高超聲速邊界層轉捩預測中的關鍵科學問題
——感受性、擾動演化及轉捩判據研究進展

蘇彩虹

(天津大學 機械學院 高速空氣動力學研究室, 天津 300072)

0 引 言

層流-湍流轉捩是流動從有序到無序的演化過程，與湍流問題一道，構成流體力學乃至經典物理學中尚未解決的重大基本科學問題。在高超聲速條件下，湍流狀態下的壁面摩阻和熱流比層流狀態下大得多，需要準確地預測轉捩發生的位置，才能準確計算氣動力和合理設計熱防護系統。因此，對于長時間在大氣層中飛行的高超聲速飛行器，邊界層的轉捩預測是飛行器設計中必須考慮的問題[1-2]。

早在20世紀50年代，由于大型民用客機的發展，轉捩問題便受到了航空技術界的重視。當時有人提出基于線性穩定性理論(LST)的轉捩預測方法，即eN方法，在當時對轉捩問題研究的不夠深入的條件下，結合實驗和經驗提出的轉捩判據，進行轉捩預測。迄今為止，該方法仍然在航空界廣泛應用。然而，對于臨近空間高超聲速飛行器，由于實驗很難做，即使要用半經驗的方法，也很難取得足夠的實驗數據用以確定相關參數。而且，在新的飛行參數條件下，原有的方法常常不能給出合理的結果。直到2006年，Bertin和Cummings[3]在Annual Review of fluids發表的綜述文章中仍引用NASA首席科學家Bushnell在1997年的話：“歷史上人類在預測所有高超聲速(甚至超聲速)飛行器的轉捩時幾乎從來沒有成功過”[4]。

想要對轉捩位置進行可靠預測，最合理的方法是從科學上弄清楚轉捩所包含的關鍵物理過程中的規律。目前一般認為，轉捩發生的本質是，飛行器的邊界層在外界擾動的激勵下產生了以不穩定波形式出現的擾動，擾動的演化結果會使得流動狀態發生改變，即從層流轉為湍流。高空中背景湍流度較低，飛行器表面邊界層發生的轉捩是由小擾動引起的自然轉捩。如圖1所示，其過程包含以下三個具有不同特征的階段：(1) 感受性;(2) 擾動波的線性增長;(3) 非線性演化和breakdown至湍流。其中，感受性指的是外界擾動如何激發邊界層中的不穩定波；激發出的擾動波在階段(2)中經歷較長的線性增長過程，小幅值擾動波的持續增長是轉捩能夠發生的內在機理；在階段(3)，擾動波的演化不再是線性的，非線性演化最終使流動突變為湍流。因此，想要完全從理論上預測轉捩，需要回答以下三個方面的問題：(1) 外界擾動是如何激發邊界層中不穩定波的？更具體地，在何處激發，幅值為何？(2) 邊界層中的不穩定波是如何發展和演化的？(3) 擾動波演化到何種程度轉捩發生，即轉捩的機理如何？可用于轉捩預測的判據是什么？

以上三個方面的問題就是轉捩預測中需要解決的基本問題，即感受性、擾動演化、轉捩機理和判據。其中第二個問題是研究得最早和最充分的，有成熟的線性穩定性理論[5]可以用于描述小擾動的線性演化。對于二維低速流動，已無原則上的困難。但是，在高超聲速邊界層的實際應用中還存在一些新的挑戰。2015年，羅紀生[6]從邊界層轉捩的基本過程出發，對高超聲速邊界層轉捩研究中涉及的幾個關鍵科學問題做了很好的綜述。與高超聲速飛行器轉捩有關的綜述可見文獻[7,8]。

本文以發展基于物理機理的轉捩預測方法所包含的科學問題為主線，重點介紹了在感受性、轉捩機理及判據方面的最新研究進展及主要面臨的挑戰，最后討論了eN方法在高超聲速邊界層計算擾動演化時遇到的問題。

圖1 飛行器表面邊界層的轉捩過程示意圖Fig.1 Sketch of transition process of a boundary layer on a flight vehicle

