對仿貓跳躍機器人起跳過程中腰部作用的分析

陳貴亮，莊昌瑞，楊 冬，張笑顏，黃榮新，李鐵軍

(河北工業大學機械工程學院，天津 300130)

隨著科技的發展，機器人逐漸代替人類在許多惡劣環境進行工作，如外星探索，軍事偵察，火災與地震救災等。相比于傳統的輪式和履帶式機器人，腿式跳躍機器人因其良好的越障能力和對復雜環境的適應能力受到越來越多研究者的青睞。對腿式跳躍機器人的研究也是機器人新的發展方向。為推動腿足式機器人的應用與發展，美國國防先進項目研究所(DAPRA)于2012年設置了機器人挑戰賽，以推動機器人在復雜不確定環境下完成復雜任務的技術研究[1-2]。在數億年的生物進化中，生物在自然選擇下進化出靈巧的運動機構和高效的運動模式，這也成為機器人發展取之不盡的靈感源泉。通過對仿生模本的研究可以得到仿生機器人的結構設計和控制原理的理論依據。近年來，許多高校和科研機構根據仿生原理，研制出了各種腿型仿生機器人。波士頓動力的big dog[3-4]可用于戶外載重的任務，具有靜態和動態的移動性能和完善的集成傳感器系統；麻省理工學院的獵豹機器人[5-6]具備時速16 km/h的高速奔跑和跨越障礙物等功能；Plecnik 等[7]以夜猴為模本設計了一種高效的單足跳躍機構；以色列特拉維夫大學模仿沙漠蝗蟲的半月板在跳躍中的作用，設計了在關節處利用扭簧蓄能的微小型跳躍機器人[8]；西北工業大學的葛文杰等[9]對仿袋鼠機器人進行了研究；哈爾濱工業大學任毅豪[10]研制了仿青蛙機器人并對其進行逐步的改進；南京航天航空大學的王寰[11]利用對蝗蟲的研究設計出一款能穩定跳躍的仿蝗蟲跳躍機器人。

家貓作為一種善跳動物，跳躍能力高效穩定，且在生活中便于觀察到，是良好的仿生模本。家貓的起跳過程對其最終的跳躍結果起著重要的影響，在家貓的起跳過程中，家貓的腰部中有著明顯的姿態變化，因此研究家貓腰部在起跳過程中的作用對提高仿貓機器人的跳躍能力有著指導作用。

基于此，建立一個簡單的仿貓跳躍機器人，根據家貓實際跳躍規律對其進行跳躍仿真，對仿貓跳躍機器人的簡化機構進行動力學和運動學分析，驗證其腰部在起跳過程中起到的作用；從能量角度比較有無腰部輔助跳躍的差別。研究結果可以對以后跳躍機器人的改進和控制提供參考。

1 家貓跳躍規律及運動分析

1.1 家貓跳躍觀察實驗

引導一只家貓進行跳躍實驗。實驗中誘導家貓越過障礙物，通過障礙物的長度反映家貓的跳躍能力。跳躍過程拍攝后，利用視頻剪輯軟件對主要跳躍過程進行截取以分析其運動規律，如圖1所示。對幾組跳躍實驗中，家貓起跳瞬間各關節角度測量如表1所示。

圖1 家貓跳躍實驗截圖Fig.1 A screenshot of a cat jumping experiment

表1 起跳瞬間家貓各關節角度Table 1 Joint angles of cat at the moment of take-off

1.2 家貓跳躍運動分析

通過對幾個跳躍過程的分析可得出家貓跳躍的一般規律。在起跳的預備階段，家貓身體蜷縮，腰部拱起，整個身體成蓄能姿態；起跳時前腿先離地，身體向前舒張，腰部伸展同時后腿發力蹬地為跳躍提供動能；在空中通過姿態調整控制落點；落地時前腳先著地，通過腿部關節和腰部的彎曲消耗觸地時的動能達到平穩落地的目的。在家貓起跳過程中腰部有著明顯的收縮和伸展。為更進一步研究家貓腰部在起跳過程中的作用，需要進行起跳時與腰部有關的進一步分析。

