區(qū)間數型隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型

盧宇明

(桂林航天工業(yè)學院能源與建筑環(huán)境學院，桂林 541000)

在隧道建設過程中，準確的圍巖分級對保證隧道施工的穩(wěn)定性有重要意義[1]。由于隧道圍巖指標的不確定性及測試精度的限制，其實測指標并非是一個固定的實數值[2]，某個力學參數的范圍值往往比一具體定值更容易確定[3-4]，只是在使用時往往將其取平均值。但用此計算得到的結果并不準確[2]。于是，用區(qū)間數進行公路隧道圍巖分級的研究受到人們的關注。董隴軍等[3]采用區(qū)間值表示巖體力學參數取值，以反映參數取值的不確定性特征。王繼承等[5]采用區(qū)間分析方法研究圍巖的力學狀態(tài)，并提出了一種區(qū)間模型計算程序及其在深部巷道分析中的應用。張亦飛等[6]為充分利用區(qū)間數攜帶的信息，提出了一種基于區(qū)間數的隧道圍巖組合分類法。陳繼光[7]針對圍巖穩(wěn)定性評判為典型的區(qū)間數多屬性決策問題，將基于灰色系統(tǒng)理論的多指標灰區(qū)間數關聯(lián)決策模型應用于圍巖穩(wěn)定性評判。蔣健等[8]則基于集對分析聯(lián)系數的理論，提出一種進行隧道圍巖分級的區(qū)間數方法。以上這些方法為區(qū)間數在隧道圍巖分級中的應用起到了較好的作用，但這些方法僅考慮了模糊不確定性而未考慮隨機不確定性，反映在其內部規(guī)律上還是不全面的。

同時考慮到圍巖綜合分級中存在的模糊不確定性與隨機不確定性，將云模型理論應用于圍巖綜合級的圍巖樣本指標仍然取平均值作為確定的實數值分級是有意義的，近年來已有許多學者對此進行了研究[8-16]。但這些研究在隧道圍巖綜合分級中是將用區(qū)間數表示的圍巖分級標準指標轉化為云模型，待分級的圍巖樣本指標仍然取平均值作為確定的實數值計算的。這種圍巖分級標準指標用云模型表示，而待分級的圍巖樣本指標人為地用平均值代替的做法，仍不是真正意義上的云模型。目前，對圍巖分級標準指標及待分級的圍巖樣本指標均為區(qū)間數的情況則很少有人關注。由于云模型用期望值、熵和超熵三個數值來表征定性概念的模糊性和隨機性，便于揭示不確定性的普遍規(guī)律[17]。針對這一現實，將圍巖分級標準指標及待分級的圍巖樣本指標均用區(qū)間數，運用擴展的最小二乘方準則構造目標函數，通過拉格朗日乘數法建立區(qū)間數型公路隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型，為公路隧道圍巖綜合分級提供一種新方法，并與用其他方法得到的結果進行對比。

1 云模型及其數字特征

1.1 云和云滴

假定U是一個精確數值表示的定量論域，C是U上的一個定性概念，若定量值x∈U，且x是定性概念C的一次隨機實現，x對C的確定度μ(x)∈[0,1]是有穩(wěn)定傾向的隨機數，則x在論域U上的分布稱為云模型，每一個x稱為一個云滴[18]。

1.2 云模型的數字特征

圖1 云模型的數字特征Fig.1 The numerical characteristics of the cloud model

云模型用期望Ex、熵En和超熵He這3個數字特征反映定性概念整體的定量特征[18]。如圖1所示，橫軸表示某一概念不確定性度量的范圍，縱軸表示隸屬度。期望Ex表示定性概念的基本確定性度量，反映在云圖上就是云的最高點，即隸屬度為1的點；熵En表示某個不確定性概念的不確定性度量，可以反映被延伸的范圍，熵越大概念越宏觀；超熵He是熵的不確定性度量，主要體現樣本的隨機性，即云圖上云滴的離散程度。

