析，對目標生產計劃優化問題建模及求解的研究是多金屬露天礦山企業伴生礦產資源綜合利用及精細化排產的迫切需求。因此，本研究以采掘運輸成本最小和礦石品位波動最小為目標，以出礦點的出礦量為變量，構建多目標生產計劃模型，實現多出礦點多種礦石的綜合協同優化，同時提出了一種用IGWO算法求解多目標露天礦生產計劃的方法。

2 多金屬露天礦多目標生產計劃模型

生產計劃的實質就是根據礦山生產條件和環境，將高低品位各不相同的礦石按照比例進行混合以滿足礦石的質量要求，如圖1所示。將編制好的生產計劃方案反饋到采裝、運輸、選礦等環節，指揮生產作業。在露天礦山生產中，通常會存在很多采區，每個出礦點的平均品位不同。精細化生產就是根據不同礦區的品位分布和資源量分布，按照質量目標和產量目標，制定詳細的生產計劃。實現礦石品質的搭配，提高資源利用率，變廢為寶，增加礦山的服務年限。

最終境界內，如何合理安排每個出礦點的出礦量是編制露天礦生產計劃的關鍵。本模型僅考慮一個采區的不同的出礦點。在計劃期內，設露天礦山本采區含i個出礦點，每個出礦點的出礦量為xi（i=1,2,…,n），以xi為變量，建立多目標生產計劃模型。

2.1 目標函數

（1）開采成本最小目標函數。每個出礦點的采掘成本不同，同時出礦點到卸礦點的距離有所不同，所以采掘運輸費用不同。因此，以采掘和運輸成本最小為目標函數。

式中，ci為出礦點i運輸和采掘成本，$/t；xi為第i個采點的出礦量。

（2）礦石品位波動最小目標函數。為了滿足選礦廠的礦石質量要求，通常要合理地安排不同品位礦石的出礦量，礦石品位要最大限度地滿足最佳生產要求，同時力求各種礦石的品位偏差最小，進而提高整個礦床的利用率。

2.2 約束條件

（1）出礦點出礦量的約束。采場的出礦量必須小于或者等于其最大出礦量，同時為了保證露天礦山企業的收益，出礦量不能小于最小允許采掘量。

式中，qimin，qimax分別為出礦點i的最低出礦量和最高出礦量。

（2）礦石質量分數約束。由于每個出礦點礦石品位不同，配礦的質量決定了最終開采礦石質量的優劣，按照入選礦石的質量要求進行選礦，盡可能讓入選礦石的品位指標在一定的范圍內進行波動。

（3）破碎站處理能力約束。露天礦山的采場的處理能力要根據出礦量計劃合理安排。

式中，Omax，Omin分別為礦山出礦量的上限和下限；oi每個受礦點的處理能力。

（4）出礦總量約束。在某一計劃期內，露天礦的出礦總量是根據露天礦長期的生產計劃制定的，要同時滿足每個出礦點的要求和出礦總量要求，即不大于最大出礦總量。

式中，Q是某一計劃期的出礦總量；φi表示第i個出礦點的礦石回采率。

（5）礦產資源利用率約束。礦石回采率影響著礦石資源的利用率以及礦山成本，適當地提高礦山的回采率可以提高礦產資源利用率。

式中，θmin，θmax分別為綜合回采率的下限和上限。

2.3 模型處理

2.3.1 目標函數處理

根據礦山的實際情況，將各個指標的計劃值作為目標函數fi(x)的一個標準值fi0，求函數fi(x)與計劃值之間的偏差最小。將模型中的多目標函數優化模型轉化為單目標函數模型進行求解。轉化方式如下：

式中，f10為成本最小值；f20為品位波動最小值；wi反應在優化過程中對各個目標側重程度，引入均差排序法確定各個權系數[16]。

2.3.2 約束條件處理

露天礦生產計劃優化模型是一個具有復雜約束的多目標問題，對多個約束的有效處理是問題優化的關鍵，先對問題的約束條件作如下處理：

約束條件難以處理的問題，通過引入懲罰函數[17]，把模型轉化為無約束優化。用約束條件構建目標函數通常是在目標函數中加入懲罰約束函數，從而對不可行解進行過濾，處理形式如下：

