例談初中生分類討論思想的培養

陳麗莉

[摘 ?要] 分類討論思想是一種極其重要的數學思想. 文章試圖以教材為媒介，以實例探究為手段，以素養的養成為終極目標，在培養學生的分類意識和分類討論思想方面做些嘗試闡釋.

[關鍵詞] 初中數學;分類;合作討論;分類討論思想

在初中數學教學中，我們不僅需要重視數學知識的應用，更需要注重形成階段的教學，將數學思想方法的有效訓練貫穿于整個教學的始終，引領學生理清問題的本源，恢復問題的本質，實現數學教學的終極目標[1]. 分類討論作為一種應用于問題解決時的重要思想方法，是在數學知識的發生和應用的過程中形成和發展的. 不過初中生缺乏分類討論的意識，無法理清哪些問題需要分類，更不要談合理分類了. 這時，數學教師需以具體教學內容為載體，創設合理的教學情境，并予以啟發、誘導和強化，逐步揭示分類討論的本質，進一步培養學生自覺應用分類討論的意識. 教師有意識培養學生的分類意識，能促使他們積極思考，從而有效提升學生的數學素養. 下面筆者以兩個教學嘗試為例，談談如何培養學生的分類討論思想，希望能引發大家更多的思考.

教學簡錄

1. 創設情境，感受分類

案例1 ?以“有理數的分類”為例.

師：下面我們一起來探討一個有趣的問題，請聽好問題，看看哪位同學的方法更多一些？

（學生們頓時興趣盎然，積極投入課堂）

師：若是現在老師想將你們所有學生進行分類，你可有好的方法？

生1：這個簡單，可以按性別進行分類啊！

生2：按照出生的年份也是一個不錯的選擇.

生3：還可以按照體重進行分類.

生4：我覺得也可以按照身高進行分類.

師：真是眾說紛紜，大家都有各自的分類方法呢！下面你們再分析一下，若想分類正確必須提出哪些與之對應的問題呢？

生5：自然需要知道分類的依據是什么了.

生6：準確地說是必須有分類的標準.

……

分析 ?分類思想在小學階段已初步涉及，教師從學生的現實生活出發，設計分類問題情境，讓他們以講述的方式闡述自己的分類思想，從而感受分類思想在生活中的重要作用. 結合學生的數學現實和已有經驗，設計了與學生生活緊密相連的數學實例，一方面活躍了課堂氛圍，激發了學生的學習欲望;另一方面喚醒了學生的思維，使之在輕松愉悅的環境中理清了正確分類的前提.？搖

師：接下來，我們來做一個游戲，一起嘗試將全班學生以性別的方式進行分類. 請聽好，女生舉起你的左手，男生舉起你的右手.

（學生興趣高漲，踴躍參與）

師：大家一起來檢查一下，是不是每個學生都列入分類之中？有沒有遺漏的呢？你們都清楚自己的類別嗎？下面再思考，若是老師想要按照身高分類，該如何操作呢？

生7：可按5 cm為一檔，確認身高組別，然后再將每個學生分別列入組別中.

師：講解得很清晰，此處提及的分組在下學期會進行學習. 下面哪位學生能總結分類的基本步驟呢？

生8：首先確定一個分類的標準，然后根據這一標準正確分類.

生9：分類時不能重復也不可遺漏.

師：很好，那么現在我們回憶一下學過哪些數呢？請列舉.

生10：5，4，3，，，，…

生11：3，-2，-1，-，-，-，…

生12：0.1，0.2，0.3，…

師：列舉得很好，那么能否根據以上列舉的數分類呢？

生13：我認為可以分為整數與分數.

生14：不對，那小數呢？小數還有無限循環小數和無限不循環小數呢.

生15：小數和無限循環小數不是可以化為分數嗎？

生14：那無限不循環小數呢？比如π.

師：剛才生13的分類可以統稱為“有理數”;而生14所指的無限不循環小數則不屬于此處我們探究的“有理數”，而是之后我們即將會探究到的“無理數”范疇. 請大家再次思考，我們還能以什么標準分類呢？

生16：可以按照正負數分類，分為正數、負數和零.