1 基于科學問題的轉捩預測方法

基于科學問題的轉捩預測需要研究引言中提到的三個方面的問題。目前熟知的eN方法，是基于線性穩定性理論，通過描述擾動的線性演化，并結合一定的轉捩判據來預測轉捩。以二維問題為例，根據線性穩定性理論，小擾動可寫為

(1)

(2)

若不考慮非線性作用，假設轉捩發生的閾值是Ac，則可確定該擾動幅值達到Ac時對應的流向位置。基于模態競爭的思想，在所有被激發的擾動中，最先達到Ac的擾動是觸發轉捩的關鍵擾動，而其對應的位置即是轉捩發生的位置。顯然，A0與擾動頻率有關，由于A0和Ac并不清楚，在傳統的eN方法中，定義Nc=Ac/A0，Nc即為由實驗和經驗給出的轉捩判據。研究結果表明，對于馬赫數不超過3.5的流動，Nc多取為9～11[9-11]。

不難發現，傳統的eN方法所隱含的對感受性的考慮是，所有頻率的擾動波在其中性點處具有相同的初始幅值。這顯然是不合理的。由于高超聲速邊界層中存在多種模態，流動復雜，用于確定Nc的值的實驗和經驗也遠不如低速流中的多，很難找到普遍適用的Nc值。因此，假設線性穩定性理論對小擾動演化的描述是準確的，即邊界層非平行性的影響可以忽略(事實證明，大部分大雷諾數的情況確實如此)，轉捩預測方法的不確定性主要來自于轉捩過程的一“頭”和一“尾”，即如何確定不穩定波的初始幅值A0和轉捩閾值Ac。

Su和Zhou[12-14]在對小迎角圓錐邊界層進行轉捩預測時，曾對傳統的eN方法做了改進。在改進的eN方法中，包含兩種對感受性的考慮：(1)對于靜風洞或高空飛行的情況，假設所有頻率的擾動都在頭部附近激發，且具有相同的幅值[12-13]，其大小與自由流擾動幅值相當；(2)對于回流風洞的情況，背景擾動主要是實驗段上游的風洞壁面湍流邊界層發射的聲波，需要考慮慢聲波的感受性[14]。還提出一個轉捩判據，即當邊界層內速度擾動的幅值達到自由流速度的1%～2%，轉捩便發生[12]。King[15]曾對同一實驗模型，分別在靜風洞和回流風洞中做轉捩實驗，所得結果如圖2所示。模型為馬赫數3.5的尖錐，迎角為0.6°。橫坐標為圓錐周向角度，縱坐標為轉捩雷諾數。顯然，靜風洞中的轉捩位置比回流風洞中的顯著靠后，并且，轉捩線的形狀顯著不同。靜風洞的轉捩線是下凹的，而回流風洞中的轉捩線略微上凸。分別采用改進eN方法對兩種情況進行轉捩預測，可以得到與實驗吻合很好的轉捩結果。需要說明的是，調整轉捩判據的閾值，只能整體調整轉捩的位置，并不能改變轉捩線的形狀。這樣的比較結果是令人鼓舞的，這表明能否正確考慮感受性，關系到轉捩預測的成敗。

在改進的eN方法中，對于擾動初始幅值A0和轉捩閾值Ac的考慮是非常粗略的。為了建立基于科學問題和物理機理的轉捩預測方法，需要系統、細致地研究邊界層的感受性，盡可能準確地給出在邊界層中激發的擾動的初始幅值，而是否能夠采用擾動線性增長的幅值Ac作為轉捩判據，且應取何值，則與轉捩機理有關。

2 高超聲速邊界層的感受性研究

對于三維邊界層中橫流轉捩的情況，低背景擾動環境下起主導作用的是橫流定常渦，主要由壁面粗糙度激發，機理相對簡單。本節僅討論二維或軸對稱邊界層中激發Mack模態的情況。

