向量的數量積在解題中的應用

■季靈慶

作者單位：江蘇省揚州市寶應縣曹甸高級中學

平面向量的數量積的定義是a·b=，其幾何意義是a的長度與b在a方向上的投影的乘積。若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2。因此，平面向量的數量積的運算通常有兩種方法：一是依據模與夾角來計算，這時要借助于數量積的幾何意義；二是依據坐標來計算。

一、利用向量的數量積求夾角

例1 已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a與b的夾角。

解：設向量a與b的夾角為θ。

已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，由此可得方程組化簡整理可得解得b2=2a·b，a2=2a·b。由此易得a2=b2，所以|a|=|b|。因為所以故向量a與b的夾角為

評析：本題要求向量a與b的夾角，首先要求出a與b的夾角的余弦值，即要求出|a|，|b|及a·b，而題中很難求出|a|，|b|及a·b，但由公式可知，若能把a·b，|a|及|b|中的兩個用另一個表示出來，即可求出余弦值，從而可求得a與b的夾角θ。

練習1：在平面凸四邊形A B C D中，，點E滿足，且A E=B E=2。若的值為____。

提示：如圖1所示，易知 ∠A E B=90°，α+β=90°，，所以，則，可得sinα=

圖1

二、依據坐標研究向量的數量積

例2 已知向量a=(2 cosα，2sinα)，b=(cosα-sinα，cosα+sinα)。

(1)求向量a與b的夾角。

(2)若(λ b-a)⊥a，求實數λ的值。

解：(1)設向量a與b的夾角為θ。易得。所以

考慮到0≤θ≤π，因此可得向量a與b的夾角為

(2)若(λ b-a)⊥a，則(λ b-a)·a=0，即λ b·a-a2=0。

因為b·a=2，a2=4，所以2λ-4=0，解得λ=2。

練習2：在平面直角坐標系x O y中，已知點A，B在圓x2+y2=4上，且，點，設A B的中點M的橫坐標為x0，則x0的所有值為____。

提示：設點M(x0，y0)。因為點A，B在圓x2+y2=4上，且，所以∠A O B=90°，所以，所以

由①②聯立解得x0=1或

三、建立坐標系，利用坐標運算求數量積

例3 如圖2，在△A B C中，∠B A C=120°，A B=2，A C=1，D是邊B C上一點

圖2

解：以A為坐標原點，A B為x軸，過點A作A B的垂線為y軸，建立直角坐標系x A y，則由定比分點坐標公式得點所以故

評析：本題是利用坐標運算求解數量積的。本題也可以借助向量的拆分求數量積。由，可 得，即可得

練習3：在△A B C中，已知A B=2，A C=1，∠B A C=90°，D，E分別為B C，A D的中點，過點E的直線交A B于點P，交A C于點Q，則的最大值為_________。

提示：以A為坐標原點，A C為x軸，建立如圖3所示的直角坐標系x A y，則點B(0，2)，

圖3

設直線P Q的方程為b＞0)，所以點Q(a，0)，P(0，b)。由點E在直線P Q上，可得

四、借助于數量積的幾何意義求最值

例4 求函數y=3sinα+4 cosα的最大值。

解：由題意可令a=(3，4)，b=(sinα，cosα)。

評析：向量的數量積cosθ，因為0≤cosθ≤1，所以，當且僅當a，b共線時取等號。形如y=msinα+ncosα的最值問題，可構造向量a=(m，n)，向量b=(sinα，cosα)，然后利用求得。

練習4：求函數y=sin2x+2sinxcosx+3 cos2x的最值。

提示：將函數表達式化簡，注意向量的數量積的坐標表示的特征，構建不等式求出最值。原函數降次變形為y-2=sin2x+cos 2x。構造向量則a·b=y-2。利用及向量的坐標表示，可得，所以故此函數的最大值為最小值為