2 仿貓機器人機構模型簡化

由于家貓生物模本很難實現比較精確的指定參數的跳躍實驗，且生物學參數難以測量，因此根據家貓骨骼模型(圖2)設計了一個簡單的仿貓跳躍機器人，機器人各部分長度根據貓骨骼模型測量比例進行分配(圖3)，用于對家貓的跳躍進行研究。如圖2所示，家貓主要可分為前肢、軀干、后肢三個部分。前肢含有肩關節、肘關節、腕關節，后肢含有髖關節、膝關節、踝關節。前肢和后肢都可看作三桿機構，各桿繞各自連接關節轉動，各關節均有扭簧提供彈性勢能。由于不研究后腳掌在起跳過程中作用，所以柔性后腳掌可看作剛性桿。雖然家貓柔性脊柱由多個脊柱塊組成，但最大轉動發生在腰部，為了簡化機構，將脊柱看作一二桿機構，在腰部由一鉸鏈連接，簡化后可得到一個八桿串聯機構，如圖4所示。圖4中，θi為各連桿之間夾角；li為各連桿長度；mi為根據機構等效的各連桿質量；O0～O8分別為仿貓機器人模型中的后肢趾關節、踝關節、膝關節、髖關節、腰部、肩關節、肘關節、腕關節和前肢趾關節；Xi和Yi分別為以Oi對應關節為圓心建立直角坐標系的X軸和Y軸。

圖2 家貓骨骼模型Fig.2 Cat skeleton model

圖3 仿貓跳躍機器人Fig.3 Cat-like jumping robot

圖4 仿貓跳躍機器人結構簡化圖Fig.4 Simplified structure of cat-like jumping robot

在Adams環境下使仿貓跳躍機器人模擬家貓跳躍，如仿真結果與家貓實際跳躍情況接近，則認為機器人機構與實驗貓具有相似的運動特點，可對其進行進一步的分析。決定家貓跳躍最終結果的因素為離地瞬間的姿態及質心速度大小。根據表1，在Adams仿真中設定跳躍條件，使得仿貓跳躍機器人起跳瞬間各關節角分別為腕關節145°、肘關節70°、肩關節50°、腰部165°、髖關節135°、膝關節145°、踝關節140°、后腳趾與地面夾角80°，此姿態與家貓起跳瞬間姿態相近。Adams仿真跳躍實驗結果如圖5所示。仿貓跳躍機器人跳躍距離約為1.1 m，跳躍距離與家貓實際跳躍能力相符，因此認為仿貓機器人跳躍規律與家貓跳躍規律基本一致，可以用作理論分析模本。

圖5 Adams仿真跳躍實驗結果Fig.5 Experimental results of Adams simulation jump

3 仿貓機器人起跳過程的運動學和動力學分析

3.1 仿貓機器人起跳階段運動學分析

腰部的主要姿態變化發生在前肢開始發力到后肢發力前這一階段，因此對這一過程進行動力學和運動學分析。利用D-H法[12]對該過程進行運動學分析，家貓在跳躍過程中左右腳同步運動，整個跳躍過程可看作在XOY平面內的運動，D-H矩陣中的α和d均為0。由于整個起跳過程中后腳趾可看作繞地面轉動，因此以后腳趾為原點建立絕對坐標系，地面為零勢能面，跳躍方向為X軸正方向，坐標建立如圖4所示。假設仿貓機器人第i根連桿繞其質心的轉動慣量為Ji。D-H參數與各連桿質量如表2所示。