式中，λ為懲罰因子；φj(x)為約束條件。將處理后的約束條件加到目標函數中，將復雜的多約束多目標問題轉化為無約束問題，便于問題的求解。

3 用改進灰狼算法求解生產計劃模型

3.1 基本灰狼算法

灰狼優化算法（GWO）[18]是Mirgalili在2014年提出的一種模擬灰狼種群的等級制度和捕食行為的新型群體智能優化算法。灰狼群體遵循等級社會制度，其層級分為α、β、σ、ω4個層次，規定α為群體的歷史最優解，β為次優解，σ為第三最優解，其他個體為ω。在d維的搜索空間中，灰狼群體在移動時采用下式進行更新：

式中，t為當前的迭代次數為獵物在d維空間上的位置為狼群對獵物的包圍步長為收斂系數，用來平衡全局搜索和局部搜索表示自然界的影響作用。分別為

式中，rand1，rand2分別為[0，1]之間的隨機變量；a為收斂因子，隨著迭代線性遞減：

灰狼群體是根據前3個最優解的位置來更新各自的位置，更新公式如下:

3.2.2 非線性收斂因子調整

灰狼算法的全局搜索和局部搜索之間的有力協調是保證算法尋優性能的關鍵。算法中的收斂系數|A|與算法的全局搜索和局部搜索能力有很大的關系，由式（12）可知，A隨收斂因子a的變化而進行變化，a又是進行線性遞減。但是在算法的實際搜索過程中，收斂因子a的線性遞減方式不能體現在優化過程之中。所以對收斂策略進行改進，為了更好地平衡算法的局部和全局的搜索能力，采用非線性變化更新方式：

式中，aini，afin分別為收斂因子的初始值和終止值。

3.2.3 改進更新公式

灰狼算法首先隨機產生一組候選解，每次迭代選出最好的3個候選解記為α、β和σ，它們引導著整個種群朝著最優解方向移動，但是在尋優過程中對較好的解并沒有記憶功能。受粒子群算法尋優策略的啟發，在灰狼算法迭代的過程中引入自我學習和

3.2 改進的灰狼優化算法

灰狼算法原理簡單、易于實現、參數設置簡單。但是與其他的以種群迭代的智能算法相似，灰狼算法也有求解精度低、易陷入局部最優的缺點。為了改善算法的尋優性能，本研究對基本灰狼算法做相應改進。

3.2.1 反向學習生成初始種群

對于以種群迭代為更新方式的優化算法而言，初始種群的優劣影響著算法全局搜索的速度以及解的質量。基本的灰狼算法初始種群的多樣性不足，會影響種群的優化效率和結果。為了提高種群的多樣性，在本研究中采用反向學習策略，利用已知個體位置的對立點生成新的個體位置，從而增加種群的多樣性。

（1）先在搜索空間中隨機初始化N個灰狼個體的位置作為初始種群p1。

（2）找到個體的反向點，根據初始種群p1來生成反向種群p2。

（3）合并種群p1和p2，對新的種群按照適應度值進行升序排序，為保證每一代種群的數量一致，選取前N個個體作為新的初始種群。群體學習策略，保留較優解的信息，避免算法陷入局部最優。對α狼的位置進行跟蹤，視α狼的位置為全局最佳位置，更新公式如下：

式中，ω為慣性權重；r3，r4分別為[0，1]的隨機變量；Xpbest為個體所經歷過的最佳位置；X1為全局最佳位置；c1，c2分別為自我學習和群體學習因子，為[0，1]之間的隨機數，主要協調群體和個體記憶對GWO算法搜索的影響，從而使得全局搜索和局部搜索平衡，減少陷入局部最優的概率。

3.3 模型求解

設計IGWO的粒子編碼方法，每個個體代表一種生產計劃方案，灰狼算法中每個粒子的維度表示出礦點，每個粒子的位置表示出礦點的采掘量，將模型處理后的目標函數作為IGWO算法的適應度值。采用IGWO對模型進行求解，算法流程如圖2。