2 區(qū)間數型隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型的建立

記a=[aL,aU]={x│aL≤x≤aU且0≤aL≤aU}，稱a為一個區(qū)間數。特別地，當aL=aU時，則a即退化為一個正實數。

(2)

模型的建立步驟如下。

2.1 區(qū)間數規(guī)范化處理

由于各指標的量綱不同，不便于比較，需要先對原始數據進行規(guī)范化處理。采用文獻[7]的方法得到規(guī)范化區(qū)間數型矩陣aij：

(3)

式(3)中：maxaij表示隧道圍分級標準中某一指標對應的最大值。

(4)

2.2 區(qū)間數向云模型的轉化

(6)

(7)

對于超熵Heij的取值，有的文獻設定為常數[9]，這與其定義不符。于是，文獻[15]對其進行了改進，調整Heij的求解公式如式(8)所示：

(8)

這樣，Heij直接與Enij大小相關，避免了對所有指標取同一常數的不足。

圍巖分級標準云矩陣轉化同上。

于是由式(6)～(8)得待分級圍巖樣本指標云矩陣C及圍巖分級標準指標云矩陣Cs:

(9)

(10)

2.3 計算待分級圍巖指標與分級標準指標的云距離

對于第j個待分級圍巖樣本云Cj=(Exj，Enj，Hej)及h級標準云Ch=(Exh，Enh，Heh)，為了表示其貼近程度，就要對其進行相似性度量。根據云的數字特征及文獻[19]的思路，它們之間的相似程度d(Cj,Ch)用如式(11)所示的距離測度定義：

d(Cj,Ch)=〔|(Exj-Exh)-(Enj-Enh)|+

(11)

式(11)中：p為距離參數，當p=1時為海明距離，當p=2時為歐氏距離。

式(11)這種相似性度量公式，具有以下性質：① 0≤d(Cj,Ch)<1；②d(Cj,Ch)=d(Ch,Cj)；③ 如果j=h，那么d(Cj，Ch)=0。

設分級指標的權重為wi(i=1,2,…,m)，則第j種圍巖對第h級的加權距離D(Cj,Ch)：

(12)

2.4 建立區(qū)間數型隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型

從多維空間概念出發(fā)，加權距離又可理解為待分級圍巖各指標構成的點與圍巖分級標準各指標確定的點之間的相對空間距離。因此，按照文獻[20]的思路，則以第j種圍巖的指標云Cj(Exij,Enij,Heij)與第h級圍巖標準指標云Ch(Exhj,Enhj,Hehj)間的差異程度uhj為權的加權距離R(Cj,Ch)表示為

(13)

構造目標函數min[F(uhj)]為

min[F(uhj)]=

(14)

由于

(15)

于是，根據式(14)、式(15)構造拉格朗日函數：

(16)

分別對式(16)的變量uhj和拉格朗日乘數λ求偏導數，并令其為零，得：

(17)

(18)

聯(lián)立式(17)、式(18)得：

uhj=

(19)

(20)

3 實例分析

為了便于比較，采用文獻[21]云嶺隧道、文獻[22]西河潭隧洞及某市政隧道的各2個實例(表1)進行計算分析。

表1 待分級圍巖指標Table 1 Surrounding rock index to be classified

由表1，云嶺隧道S1段圍巖為弱風化千枚巖，S2段圍巖為弱～微風化灰?guī)r，勘察報告給出的是巖體質量指標RQD、波速vp的區(qū)間值，通過規(guī)范計算得到的是BQ的區(qū)間。西河潭隧洞及某市政隧道圍巖的BQ由巖石飽和單軸抗壓強度Rc和巖體完整性指數Kv根據《工程巖體分級標準》 GB/T 50218—2014及《公路隧道設計規(guī)范》JTG D70—2004中的公式求得，并根據地下水情況進行了修正，不考慮主要軟弱結構面產狀影響及初始應力狀態(tài)影響。云嶺隧道地下水出水狀態(tài)均按點滴滲漏考慮，無主要軟弱結構面產狀影響及初始應力狀態(tài)影響。分級采用工程隧道圍巖分級中常用的RQD法、BQ值法和彈性波速vp法，組合分級標準如表2所示[6]。