表2 D-H參數及各連桿質量Table 2 D-H parameters and connecting rod quality

在二維平面中，由D-H法可知，相鄰坐標系之間變換矩陣為

式中：iTi+1為第i根桿的坐標系向第i+1根桿的坐標系變換的變換矩陣。為簡化公式表達，令Si=sinθi，Ci=cosθi，Si±j=sin(θi±θj)，Ci±j=cos(θi±θj)。假設每根桿質量均勻分布，每根桿的質心近似為該桿的中點。此階段的運動學正解問題即已知各連桿夾角求解機器人各桿質心相對于后腳趾坐標系位姿的問題，各桿坐標系對后腳趾坐標系的變換矩陣為

(2)

則各連桿質心在絕對坐標系中坐標為

(3)

式(3)中：Cix和Ciy分別為第i根連桿質心在絕對坐標系中的橫、縱坐標。

3.2 仿貓機器人起跳階段動力學分析

以運動學分析為基礎，利用拉格朗日方程推導動力學方程[13]，對后腿開始發力前的跳躍過程進行動力學分析，可以得到該過程各關節力矩的變化過程。此階段后腿還處于蓄能階段，膝關節與踝關節基本不動，因此分析對象為前腿各關節、腰部及髖關節，此時前肢與軀干可看作繞髖關節轉動。

各連桿質心方程對時間求導可得各連桿質心處水平方向和豎直方向的速度方程vix和viy：

(4)

(5)

其中：

(6)

(7)

若以起跳地面為重力勢能的0勢能面，則各桿質心縱坐標Ciy為質心到零勢能面距離，重力加速度為g=9.8 m/s2，第i根桿重力勢能Pig為

Pig=migCiy

(8)

第i個關節處彈性勢能Pis為

(9)

式(7)中：ki為各關節處扭簧剛度系數，θi0為各關節之間初始相對轉角。

則系統總動能K為

(10)

系統總勢能P為

(11)

系統拉格朗日函數的表達式為

L=K-P

(12)

式(12)中：L為系統用各廣義坐標和各廣義速度所表示的功能。對拉格朗日函數進行求導處理，可得各關節處驅動力矩的表達式：

(13)

式(13)中:T4為后肢髖關節處力矩；T5為腰部驅動力矩；T6、T7、T8分別為前肢肩關節、肘關節和腕關節的力矩；t為時間。整個過程持續時間約為0.1 s，對Adams中測得的各關節角度變化進行三次擬合，各關節角度擬合為

(14)

各關節角扭簧剛度系數為k4=8 Nm/rad，k5=10 Nm/rad，k6=2.5 Nm/rad，k7=1.5 Nm/rad，k8=0.5 Nm/rad。各關節角初始相對轉角為θ40=73.3°，θ50=135.2°，θ60=62.4°，θ70=-64.5°，θ80=-34.7°。再將表2中基本參數代入式(13)，可得各關節力矩隨時間變化規律，腰部力矩隨時間變化如圖6所示，其余關節力矩隨時間變化如圖7所示。

圖6 腰部力矩隨時間變化Fig.6 Time-varying of waist moment

T4為髖關節處力矩；T6為肩關節處力矩；T7為肘關節處力矩；T8為腕關節處力矩圖7 各關節力矩隨時間變化Fig.7 Time-varying of joint moments

由圖6、圖7可知，起跳瞬間腰部與前肢同時發力，隨著前肢持續做功，腰部力矩逐漸減小。時間t約為0.06 s時前腿完全離開地面，此時前腿不再對外做功，為克服前肢與軀干重力髖關節處力矩逐漸增加。此時腰部力矩逐漸增大，帶動前肢繼續運動，使前肢與前部軀干繼續繞質心旋轉，增大了前肢與前部軀干繞質心的角動量。根據 Zajac[14]對貓的極大跳躍的研究，家貓在起跳前腰部運動會給質心提供很大一部分跳躍所需角動量，這與分析得到結論相符。

