關于多元函數條件極值的幾個結論

萬為國

【摘 要】多元函數中，n個正數的和為定值或n個正數的線性組合為定值，n個正數的積在什么情況下取得最大值；n個正數倒數的和為定值或n個正數倒數的線性組合為定值，n個正數的積在什么情況下取得最小值；利用多元函數條件極值的求解方法，給出了幾個結論。

【關鍵詞】多元函數；條件極值；最大值；最小值

中圖分類號： G634.6 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）15-0117-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.15.052

Some Conclusions about Conditional Extremum of Multivariate Function

WAN Wei-guo

（School of information and mathematics，Yangtze University，Jingzhou Hubei 434001，China）

【Abstract】In multivariate functions，the sum of n positive numbers is a constant value or the linear combination of n positive numbers is a constant value，and the product of n positive numbers gets the maximum value in what circumstances.The sum of the reciprocal of n positive numbers is a fixed value or the linear combination of the reciprocal of n positive numbers is a fixed value，and the product of n positive numbers gets the minimum value in what circumstances.Using the method of solving conditional extremum of multivariate function，several conclusions are given.

【Key words】Multivariate function；Conditional extremum；Maximum value；Minimum value

小明是小學四年級學生，晚上在家做家庭作業，一道題不會做。已知3a+2b+5c=90，求a*b*c的最大值。問爸爸媽媽，爸媽看了半天不會做。請教一位在讀數學專業已是大四的鄰居，大學生看到題目皺了皺眉頭，也不知道用小學數學方法如何解題，無奈，用多元函數求極值的方法做了一下，答案是900，可是該如何告訴小明，讓小朋友聽懂呢？

高等數學中，求多元函數的條件極值，往往用拉格朗日乘數法。

將定理3、定理4也可推廣到n元函數的情形。

開頭那道數學題，對于小學生來說，不必知道為什么，只需知道怎么做就行。大學生告訴小明，當 3a=2b=5c=即a=10，b=15，c=6時，abc=900為最大值。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].7版.北京：高等教育出版社，2017：111-121.

[2]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].3版.上海：同濟大學出版社，2016：102-110.