2.1 感受性研究概述

轉捩是一個初值問題，其結果嚴重依賴于外界擾動。目前，高空中背景擾動的具體情況很難獲得，然而，均勻來流中的小擾動總能表達成三種基本擾動形式，即渦波、熵波和聲波(包括快聲波和慢聲波)的線性組合[16]。因此，感受性研究需要給出這些基本自由流擾動與邊界層內激發的不穩定波之間幅值的定量關系，即確定感受性系數Λ。Λ=A0/Ae，其中，Ae為自由流擾動的幅值。感受性系數與流動條件有關，還與具體的感受機理和擾動頻率有關。然而，目前對感受性的研究仍然集中在機理的理解上，研究成果還遠未達到能在轉捩預測中實用的程度[17]。

在感受性機理方面的研究從20世紀80年代就開始了。對于低速流動，由于自由流擾動的尺度通常大于邊界層內T-S波的尺度，不穩定波通過“尺度轉換”機制[18-19]被激發。該機制的實現可以是聲波與前緣作用[20-21]，或聲(渦)波與壁面粗糙元[22]或波紋壁作用[23]。雖然渦波不能直接進入邊界層，但可以與局部粗糙元引起的邊界層外緣的定常擾動相互作用從而激發不穩定波。低速流感受性方面的理論和實驗工作可參考Saric等[24]的綜述文章。而高速流中的感受性機理則顯著不同。由于自由流擾動的時間和空間尺度與邊界層不穩定波的是相當的，Fedorov和Khokhlov[25-26]最先發現，自由流中的快聲波和慢聲波可以在前緣處通過“同步機制”分別激發邊界層中的快模態和慢模態。快、慢模態在下游的演化過程中可以與Mack第二模態“同步”，將后者激發。這里的“同步”并非真正意義上的同步，因為對于某個固定的頻率而言，在所謂的“同步點”處，只能保證外界擾動和邊界層模態的相速度的實部相同，而虛部相差一個小量。

高超聲速感受性實驗難度很大，實驗結果并不多，如文獻[27]。大量的關于感受性的結果是基于直接數值模擬的，研究模型包括平板[28-31]、楔[32-34]和圓錐[35-40]等，內容包括自由流擾動和壁面擾動的感受性，以及不同因素如鈍度、壁面溫度的影響規律。相關的綜述可參考文獻[41-43]，以及吳雪松在周恒等人專著[44]中撰寫的第四章關于感受性的綜述。

目前為止，被理解和接受的高速流動感受性機理和過程基本上就是所謂的“同步機制”。但是，這些理論工作并沒有考慮高超聲速流動的主要特征——激波的存在。而事實上，激波在感受性問題中扮演了至關重要的角色[17，45]。因為，直接通過感受性機制激發邊界層模態的擾動是激波后的擾動。任意一種自由流中的基本擾動和激波相互作用，在激波后都會產生包含三種基本擾動的組合[16-17]。對于鈍頭體而言，問題變得更加復雜。脫體激波的激波角從頭部開始沿下游逐漸減小，隨著激波角的改變，激波后產生的擾動類型也不同。考慮到擾動波的波長顯著小于激波的曲率半徑，可將激波當成局部平面激波處理，采用擾動形式的Rankine-Hugoniot方程求解自由流擾動和激波作用在激波后產生的擾動情況[45]。圖3給出了平面慢聲波以零度入射圓錐頭激波時激波后的擾動情況示意圖[40]。可見，激波后不同區域內激發的擾動顯著不同。因此，要理解感受性，需要回答究竟是哪一區域內的何種擾動通過何種機制最終激發了不穩定波。

圖3 激波后擾動情況示意圖(Zone 1:快聲波，熵、渦波；Zone 2：熵、渦波； Zone 3:慢聲波，熵、渦波)[40]

Fig.3 Three zones behind the shock (Zone 1: fast acoustic wave, entropy and vorticity wave; Zone 2: entropy and vorticity wave; Zone 3: slow acoustic wave, entropy and vorticity wave)[40]

