平面向量常見典型考題賞析

■張文偉

題型1：平面向量的基本概念

與平面向量的概念有關命題真假的判定問題，其關鍵在于理解平面向量的概念，還應注意零向量的特殊性以及兩個向量相等必須滿足：①模相等，②方向相同。平面向量有關概念的核心：①向量定義的核心是方向和長度，②非零共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制，③相等向量的核心是方向相同且長度相等，④單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度，⑤零向量的核心是方向沒有限制，長度是0，規定零向量與任何向量共線，⑥向量與數量不同，數量可以比較大小，向量不能比較大小，但向量的模是非負實數，可以比較大小。

例1 下列說法正確的是( )。

A.方向相同的向量叫作相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長度等于0

解：長度相等且方向相同的向量叫作相等向量，A不正確。方向相同或相反的非零向量叫作共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，B不正確。顯然，C正確。當時，所在的直線與所在的直線可能重合，D不正確。應選C。

跟蹤訓練1：有下列命題：①若|a|=|b|，則a=b；②若，則四邊形A B C D是平行四邊形；③若m=n，n=k，則m=k；④若a∥b，b∥c，則a∥c。

其中假命題的個數是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：對于①，|a|=|b|，a，b的方向不確定，則a，b不一定相等，①錯誤。對于②，若模相等，即則向量的方向不一定相同，所以四邊形A B C D不一定是平行四邊形，②錯誤。對于③，若m=n，n=k，則m=k，③正確。對于④，若a∥b，b∥c，則當b=0時，a∥c不一定成立，④錯誤。假命題是①②④。應選C。

題型2：平面向量的線性運算

用已知向量表示另外一些向量，要利用向量的加法、減法、數乘運算，還要利用平面幾何的一些定理。在求向量時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，利用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解。

例2 如圖1，在△A B C中，點M為A C的中點，點N在A B上，點P在線段

圖1

解：由向量運算法則，可得應選D。

跟蹤訓練2：如圖2，在△A B C中，點D在B C邊上且C D=2D B，點E在A D上且A D=3A E，試用表示

圖2

提示：由平面向量的三角形法則及向量共線的性質，可得

題型3：共線向量定理及其應用

利用共線向量定理可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數的值。若a，b不共線，則λ a+μb=0的充要條件是λ=μ=0，這一結論結合待定系數法應用非常廣泛。證明三點共線：若，則A，B，C三點共線。

例3 已知a，b是不共線向量，，若A，B，C三點共線，則λ，μ的關系一定成立的是( )。

A.λμ=1 B.λμ=-1

C.λ-μ=-1 D.λ+μ=2

解：若A，B，C_三點共線，則存在一個實數t，使得，即λ a+b=t a+μt b。因為a，b是不共線向量，所以消去參，數t可得λμ=1。應選A。

跟蹤訓練3：設e1與e2是兩個不共線向量，向量3e1-2k e2，若A，B，D三點共線，則k的值為____。

提示：由題意可知A，B，D三點共線，故必存在一個實數λ，使得又(k e1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2，所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2。由e1與e2不共線，可得解得k=

題型4：平面向量基本定理的應用

應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算。用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決問題。

例4 如圖3，在直角梯形A B C D中，A B=2A D=2D C，E為B C邊上一點為A E的中點，則

圖3

解：取A B的中點為G，連接D G，C G。易知四邊形D C B G為平行四邊形，所以由此可得

跟蹤訓練4：如圖4所示，在△A B C中，

點P是A B上一點，且點Q是B C的中點，A Q與C P的交點為M，又，則實數t的值為_______。

圖4

提示：因 為所以，所 以 2可知P為線段A B的一個三等分點(靠近A點)。由A，M，Q三點共線，可設因為由此解得t故t的值是

題型5：平面向量的數量積問題

已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數量叫作向量a和b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b=，規定a·0=0。

例5 如圖5，在等腰直角△A B C中，∠A B C=90°，A B=B C=2，M，N(不與A，C重合)為A C邊上的兩個動點，且滿足，則的取值范圍為( )。0＜a＜1，N(a+1，1-a)，可得

圖5

解：以B為坐標原點，B C所在直線為x軸，建立直角坐標系x B y，則B(0，0)，直線A C的方程為x+y=2。設M(a，2-a)，則，所以a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=。由0＜a＜1，可知當時取得最小值為即易得，故的取值范圍為應選C。

跟蹤訓練5：在△A B C中，B C邊上的中線A D的長為2，點P是△A B C_所在平面上的任一點，則的最小值為( )。

A.1 B.2

C.-2 D.-1

提示：建立如圖6所示的平面直角坐標系x D y，使得點D在坐標原點處，點A在y軸上，則A(0，2)。

圖6

設點P的坐標為(x，y)，則所以2≥-2，當且僅當x=0，y=1時等號成立。

故P的最小值為-2。應選C。

題型6：向量的投影問題

已知兩個非零向量a與b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ(或|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影。