表2 公路隧道圍巖組合分級標準Table 2 Classification standard of surrounding rock for highway tunnel

分級指標值上限參考文獻[16]，即RQD上限為100%，下限為0；vp上限為5.0 km/s，下限為0.2 km/s；BQ上限為600，下限為0，于是由式(3)得規(guī)范化待分級圍巖矩陣X及規(guī)范化圍巖分級標準指標矩陣Y：

(21)

(22)

由式(6)～式(8)將規(guī)范化待分級圍巖指標矩陣及圍巖分級標準指標矩陣分別轉化為云特征矩陣C及Cs：

(23)

Cs=

(24)

取p=1，由式(11)得歐氏距離矩陣D:

(25)

aij落入指標i的第h、(h+1) 級標準值sih～si(h+1)的未歸一化權重wij按線性內插公式確定。

(26)

根據式(16)求得3個實例的指標權重W:

(27)

由式(15)得差異程度矩陣U:

(28)

分級的順序為S1段：Ⅴ>Ⅵ>Ⅳ>Ⅲ>Ⅱ>Ⅰ；S2段：Ⅲ>Ⅳ>Ⅱ>Ⅰ>Ⅴ>Ⅵ；西河潭隧洞1：Ⅲ>Ⅴ>Ⅳ>Ⅱ>Ⅰ>Ⅵ；西河潭隧洞2：Ⅲ>Ⅳ>Ⅴ>Ⅵ>Ⅰ>Ⅱ；某市政隧道a：Ⅳ>Ⅴ>Ⅰ>Ⅲ>Ⅱ>Ⅵ；某市政隧道b：Ⅳ>Ⅴ>Ⅲ>Ⅰ>Ⅱ>Ⅵ。

綜合分級結果如表3所示。表3的分級結果與直觀落入區(qū)間對照分級結果是一致的，但對照分級法往往出現相互矛盾的情況。

表3 綜合分級結果Table 3 Comprehensive grading result

需要說明的是，文獻[8]、文獻[22]采用的是圍巖分類，其類別與規(guī)范及本文采用的分級順序相反。例如，文獻[8]、文獻[22]判定S1段為Ⅱ類圍巖，即相當于規(guī)范及文中Ⅴ級圍巖。另外，文獻[8]是采用的《工程巖體分級標準》GB 50218—1994計算BQ，而文中采用的是《工程巖體分級標準》GB/T 50218—2014計算后進行了修正，二者用Rc和Kv計算BQ的公式是有差異的。

隧道是極其復雜的地質體，具有很強的不確定性，加之受測試手段及客觀條件的限制，在勘察及設計階段做出一個比較準確的分級是比較困難的。在施工階段可根據揭露的圍巖特征[23]及地下水發(fā)育情況、隧道支護變形情況，及時補充圍巖分級信息及參數綜合分析，進行動態(tài)分級[24]是比較符合實際的。這也體現了動態(tài)設計、信息化施工的理念?，F行的規(guī)范隧道圍巖分級，也是這樣要求進行修正的。

目前隧道圍巖分級方法有多種，且每種方法具有較好的相關性[25]，可以采用多種方法相互驗證，以提高隧道圍巖分級的精度。

4 結論

(1)隧道圍巖分級指標及分級標準均為區(qū)間數，同時具有模糊不確定性和隨機不確定性特征，用單一的模糊集合方法和隨機數學方法處理都是不全面的。

(2)云模型理論同時考慮了區(qū)間數的模糊不確定性和隨機不確定性，用其進行隧道圍巖綜合分級是合理可行的。

(3)定義了云模型距離測度，運用擴展的最小二乘方準則構造目標函數，通過拉格朗日乘數法建立的隧道圍巖分級模型，概念清晰，數學推導合理，評價結論更加符合實際。該模型在隧道圍巖分級中的應用拓展了云模型理論應用范圍。