采用直接數值模擬方法可以考慮激波的影響，但是對于大部分數值模擬研究而言，例如文獻[28-39]，都是以激波前的外界擾動為輸入，邊界層內的不穩定波為輸出，盡管能夠得到感受性系數的具體數值，但實際上，在激波后產生的聲波、渦波和熵波中，究竟是哪一種擾動最終引發邊界層中的擾動波是不清楚的。因此，整個感受過程就好像被關在一個“黑箱子”里，無法了解具體的感受路徑。近年來，為了使感受性計算盡可能地貼近真實的情況，Balakumar等在感受性的數值模擬中，采用實驗測得的外界擾動頻譜構造來流擾動[38]，或以波紋壁散射的聲波作為初始擾動，用來模擬實際中風洞壁面輻射的背景擾動[39]。這樣并不能對理解真正的感受過程有所幫助，也無法回答究竟是激波后的何種擾動通過何種路徑激發了可能觸發轉捩的不穩定波。因此，需要打開感受性的“黑箱子”，理解真正的感受過程。

2.2 打開感受性的“黑箱子”

我們設想出一種打開“黑箱子”的方法[40,46]，在激波后選擇一個計算域(以下簡稱為“子計算域”)，分別以激波后的某一種擾動波作為輸入擾動，進行數值模擬，以分析其具體的感受過程。以鈍頭圓錐的感受性問題為例，子計算域如圖4所示，激波后的某一種擾動可以在其入口或上邊界引入，將所得結果與基準算例進行比較。基準算例是指采用類似文獻[30-39]的方法，在激波前引入自由流擾動，對整個感受性過程進行的直接數值模擬。仍以慢聲波入射的情況為例，子計算域的上邊界取在圖3所示的Zone 3中，則包含的主要擾動為從激波傳過來的慢聲波。入口則一般包含了邊界層內激發的快模態(由頭部激波后的快聲波激發)，以及邊界層外熵層中的擾動。兩者可以借助線性穩定性理論分析進一步區別，具體方法可參考文獻[46]。研究發現[40]，對于頻率較低的第一模態波的激發，激波后的慢聲波起主導作用。圖5給出的脈動密度的等值線圖顯示了激波后慢聲波激發邊界層內不穩定波的過程。由于慢聲波的相速度與第一模態接近，感受性激發的機制是所謂的“同步”機制。

圖4 子計算域示意圖[46]Fig.4 Schematic diagram of sub-domain[46]

圖5 脈動密度等值線圖 [40]Fig.5 Contour of fluctuating density [40]

(a) 壁面壓力脈動

(b) 相速度圖圖6 第二模態波的激發過程[46]Fig.6 Excitation of the second mode[46]

3 轉捩判據與轉捩機理

3.1 Mack模態的轉捩判據及轉捩機理

前面曾提到，在改進的eN方法[12-13]中，轉捩判據取為速度擾動幅值達到自由流速度的1%～2%。提出這個判據的依據是，大量的關于T-S波/Mack模態導致轉捩的直接數值模擬結果顯示，當擾動增長到一定程度，非線性作用會激發更多的高階波，轉捩便發生。另一方面，不少數值模擬結果表明，非線性作用在基本擾動波幅值達到1%～2%時開始變得明顯起來[47]。事實上，1%～2%的數值并不是絕對的，與擾動具體的演化情況有關。問題的關鍵是，以擾動線性演化的幅值作為轉捩判據是否是合理的，即eN方法忽略非線性作用是否會成為該方法的重要缺陷。

對于高超聲速邊界層，二維的Mack第二模態是最不穩定的。但是，它本身并不導致轉捩，而是通過非線性作用促使三維擾動快速增長。有關非線性作用的理論研究表明[48]，存在亞諧共振、基本波共振和鎖相位模態作用三種。2019年Wu[49]在對非線性理論的綜述文章中指出，理論分析揭示了一種所謂的“催化效應”，即線性增長最強的模態，在其幅值達到一定閾值時，三維波快速增長，而它本身仍然保持線性特征。數值計算也證明了這一點[47]。例如，圖7給出了由非線性PSE方法(該方法的驗證可參考文獻[50])計算的馬赫數為6的平板邊界層中擾動演化的情況(算例來自于文獻[47])。入口擾動為一個二維的第二模態波(2，0)和一對等幅值的三維斜波(1，1)和(1，-1)。圖中標出的轉捩位置對應于壁面摩擦系數曲線抬升的位置。可見，在轉捩前，非線性作用促使高次諧波快速增長，而(2，0)的幅值演化曲線與LST的結果始終是相近的。

