類比法在初中數學解題中的應用

查書平

[摘 ?要] 初中階段的數學知識比小學更加復雜與深奧，所以很多學生表現出學習困難的問題. 基于此，文章立足于初中數學教學，分析了類比法的基本內容，通過各類中考數學案例，研究了類比法在初中數學解題中的具體應用形式.

[關鍵詞] 類比法;初中數學;解題

類比法可以說是一種應用價值較高的邏輯方法，在數學教學中的應用較為廣泛，一直都是教師主要的教學手段之一. 但是就目前初中數學教學情況而言，類比法的應用通常集中于數學基礎知識教學，如各類數學概念的類比，在解題中的滲透并不常見，這對于提升學生解題效率、開拓學生思維而言，十分不利.

數和形的類比

在數學教學中，數和形之間的聯系十分緊密，很多問題都需要在數和形之間的轉換中得到最終答案，并且很多教師與學生都將數和形的結合作為主要的教學方法以及解題方法. 而對于數學問題的解決而言，數和形的類比應用就更加重要了.

例題1 求+的最小值.

此例題應用數形結合類比方法解決時可以降低運算難度，具體做法如下.

因為算式中的兩個數值均為根號形式，所以可以用線段圖形以及三角形的方法對算式進行表示，最終表示為圖1.

這樣，原來的已知條件以及問題就可以改變為：已知BD=8，點C在BD上，過點B在直線BD上方作BA⊥BD，且BA=1，過點D在直線BD下方作DE⊥BD，且DE=5，連接AC，CE. 設BC=x，則CD=8-x. 于是+的值就是AC+CE的值. 所以當A，C，E三點共線時，AC+CE的值最小，且最小值為AE的長.

講解完上述例題之后，教師可以給出相同類型的試題讓學生練習，以進行知識鞏固，如下面的練習題.

練習題 求+的最小值.

分析 在數形結合的類比教學中，原有的代數式是一個算式，而轉變成圖形之后，其實就是求兩條線段和的最小值，這樣，解題難度下降了很多，學生理解起來也更加容易. 之后計算+的最小值時，所有的學生都可以自行解決. 以后，再遇到相同類型的問題時，學生便可以從容應對了.

類似圖形的類比

類似圖形的類比方法其實也可以稱之為類似知識點的類比. 通過類似知識點的綜合對比分析，學生可以在短時間內找到問題的突破口，并形成相同類型問題的快速解題思維.

例題2 （1）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB邊上一動點，F在邊BC上，且∠DEF=90°. ①求證：△ADE∽△BEF;②已知AB=4，AE=x，BF=y，求y取得最大值時x的值.

（2）如圖3，△ABC是邊長為6的等邊三角形，D，E分別是BC，AC邊上的兩個動點，且∠ADE=60°. ①如果DC=x，AE=y，求出y與x的函數關系式;②當y取得最小值時，請說出△AED的形狀.

分析 上述兩道小題雖然已知條件不同，圖形也存在一定的差異，但在問題求解思路上仍然存在相同之處. 例如，無論是正方形還是三角形，底邊都有一個動點，而與動點所構成的三個角也都存在于底邊，這樣就為證明相似三角形提供了基礎條件. 證明相似之后，便可以應用相似三角形邊與邊之間的關系求得最終答案.

從簡單到復雜的類比

例題3 （1）如圖4，△DOC與△OAB均是等邊三角形，且DO=OA，D，O，A三點共線，連接DB與AC交于點E，連接BC，求∠AEB的度數.

（2）如圖5，△DOC與△OAB均是等邊三角形，且DO=OA，連接DB與AC交于點E，連接BC，求∠AEB的度數.

例題4 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為△ABC斜邊上的中點，E，F分別在直線AB和AC上，且BE=AF.

（1）若E，F分別在線段AB和AC上，如圖6，求證：△DEF為等腰直角三角形;

（2）若E為線段AB延長線上一點，F為線段CA延長線上一點，如圖7，求證：△DEF為等腰直角三角形.

分析 上述兩道例題一共四個小問，

通過分析不難發現，每道例題中的第一小問都較為簡單，且第一小問與第二小問所用的證明方法沒有太大的出入. 例如，在例題4中，雖然已知條件不同，但第一小問需要證明三角形全等，第二小問同樣需要證明三角形全等. 盡管圖形復雜了，但算法并沒有發生改變. 這便是類比教學方法應用過程中，教師想要達到的教學成果. 其目的并非為了解題，而是幫助學生從不同的角度看待問題，且理解問題的真正內涵，這樣，學生在計算過程中就可以節省更多的時間.

解題規律的類比

每一道習題都是為了考查相應的知識點，所以教師應該讓學生理解不同問題中所包含的相同性質，這樣學生才能真正看懂、看透問題.

例題5 若（x+y）2+x-3=0，求xy的值.

例題6 若+m-2+（n-3）2=0，求pmn的值.

分析 對于例題5，無論是平方還是絕對值，都無法等于負數，所以只有當（x+y）2=0，x-3=0時，等式才成立. 這樣，x與y的值就可以確定了，xy的值也隨之確定. 例題6在例題5的基礎之上增加了一個新的式子，即，根據算術平方根的定義，可知的值不能為負數，再結合例題5的解題思路，便可以求出p，m，n的值，于是可求出pmn的值.

歸納為同一題型的類比

同一題型的類比分析可以說是教師最為常用的一種類比形式，簡單而言，出現的兩道題多數都是“換湯不換藥”.

例題7 如圖8，現有A，B兩個村莊，打算在河邊（直線a）修建一個水泵廠，問：水泵廠具體位置設置在哪里，才能使水泵廠距離兩個村莊的距離最短？

例題8 如圖9，在正方形ABCD中，AB=4，E是AB的中點，P是線段AC上一點，求△PBE周長的最小值.

分析 通過分析可以發現，兩個問題其實可以劃歸為一種問題——最短路徑問題. 在例題7中，最短路徑可以應用對稱的方法確定點B關于直線a的對稱點B′;在例題8中，只不過將河換作直線AC，根據正方形的性質，我們同樣可以在線段AD上找到點E的對稱點E′，這樣就可以確定點P的位置，從而求出△PBE的最小周長了.

使用類比要注意的問題

1. 對類比的結論能進行辯證處理

因為使用類比有“或然性”，屬于“合情推理”：或者正確，或者不正確，或者不完全正確，所以教學時應明確告訴學生類比有可能失敗.

2. 類比可以從多方面進行

類比法的應用并非固定幾種形式，日常教學中，教師不能僅僅局限于某一種方法或形式，可以多種類比，多方位、多角度，從條件、結論、圖形、方法、規律等方面進行類比.

3. 正確應用類比法

教師在日常教學過程中，應立足于教材以及各類習題，通過深度挖掘這些輔助教學資源，確定類比法得以正確應用，不然將會適得其反.

結論

綜上所述，類比法的應用可以進一步提高學生的解題效率，且可以讓學生將題目與知識聯系起來進行綜合考慮，既提高學生的知識記憶能力，又完成相似類型習題的訓練，這對于學生成績的提高十分重要. 因此，教師應該整合教學內容，做好類比教學設計，讓學生在學習過程中完成思維能力的培養.