品味三角恒等變換中的誤區警示

■樊炯炯

三角恒等變換的方法靈活多變，突出對思維的靈活性和嚴密性的考查，解題時稍有不慎，便會出現增解、漏解甚至錯解的情況。本文歸納三角恒等變換求解中的誤區，希望能給同學們以警示。

誤區1：三角函數定義理解出錯

例1 已知角θ的終邊落在直線y=-3x上，求2sinθ+3 cosθ的值。

錯解：取直線上一點(1，-3)，則sinθ=-3，cosθ=1，所以2sinθ+3 cosθ=-3。

剖析：上述解法對sinθ=y，cosθ=x的理解有誤，定義中的(x，y)必須是角θ終邊與單位圓的交點坐標，不是任意點。

正解：設角θ終邊與單位圓的交點為(x，y)，則由此解得或故

警示：此類問題需要借助單位圓，將角θ終邊上的點轉化成終邊與單位圓的交點，通過解方程組求得交點，再依據三角函數的定義求解。

誤區2：應用誘導公式忽視分類意識

錯解：原 式

剖析：上述解法對三角函數誘導公式理解不準確，沒有對整數k分奇偶性進行討論。

警示：誘導公式(k∈Z)的本質是：奇變偶不變(對k而言，指k取奇數或偶數)，符號看象限(把α看成銳角時整體角所在的象限)。當整體角無法確定象限時，一定要對整數k分奇偶性進行討論。

誤區3：對誘導公式中的符號看象限理解不正確

剖析：上述解法對中的符號看象限理解不正確。

正解：利用誘導公式可把看成銳角，則是第二象限角，所以

警示：誘導公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限。這里的“奇偶”指的是的倍數的奇偶，“變與不變”指的是三角函數名稱的變化。“符號看象限”的含義是：把整個角看成銳角時，所在象限的相應余弦函數值的符號。

誤區4：給值求角中選用三角函數名稱不當致錯

例4 若，且α，β均為銳角，求2α+2β的值。

錯解：因為α為銳角，所以cosα=又β為銳角，所以cosβ。所以sin(α+β)=。由于0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，所以0°＜α+β＜180°，所以α+β=45°或α+β=135°，即2α+2β=90°或2α+2β=270°。

剖析：因為y=sinx在(0，π)上不是單調函數，y=cosx在(0，π)上是單調函數，所以應求cos(α+β)的值，可避免出錯。

正解：因為α為銳角，所以cosα=。又β為銳角，所以cosβ所以cos(α+β)=

由于0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，所以0°＜α+β＜180°，故α+β=45°，可得2α+2β=90°。

警示：由三角函數值確定角的大小，一定要注意結合角的范圍選擇合適的三角函數。已知正切函數值，選正切函數；已知正、余弦函數值，若角在(0，π)內，選余弦函數，若角在內，選正弦函數。

誤區5：忽視隱含條件的挖掘致錯

例5 若α，β，γ均為銳角，且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，則α-β=____。又α，β均為銳角，所以

錯解：由條件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，兩式平方相加得cos(α

剖析：上述解法沒有真正利用α，β，γ均為銳角的條件，從而導致多解。

正解：由條件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，兩式平方相加得cos(α。由γ為銳角，可得sinα-sinβ=

因為α，β均為銳角，所以α＜β，則β＜0，故-sinγ＜0，因此條件中隱含著sinα＜sinβ。

警示：當三個角均為銳角時，一定要挖掘它們之間的隱含條件，如題中由sinα-sinβ=-sinγ＜0，可得α＜β。

感悟與提高

已知sinθ，cosθ是方程4x2-4m x+2m-1=0的兩個實根，且，則m=____。

提示：由根與系數的關系可知1+2sinθcosθ后可解得