4 工程應用和結果分析

4.1 工程基本概況及結果分析

為了驗證多目標露天礦生產計劃模型有效性和IGWO算法的優越性，以某露天礦的生產數據為樣本進行仿真實驗。通過對某生產作業計劃周期內的生產作業指標進行統計，已知作業期內礦石量為90萬t，所有礦石來自于8個出礦點。礦物成分和生產作業指標如表1所示，各個出礦點的采掘和運輸成本如表2所示。算法參數設置：最大迭代次數tmax=1000，種群規模為50，維數為8，aini=2，afin=0。根據勘探爆破數據，各個出礦點計劃期內計劃采掘量為x0=(5.00,8.00,20.00,8.00,5.00,17.00,9.00,18.00)，礦石的質量分數分別為（鐵，鉛，鋁，鋅）=（65.54%，1.40%，2.05%，2.76%）。在配礦生產中，每個出礦點的出礦量綜合指標為5≤xi≤20（萬t），各種礦石品位綜合指標范圍為65%≤g鐵≤66%，g鉛≤1.8%，g鋁≤2.2%，g鋅≤3.5%。

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分別用PSO算法、GWO算法和IGWO算法對本文模型進行優化求解，得到3種算法求解迭代曲線，如圖3所示。3種算法的尋優結果以及各個出礦點的出礦量如表3所示。

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從圖3中適應度曲線可知，IGWO算法在迭代到100～200代之間，結果在5.00%～5.05%之間波動，趨于平穩，驗證了IGWO算法在解決生產計劃問題上的可行性；在3種算法迭代的過程中，PSO算法和GWO算法在尋優的過程中，均有不同階段陷入局部最優，IGWO算法相對兩者能具有較好的尋優性能，表明IGWO算法的全局搜索和局部搜索之間協調較平衡。在求解精度方面，最終目標函數值PSO5.71%、GWO5.38%和IGWO5.05%，3種算法的優化結果進行對比分析，IGWO的優化結果相對于PSO和GWO求解結果較優，驗證了在IGWO算法中可提高解的質量。其次，在求解速度方面，優化所用時間分別為6.55 s（PSO）、4.45 s（GWO）和 1.923 s（IGWO），IGWO算法所消耗的時間最短，相對于PSO算法求解速度提高71%。將PSO、GWO和IGWO3種算法的優化結果進行對比分析，由表3可知，在求解精度方面，IGWO的優化結果相對于PSO和GWO求解結果較優，驗證了IGWO算法可提高解的質量。

將IGWO算法優化后各個出礦點的出礦量與優化前進行對比，如圖4所示。分析圖4，IGWO算法優化求解得到生產方案為X0=（12.77，7.05，18.55，10.00，14.77，5.00，7.65，20.00），總礦量為95.79萬t。計劃期的采掘計劃總量為90萬t，在用算法優化的過程中，往往會比計劃期的采掘量要高，這主要是由于在優化的過程中采用罰函數對約束條件進行處理以及模型中品位偏差的約束影響，對低品位的礦石進行一定的回采，增加資源的利用率，同時也驗證了模型的優越性。

4.2 IGWO優化不同的目標函數

用IGWO算法優化不同的目標函數，在綜合多目標函數值F最小、采掘和運輸成本f1最小和品位偏差f2最小3種目標下的優化結果如表4所示。

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由此可知，在3種優化目標之下，多目標模型出礦量相對較好。此優化結果出礦總量相對最大，但是對于注重精細化生產且年產量較大的礦山其效益顯著。且大多露天礦山為伴生或共生礦，多種金屬同時參與配礦，這對礦山的戰略規劃和可持續發展具有重要的現實意義。

5 結論

（1）綜合考慮多金屬露天礦山實際生產要素，以4種金屬為研究對象，以開采運輸成本最小和品位波動最小為目標，綜合考慮礦石產量、品位波動、礦石資源利用率等多種實際約束，構建多目標露天礦生產計劃優化模型，提高多金屬露天礦礦產資源綜合利用。

（2）提出了針對求解復雜多目標多約束生產計劃問題的IGWO算法，在IGWO算法中設計反向學習策略和非線性收斂策略，并驗證了IGWO算法求解復雜約束的露天礦山生產計劃優化問題的有效性和優越性，拓展了該算法的優化應用。

（3）采用某大型多金屬露天礦山的生產作業數據進行仿真實驗，在生產周期內合理預估出礦量、開采成本和品味偏差，優化結果較符合多金屬露天礦山的綜合開采生產需求，使礦山企業配礦管理由粗放向精細化轉型，從而提高礦產資源利用率，這對礦山的戰略規劃和可持續發展具有重要的現實意義。