數形結合思想在高中數學解題中的應用

劉經標

（廣昌縣第一中學，江西撫州 344900）

數形結合思想是把數學題中的數和形進行靈活的轉換，用圖形的形式把抽象的數學問題直觀地展現出來，幫助學生進行理解。著名數學家華羅庚先生曾說：“數與形，本身相倚依，焉能兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。”說的是數形結合在應用中的重要意義。縱觀高中數學，特別是在高考試題中，數形結合思想無處不得以體現，不僅可以解決數學問題，還可以幫助學生了解數學的本質，為以后的深入學習奠定基礎。

一、利用數形結合解集合問題

在數學學習中集合問題雖然較為簡單，但它是數學語言學習與運用的基礎，對集合語言進行掌握，可以幫助學生更好地進行數學表達。教師要提醒學生對集合學習進行重視。在解答集合問題時，學生要完成答題需要一定的空間構思能力，也會有一定的難度。在集合問題中應用數形結合思想，可以讓問題變得更加直觀，提高學生解題效率，降低錯誤率。[1]

集合問題在運用數形結合的方法時，一般把圓視作一個集合，通過兩圓相交、兩圓相離的情況，可以直觀地看出集合之間有沒有公共的數集，對集合之間的關系可以有準確的把握。用畫圖的形式可以降低演算量，把計算簡單化。[2]在解不等式的取值范圍問題時，可以利用畫數軸圖形的方式來解決問題，讓問題變得簡單。

二、利用數形結合解函數問題

1.數形結合思想與函數的零點個數問題

對于很多方程根的個數或零點個數問題，僅從數的角度思考和探究，往往就會陷入“山重水復”的地步，這時，我們如果轉換思路，從數化形，以形助數，數形結合，就會出現“柳暗花明”境界。

例1.（2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學期第一次聯考）函數則函數的零點個數為（ ）。

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

【答案】D

【點評】函數零點的求解與判斷方法：

（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點。

（2）利用零點存在定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且還必須結合函數的圖像與性質（如單調性、奇偶性）才能確定函數有多少個零點。

（3）利用圖像交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖像，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點。

2.數形結合思想與函數（導數）不等式問題

例2.若存在x∈(0,+∞)使ex-ax-1≤0成立，則實數a的取值范圍是（）。

A.（0，+∞） B.（0，1） C.（1，+∞） D.[1，+∞）

【解法1】分類討論法（略）

【解法2】數形結合法

原題?ex≤ax+1在（0，+∞）有解，作出y=ex圖像，直線lAB:y=x+1在x=0處與y=ex圖像相切，故a＞1。

【點評】比較這兩個方法，可以看出運用數形結合法，直觀、快速、準確地可求出結果，避開了較復雜的討論和計算。方法2顯得簡單多了。

三、利用數形結合思想求距離及其范圍

【點評】此題運用代數法計算量大，且易出錯，但用數形結合法簡單明了，結論易得且易理解。很多求代數式的值或取值范圍的題目，都可以賦形來求解。

四、數形結合思想在解析幾何中的應用

例4.（2017，江蘇卷）在平面直角坐標系xoy中，A（-12，0），B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上，若，則點P的橫坐標范圍是_______。

【解析】如圖所示，A（-5，-5），B（1，7），由圖得，滿足條件的P點位于圓O中短弧線段上，故P的橫坐標范圍是

【點評】該題用代數法極易給學生造成錯解，得出P的橫坐標范圍是[-5，1]。而以形助數，形象直觀從而能正確得出結論。

對于復雜、計算過程繁瑣的題目，用換元法、不等式法、函數單調性來解決問題容易出現錯誤，教師要積極引導學生轉變思路，把數形結合思想應用到函數問題中來。在三角函數、線性規劃、復數問題中，都可以運用數形結合思想，有效地解決各類問題。教師應該重視起來，加強對學生數形結合思想的培養。

教師要轉變單一的教學方式，充分利用多媒體等現代教學設備進行教學，激發學生的學習興趣，讓學生對數形結合的思路充滿學習動力。觀察多媒體中的圖形及動態變化，有利于增強學生總結和發現問題的能力，有利于數形結合思想的形成。

總之，數形結合思想在數學中有較為廣泛的應用，可以用來解決各類數學題，其直觀易懂的特點有利于把抽象的題目形象具體化，幫助學生進行理解。數學解題過程就像抽絲剝繭，要層層分析，若僅使用代數法或者幾何法，很可能找不到解決問題的思路，或陷入復雜的計算，或易造成假象錯誤，或過于抽象不好理解從而不能解答。數形結合是比較直觀、具體的思路，特別是求方程的根個數、零點個數，不等式求參范圍等，就常需轉化思路，將數與形結合起來，以形助數，同時在研究某一圖形時，找出圖形之間的數量關系，用代數法解決幾何問題，做到數形兼顧，彼此互化，可以提高學生的學習興趣，讓學生體會到數學思想在解題時所帶來的成就感和快樂感，更好地幫助學生解決數學問題。