生17：我認為更嚴謹一些可以分為正有理數和負有理數，這樣就不會涉及無理數了.

師：研究得很好……

分析 ?學生的學習活動必定是一個主動的、富有個性的過程. 在此案例的設計上，筆者采用了情境式教學，借助問題串引導學生層層深入進行分類，讓學生根據自身的思維方式，勇于說出不同分類方法，發展了學生的個性，領悟了分類的本質，引領了學生的思維，使不同的學生在學習中獲得了不同的發展[2]. 在教學的過程中，筆者指導學生明確分類的動機，并引導學生做到不漏不重、不亂不摻，并保證同一標準下的各類項目之間是并列關系，這是初中數學中分類的基本方法.

2. 探究路徑，體驗思想

案例2 ?以“圓周角定理的證明”為例.

師：請在圖1中畫出弧AB所對的圓周角∠ACB，并猜想∠ACB和∠AOB的數量關系.

生：∠ACB=∠AOB.

師：下面你們觀察一下身邊同學所作出的圖形，看看是否有收獲？

生1：我發現我們每個人所作出的圖形都各不相同.

師：不同之處在哪里呢？

生2：圖形的位置不一樣.

生3：準確地說應該是圓心相對與圓周角的位置不一樣.

師：那么有多少種圓周角的畫法呢？

生4：無數種.

師：能否說明一下理由呢？

生5：我們只需在優弧AB上取任意一點C，并連接AC，BC，即為所需的圓周角.

師：下面交給大家一個任務，請小組合作討論，看看是否可以將你們所說的無數種情況進行分類呢？

經過片刻的探討之后，學生們展示了以下三種分類方法：

師：你們展示了三種圖形，而猜想的結論卻僅有一種，那猜想正確嗎？如何證明呢？

生6：我認為應當分3種情況進行證明……

分析 ?此案例中，學生通過質疑問難、小組合作和教師的適時點撥，并結合猜想進行建構，從而有效突破本節課教學的難點. 首先，學生借助畫圖試驗這一過程，讓大腦始終處于亢奮的思考狀態，使之行走在主動建構的道路上，并在不知不覺中漸入佳境;然后，通過小組合作探究將無數種圖形位置關系進行總結歸納，并將其歸結為三種類型，從而確定分類討論的應用價值.

教學反思

就上述案例而言，案例1所涉及內容是整個初中教學中與分類討論的初次邂逅;而案例2則是九年級（上）與分類討論思想相關的教學內容，具有較強的滲透性. 筆者理解的分類意識的建立需做到：使學生理清分類的原因是什么？該如何進行分類？分類的標準該如何確定？在分類時，如何認識事物的性質呢？在分類時如何區分不同對象的不同性質呢？學生在考慮問題時需做到多思考、多嘗試、多探究，使思考越來越全面，形成分類思想的主動應用.

對學生進行分類討論思想的培養任重道遠. 據初中生的特點，教學需遵循循序漸進的原則，并借助多樣化的教學手段，給予學生思考、探索、實踐、驗證的機會，有條不紊地實施分類討論教學，有利于學生綜合分析能力的發展，并提升他們的思維條理性、完整性和嚴謹性. 在具體實踐中，需要學生在解決問題的過程中結合親身體驗引發內心的感悟，通過實踐配合大腦同步思考，進一步拓寬學生的思維寬度，深化他們的思維深度，從而對學生的未來產生深遠的影響.

總之，分類討論思想應用廣泛，在初中數學的每個階段都有所涉及，而它與數學知識的傳授不同，需要通過長期的逐步滲透，才能讓學生不斷完善數學方法，從而為學生的長期發展奠定良好的基礎[3].

參考文獻：

[1]陳羅九. 深挖教材 提煉方法 培養思維——淺談初中數學中的分類討論思想[J]. 中國數學教育，2011（23）.

[2]饒志煌. 在初一數學教學中分類討論思想的滲透[J]. 新課程，2015（29）.

[3]劉廷超. 芻議在初中數學教學中數學思想和方法的滲透[J]. 科學咨詢，2015（51）.