4 仿貓機器人腰部初始夾角與機構起跳階段所需做功關系

在Adams中測得起跳瞬間質心速度為v=[vx,vy]=[2.1 m/s,2.4 m/s]，起跳瞬間各關節角為θ1=80°、θ2=140°、θ3=-145°、θ4=145°、θ5=165°、θ6=50°、θ7=-75°、θ8=135°。則由式(5)、式(10)得到起跳時動能E和起跳時勢能Pll。給定準備狀態各關節夾角θ10=150°、θ20=55°、θ30=-90°、θ70=-65°、θ80=-35°，前腳趾與地面夾角為10°，根據此時姿態可得機構前后肢重力勢能為常數，θ40、θ60隨著θ50變化而變化。準備狀態重力勢能為

PI=0.63+m4gC4y+m5gC5y

(15)

初始狀態的腰部夾角θ滿足：

θ=θ50

(16)

若要滿足相同的起跳條件，機構需要做的功為

W=Pll+E-Pl

(17)

當起跳過程沒有腰部輔助跳躍時，整個起跳過程軀干可看作一個整體，θ5始終為180°，腰部在起跳過程中始終沒有力矩。當前肢與后肢起跳的準備姿態與有腰部輔助跳躍準備姿態一致時，由式(15)可得到機構此時的重力勢能。根據式(17)可得到初始位置腰部夾角與機構滿足相同起跳條件所需做功關系。

機構做功來自于各關節處扭簧釋放的彈性勢能，扭簧儲存的彈性勢能來自于起跳前對各關節的壓縮。由圖8可知，有腰部輔助跳躍時，起跳瞬間腰部夾角越小機構所需做功越少，沒有腰部輔助跳躍時機構所需做功最多。家貓在開始跳躍前都會盡可能拱起脊柱，減小腰部夾角，這與分析驗證所得結果一致。在起跳前，機構通過姿態調整儲存能量為跳躍做準備。在前后肢各關節壓縮角度相同的情況下，腰部的姿態調整可以在增加腰部彈性勢能的同時減小機構到起跳姿態所需增加的重力勢能。腰部的姿態調整把一部分起跳階段需要做的功在起跳的準備階段提前完成，減小起跳階段所需做功，使整個跳躍過程能量分配更平滑。若沒有腰部輔助跳躍，在前后肢開始起跳瞬間姿態一定時，機構不能在起跳的準備階段進行姿態調整，且沒有腰部輔助跳躍時比有腰部輔助跳躍時少一個驅動關節，除機構所需做的總功更多外，前后肢各關節所需做功也將變多，使得運動效率降低。

圖8 初始位置腰部夾角與機構所需做功關系Fig.8 The relationship between the waist angle at the initial position and the work required by the mechanism

5 結論

在家貓生物原型的基礎上建立仿貓機器人的機構模型，并對其進行仿真實驗及動力學運動學分析。得出以下結論。

(1)根據仿生學研究的基本方法，依照家貓跳躍規律對仿貓跳躍機器人進行仿真。對仿貓跳躍機器人進行了結構簡化并進行了動力學和運動學分析。通過腰部力矩變化說明了腰部可為起跳時質心提供所需的角動量。

(2)通過能量的角度分析了起跳過程初始階段腰部夾角和達到相同起跳狀態機構所需做功的關系，在起跳的準備階段，腰部初始夾角越小，機構所需做功越少。這與自然界家貓的運動規律相符合。

(3)對比了有腰部輔助跳躍時和無腰部輔助跳躍時的區別。對仿貓跳躍機器人而言，當有腰部輔助跳躍時，可以在起跳的準備階段更好地進行姿態調整，跳高跳躍效率。

算例中家貓各肢體位姿數據根據Adams仿真得到，與實際姿態存在誤差，且生物學基本參數與實際家貓的生物學參數也有出入，但結論趨勢反映了家貓起跳階段的一般規律，為仿貓機器人的改進和跳躍運動的控制提供了理論基礎。