例6 已 知 點A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影是____。

解：依題意可得，因此向量在方向上的投影是

跟蹤訓練6：已知兩個單位向量a和b的夾角為60°，則向量a-b在向量a方向上的投影是____。

提示：由兩個單位向量a和b的夾角為60°，可得，所以向量a-b在向量a方向上的投影為

題型7：與向量有關的面積問題

解答這類問題要注意平面幾何知識的應用以及對數學式子的幾何意義的挖掘。

例7 如圖7所示，設O是△A B C內部一點，且，求△A B C與△A O C的面積之比。

圖7

解：取A C的中點為D，連接_O D，則，由此可得，所以O是A C邊上的中線B D的中點，可知S△A B C=2S△A O C，即△A B C與△A O C的面積之比為2∶1。

_跟蹤訓練7：已知O是△A B C內部一點，且∠B A C=60°，則△O B C的面積是____。

提示：由O，可得所以O為三角形的重心，所以△O B C的面積為△A B C面積的。由2。由∠B A C=60°，可得因為△A B C的面積為，所以△O B C的面積為

題型8：向量在解析幾何中的應用

向量在解析幾何問題中的出現，多用于“包裝”，解決此類問題關鍵是利用向量的意義、運算，脫去“向量外衣”。利用向量a⊥b?a·b=0，向量a∥b?a=λ b(b≠0)，可解決垂直，平行問題。

例8 已知A B為圓C：(x-1)2+y2=1的直徑，點P為直線x-y+1=0上任一點，則的最小值為( )。

解：由題意可設點A(1+cosθ，sinθ)，點P(x，x+1)，則點B(1-cosθ，-sinθ)，可得(1-cosθ-x，-sinθ-x-1)，所以(sinθ-x-1)(-sinθ-x-1)=(1-x)2-cos2θ+(-x-1)2-sin2θ=2x2+1≥1，當且僅當x=0時等號成立。應選A。

跟蹤訓練8：已知圓C：x2+y2-2x-，點A(0，m)(m＞0)，A，B兩點關于x軸對稱。若圓C上存在點M，使得，則當m取得最大值時，點M的坐標是( )。

提示：由題意可得圓的方程為(x-1)2+，點B(0，-m)。

設M(x，y)。由于，所以(x，y-m)·(x，y+m)=0，可得x2+y2-m2=0，即m2=x2+y2。因為x2+y2表示圓C上的點到原點距離的平方，所以連接O C，并延長和圓C相交，交點即為M(圖略)，此時m2最大，m也最大。容易求得|OM|=3，∠MO x=60°，所以xM=3×。應選C。

題型9：向量在平面幾何中的應用

利用平面向量解決平面幾何問題，可建立平面直角坐標系，這樣可以使向量的運算更簡便一些。在解決這類問題時，共線向量定理和平面向量基本定理起主導作用。

例9 如圖8，在四邊形A B C D中，點E，F分別是邊A D，B C的中點，設。若則( )。

圖8

A.2m-n=1 B.2m-2n=1

C.m-2n=1D.2n-2m=1

解：由 題 意 可 得因為點E，F分別是邊A D，B C的中點，所以上述兩式相加可得，兩邊平方可得所 以，即由此可得，所以，即2n-2m=1。應選D。

跟蹤訓練9：已知是非零向量，且滿足，則△A B C的形狀為( )。

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

提示：由，可得可得，可得A=60°。由上可知△A B C為等邊三角形。應選C。

題型10：向量與三角函數的綜合問題

這類問題可應用向量共線，垂直或等式成立，得到三角函數的關系式，再利用三角函數在定義域內的有界性求解。

例10 在△A B C中，設A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m=(cosA，sinA)，n=，且|m+n|=2。

(1)求角A的大小。

解：(1)由可 得|m+n|=積。

由|m+n|=2，可得由0＜A＜π，可得所以A-，即

故S△A B C=16。

跟蹤訓練10：在平面直角坐標系x O y中，已知向量

(1)若m⊥n，求tanx的值。

(2)若m與n的夾角為，求x的值。

提示：(1)因為m⊥n，所以m·n=0，即

(2)因為|m|=|n|=1，所以m·n=，即，所以

題型11：向量與三角形的“四心”問題

例11 在 △A B C中，點G是△A B C的重心，則的最小值是( )。

解：設B C的中點為D。因為點G是△A B C的重心，所以

跟蹤訓練11：如圖9，已知△A B C外接圓的圓心為O，A為鈍角，M是B C邊的中點，則等于( )。

圖9

A.3 B.4

C.5 D.6

提示：由M是B C邊的中點，可得由O是△A B C外接圓的圓心，可得同理可得，。故。應選C。

題型12：與向量有關的軌跡問題

與向量有關的軌跡問題主要涉及三角形的“四心”問題、直線與圓問題等。

例12 已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個定點，若動點P滿足則點P的軌跡一定通過△A B C的( )。

A.內心 B.外心

C.重心 D.垂心

解：由題意可得即根據平行四邊形法則，可知(D為B C的中點)，所以點P的軌跡必過△A B C的重心。應選C。

跟蹤訓練12：已知過點(0，1)的直線與圓x2+y2=4相交于A，B兩點，若，則點P的軌跡方程為( )。

提示：設P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點(0，1)的直線方程為y=k x+1。由，可得(x，y)=(x1+x2，y1+y2)。把y=k x+1代入x2+y2=4，可得(1+k2)x2+2k x-3=0，則x1+x2=。同理可得。故x=所以x2+(y-1)2=1。應選B。