從兩個形似的速度關聯問題說起

王 芳

(江蘇省木瀆高級中學,江蘇 蘇州 215100)

速度關聯問題是運動的合成和分解中的重難點，對于用輕繩、輕桿相連的系統,學生會抓住兩物體的實際速度為合速度,并將其按沿繩(桿)和垂直于繩(桿)這兩個方向分解,取其沿繩(桿)方向的分速度相等,往往就能輕松解決問題。但是，對于下面兩個看上去很形似的問題,學生常用的解題套路卻失效了。

1 兩道形似題引發的思考

圖1

針對速度關聯問題的兩道形似題的解答如圖1、2所示，圖1中學生的解答是錯的,圖2中學生的解答卻是對的。兩題都是與桿相關的速度關聯問題,看上去很相似。學生采用同樣的處理方法,將平臺或物塊的速度沿桿和垂直于桿的方向進行分解,然后取其垂直于桿的分量和桿上接觸點的線速度相等。對錯結果不同，問題到底出在哪里?學生百思不得其解。

圖2

2 對速度關聯問題的分析

對于兩個剛體(形狀、大小都不發生變化的理想模型)或質點,當它們直接接觸或通過輕繩(桿)相連時,由于剛體和連接物輕繩(桿)均不發生形變,且輕繩(桿)的質量為零,它們不會改變系統的機械能。對整個系統而言,內部相互作用的彈力,其作用效果只是將機械能從一個物體傳遞給相互作用的另一個物體。由此可見,內部相互作用的彈力的瞬時功率應該總是一正一負,總和為零。又因相互作用力總是等大、反向,所以剛體或質點在彈力的方向上分速度必須相等。

根據彈力類型的不同,我們可以把速度關聯問題歸納為三種模型:輕繩連接模型、輕桿連接模型和直接接觸模型。對于由彈簧連接的系統,由于彈簧會儲存彈性勢能,不在我們討論的范圍內。

2.1 輕繩連接模型

從對速度關聯問題的分析可知:由輕繩連接的物體在彈力方向上的分速度一定相等。由于輕繩上的彈力總是沿著繩的方向,就能得到兩物體沿繩方向的分速度必相等,這與我們的常規處理方法是一致的。

例1:如圖3所示,有兩條位于同一豎直平面內的水平軌道,軌道上有兩個物體A和B,它們通過一根繞過定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接,物體A以vA=20m/s勻速向右運動,在繩子與軌道成α=30°角時,則物體B的速度vB大小為多少？

圖3

圖4

解析:以物體B為研究對象,由題意可知物體B實際速度為vB,方向水平向左。將vB沿繩和垂直于繩這兩個方向進行分解,得沿彈力(繩)方向上的分量v1=vBcos30°(如圖4)。

2.2 輕桿連接模型

對于輕桿連接模型,根據物體在彈力方向上的分速度相等出發,結合自由輕桿上的彈力總是沿著桿的方向,就能得到兩物體沿桿方向的分速度一定相等。

例2:如圖5所示,一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質點)。將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑,當輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高,其速度大小為vA,已知此時輕桿與水平方向成θ=30°角,B球的速度大小為vB,則( )。

B．vB=2vA

C．vB=vA

圖5

圖6

解析:受到球形容器制約,小球A、B繞O點做圓周運動。如圖6所示，在位置2處,小球A、B的速度均沿圓的切線方向。

將小球A、B的實際速度vA、vB分別沿桿和垂直于桿的方向進行分解,則小球A沿桿方向的分速度v1=vAsinθ,小球B沿桿方向的分速度v3=vBsinθ。根據輕桿連接模型中兩物體在彈力(桿)方向上的分速度相等,得v1=v3,即vA=vB,故C選項正確。

2.3 直接接觸模型

在速度關聯的問題中,直接接觸模型是學生最難理解和掌握的。主要原因是學生無法從效果上直觀判斷相互關聯的兩個速度到底在什么方向上的分速度相等。從機械能傳遞的角度考察，剛體沿接觸面的彈力方向上的分速度相等，抓住這個本質特征,只要正確判斷出接觸面上彈力的方向,問題就能得到輕松解決。

例3：如圖7所示,AB繞A點以一定的角速度ω由豎直位置開始順時針勻速旋轉,并帶動套在水平桿上的光滑小環運動。則小環在水平桿上運動時速度大小的變化情況是( )。

A． 保持不變

B． 一直增大

C． 一直減小

D． 先增大后減小

圖7

圖8

解析:桿AB與小環接觸,彈力方向垂直于桿。抓住物體在彈力方向上的分速度相等的本質特征,即桿AB與小環在垂直于桿方向上速度相等。

如圖8所示，選擇小環作為研究對象，受水平桿約束,小環實際速度v沿水平方向。將其速度按沿桿和垂直于桿這兩個方向分解,得垂直于桿方向的分量v2=vcosθ。

3 兩個形似題的錯誤原因及解析

學生在處理圖1、2中習題時,容易受輕桿連接模型的影響。學生的解答錯誤原因在于：認為物體在垂直于桿方向上的分速度相等；圖2中學生的答案雖然是正確的,但也是誤打誤撞蒙對的。在處理這兩個形似問題時,學生不考慮研究對象的選擇,簡單地將速度按沿桿和垂直于桿這兩個方向分解來求解,沒有真正找到此類問題的本質特征。其實這兩個問題都屬于速度關聯問題中的直接接觸模型，解決此類問題應牢牢抓住物體在接觸面的彈力方向上分速度相等。

(1) 圖1中習題解析

升降平臺和直棒的末端接觸,屬于點面接觸,彈力方向垂直于升降平面,也就是沿豎直方向。由題意可知平臺實際速度為v,方向豎直向上。直桿末端的點在繞固定軸O做圓周運動,其實際速度v′的方向垂直于桿向上。

圖9

圖10

(2) 圖2中習題解析

輕桿與物塊接觸,彈力方向垂直于桿。根據題意可知：物塊實際速度v的方向水平向右。因為桿與物塊接觸的點B在繞O轉動,所以B的速度垂直于桿向下。抓住桿上B點與物塊在彈力方向上的分速度相等,所以與上題不同的是：本題應選擇物體作為研究對象,將其速度按沿桿和垂直于桿這兩個方向分解。