義賣里的科學規劃

卓西咔

“爸爸快點，再遲就要沒位置了。”今天阿才早早地起了床，拉著爸爸要往中心廣場奔去。原來今天學校組織義賣實踐活動，同學們都可以在家長和老師的陪同下來到市中心廣場，設立自己的小攤檔，變身成為“小店主”，向路人兜售自己精心準備的文具、玩偶、零食、畫作等物品。而且這次活動賺到的義賣款將會用來幫助有困難的小朋友。同時，本次活動還設置了排名，賺取最高金額的同學還將會獲得“優秀店員”的獎狀一張。這次的實踐活動可謂是意義非凡，大家都在積極地籌備著，阿才更是摩拳擦掌，決心“大干一場”，甚至從家里帶來了好幾本自己心愛的漫畫書，希望等下能將它們賣出個好價格。

距離義賣活動正式開始還有一段時間，但市中心廣場已經熙熙攘攘，熱鬧非凡，吸引了不少市民駐足圍觀。所謂“天時地利人和”，要打好義賣活動這一場“仗”，阿才知道要先選好合適的位置擺攤。經觀察發現，偌大的一個市中心廣場大致可分為兩部分，一部分是擁擠炎熱、人來人往的繁華區域，另一部分為陰涼舒適但人流較少的偏僻區域。接著，阿才陷入了沉思：“待在這兩個地方的時間該如何分配呢？”一旁的爸爸看著阿才煩惱不已的樣子，主動走過來給他打氣：“我們上陣父子兵，一起想辦法攻克難關。加油！”

如何科學地“部署”攤檔？

經過一番調查，阿才與爸爸得到以下這些信息：

阿才在繁華區域擺攤平均每小時可以賺得60元，而在偏僻區域擺攤平均每小時可賺得20元。但是相對在人多的區域要消耗更多的精力，平均每小時消耗40%;在人少的區域每小時僅消耗10%。除此之外，今天的義賣活動會持續2～4小時。

根據這些信息，爸爸設阿才在繁華區域擺攤x小時，在偏僻區域擺攤y小時，那么阿才今天義賣的預計總收入為z=60x+20y（元）。結合兩個區域擺攤的平均每小時精力消耗情況，可以得到0.4x+0.1y≤1。根據義賣活動持續時間，得到2≤x+y≤4 。結合實際，x和y都是非負數，所以有x≥0和y≥0 。現在就需要知道，如何選取x和y的值使得總收入z最大。

我們先在坐標軸上分別作出y=-x+4（直線1），y=-x+2 （直線2）， y=-4x+10（直線3）和y=-3x+z

20（直線4）的圖像：

由于2≤x+y≤4和0.4x+0.1y≤1，故我們取直線1和直線3的左邊，直線2的右邊，且x≥0和y≥0 ?，由此得到圖中的陰影部分（也叫可行域）。但是我們如何才能得到z的最大值呢？

既然我們無法直接得出z的值，不妨換一個思路。仔細觀察直線4，我們可以發現直線分別與豎軸交于z

20，與橫軸交于z

60（分別將x=0和y=0代入）。也就是說，當z取得最大值時，直線與豎軸、橫軸相交所得的值最大。那么問題又來了，該如何才能讓直線4與兩條軸相交得到的值最大呢？現在讓我們拿出我們的直尺，不斷將直線4往陰影部分“ 推動”（記住不能超出去喲），我們可以得到當直線4經過點A（2，2）（可將直線1和直線3聯立求出點A的坐標）時z的值最大，將x=2，y=2代入得到z=2×60+2×20=160（元）。也就是說，要令義賣的總收入達到最大值160元，阿才應該在廣場的繁華區域和偏僻區域各擺攤2小時。

如何省錢地“運達”善款？

經過一番“戰斗”后，接下來便是把這次的義賣所得在下午6點前送達學校，但現在距離6點還有一個小時。此時阿才開始思考一個問題：“到底如何規劃出行的方式，才能花最少的路費在規定時間內抵達學校呢？”阿才對規劃擺攤“部署”的方法舉一反三，得到了以下見解：

在爸爸的陪伴下，阿才可以選擇乘坐“快車”或“順風車”回校。阿才了解到，“快車”的平均時速為50千米/小時，而“順風車”相對慢一點，平均時速為25千米/小時。“快車”的收費是10元/千米，“順風車”的收費為5元/千米。學校距離市中心廣場約有40千米遠。爸爸身上只帶了350元。

根據這些信息，我們不妨設乘坐“快車”x千米和“順風車”y千米。由此得到總車費z=10x+5y。因為距離學校有40千米遠，所以有x+y=40。因為要在1小時內抵達學校，所以有x

50+y

25≤1。因為爸爸身上只有350元，所以有 10x+5y≤350。

現在要回答的問題就是在x+y=40，x

50+y

25≤1，10x+5y≤350，x≥0和y≥0 的約束條件下，如何確定x和y的值，使得z=10x+5y最小。

為此我們先在坐標軸上分別作出y=-x+40（直線5），y=-x

2+ 25（直線6），y=-2x+70 （直線7）和y=-2x+ z

5（直線8）的圖像：

按照我們之前的方法（因為直線7是等式，故只能取線上的點，“可行域”只包含BC線段）可得當B在（30，10）處，即 x=30，y=10 時，z取得最小值，有z=10×30+5×10=350 。也就是說，要車費取最少值350元，阿才和爸爸應該坐30千米“快車”和10千米“順風車”。

經過一天的努力，阿才和爸爸疲憊地回到了家中，但看著手里的“優秀店員”證書，心里充滿了成就感。