廣義光滑模和廣義凸性模的性質

趙亮 於楊

摘 要：基于廣義光滑模的定義，研究了Banach空間下的廣義光滑模與t之間的關系，證明了一致非方的三個等價條件以及關于廣義光滑模的四個等價命題。此外證明了Banach空間和超自反的Banach空間分別滿足limt→0ραX（t）t<12和ραX（t）<α+32tω（x）-1，t·ω（X）≤1的條件下具有一致正規結構，ραX（t）和ω（X）分別為廣義光滑模和弱正交系數。最后給出了x，y∈X當‖x‖2+‖y‖2=2時關于廣義凸性模的一個不等式。

關鍵詞：廣義光滑模;廣義凸性模;一致非方;一致正規結構

DOI：10.15938/j.jhust.2020.01.022

中圖分類號： O177.7

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2020）01-0144-05

Abstract：Based on the definitions of generalized modulus of smoothness， the relation between generalized modulus of smoothness and t in the Banach spaces is studied， which proves three equivalent conditions of uniform normal structure and four equivalent propositions of generalized modulus of smoothness. In addition， which is proved that the Banach space and the super reflexive Banach space satisfy conditions of limt→0ραX（t）t<12andραX（t）<α+32tω（x）-1，t·ω（X）≤1 have uniform normal structure.ραX（t）andω（X）are generalized modulus of smoothness and weak orthogonal coefficient respectively. Finally， which gives an inequality about the generalized convex modulus when ‖x‖2+‖y‖2=2，x，y∈X.

Keywords：

generalized modulus of smoothness;generalized modulus of convexity;uniformly nonsquare;uniform normal structure

0 引 言

作為近代泛函分析的重要分支，Banach空間幾何理論的研究一直備受數學研究者們的親睞。由于Banach空間幾何理論在不動點理論、控制論、鞅論、逼近論等諸多領域有廣泛的應用，因此Banach空間幾何理論的研究具有重要意義。1936年，J.Clarkson刻畫了一致凸性的凸性模，它們在最佳逼近理論以及不動點理論中有著重要的應用，1965年，W.A.Kirk證明了具有正規結構自反的Banach空間具有不動點性質。光滑性是作為凸性的對偶性質提出來的，廣義光滑模的幾何意義在于描述一個Banach空間的光滑性，與光滑模比較起來，在對具體的Banach空間的光滑性進行分析時，廣義光滑模中可選擇適當的α進行計算分析。

在對文[1-20]中關于凸性模、光滑模等的研究方法進行分析后，本文基于廣義光滑模和廣義凸性模的定義和性質，對其做了進一步研究，得到了廣義光滑模在Banach空間與t之間的關系，非平凡的Banach空間幾個等價條件，探究了Banach空間具有一致正規結構用廣義光滑模刻畫的充分條件以及超自反的Banach空間滿足ραX（t）<α+32tω（x）-1，t·ω（X）≤1的條件下具有一致正規結構。最后得到了關于廣義凸性模的一個不等式。

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（編輯：溫澤宇）