判據的合理性還與轉捩機理有關。T-S波/Mack模態導致的轉捩有個顯著的特點，即非線性作用開始之后的轉捩過程具有突變的性質。其內在機理最早在2005年由Luo等[51]在平面槽道流中進行了研究，后來擴展到不可壓平板邊界層[52]、超聲速平板[53-54]、圓錐邊界層[55]。讀者也可參考羅紀生的綜述文章[6]和周恒等的專著[44]。對于高速邊界層，研究發現[53-55]，在壁面摩擦曲線抬升的過程中，非線性作用對平均流剖面進行修正，修正后的平均流使得邊界層中高頻擾動的不穩定區縮小，而與此同時，低頻擾動的不穩定區迅速放大，進一步修正平均流，促進更多低頻擾動的增長，形成一種正反饋機制。這種機制使擾動呈現爆發式的增長，快速促發轉捩。Zhu等在實驗[56]中也觀察到了類似的現象。

圖7 非線性PSE計算的擾動增長情況Fig.7 Evolutions of disturbances computed by nonlinear PSE

此外，由北約科學技術組織NATO STO AVT-240開展的國際聯合研究項目——“高超邊界層轉捩預測”，涉及到4個國家的11座高超聲速風洞，以細長錐第二模態轉捩為主要研究對象，馬赫數從5到14，單元雷諾數從1.5×106到1.6×107。實驗結果表明[57-58]，對于第二模態主導的高超聲速圓錐邊界層的轉捩，以第二模態擾動幅值為基礎的轉捩判據在很大的參數范圍內是適用的。文章認為[58]，轉捩預測方法的改進更有可能通過聯系風洞設備中的背景噪聲得到。這與Wu[49]的觀點一致，認為感受性的考慮對轉捩預測方法結果影響更大。因此，綜合來看，盡管eN方法長期以來被詬病沒有考慮擾動波之間的非線性作用，但是，其帶來的影響遠不如忽略感受性的大。換句話說，以擾動線性增長的幅值作為轉捩判據是具有一定的物理依據的。

3.2 橫流轉捩的機理

相比T-S波/Mack模態主導的轉捩，橫流的轉捩預測面臨的挑戰更大。對于一般的三維邊界層，外緣流線彎曲，壓力在與流線垂直的方向上存在梯度，引起邊界層內的相應流動，即橫流。圖8給出了橫流速度剖面的示意圖。由于橫流速度剖面存在拐點，具有很強的無黏不穩定性，存在定常橫流渦和橫流行進波兩種不穩定的橫流渦。前者對壁面粗糙度非常敏感，很容易被激發，被證實在低背景環境下起主導作用[59]。橫流轉捩預測最大的困難是，目前并沒有可用的基于物理的轉捩判據。很多橫流的轉捩預測采用的仍是基于RANS框架下的轉捩模式的方法，例如文獻[60-61]，也有的直接借用eN方法中的N判據[62-63]，但是，后面會說明，這樣的判據是值得懷疑的。

圖8 橫流速度剖面示意圖Fig.8 Sketch of velocity profiles of cross flow

與T-S波/Mack模態主導的轉捩過程的顯著區別是，橫流轉捩有著非常長的非線性過程。橫流定常渦或行進波經歷線性放大后，會發生非線性飽和。非線性飽和過程很長，在此過程中，擾動幅值變化非常緩慢。非線性作用修正平均流，使之發生二次失穩，最終二次失穩波的快速增長促使轉捩發生。通常，轉捩位置與開始發生非線性飽和的位置有相當長的距離。因此，直接借用eN方法的判據，采用首次失穩波線性演化幅值作為轉捩判據是不可行的[64-68]。

由于二次模態出現“爆發式”增長，其激發預示著轉捩將快速發生，有人認為可以用二次模態開始激發的位置作為轉捩位置[64,66]。Malik等[67]發現，可以將二次失穩波的線性演化幅值與轉捩位置聯系起來作為轉捩判據。Li等[69]在后掠翼的轉捩預測上使用了該方法。然而，這樣帶來的困難是，在轉捩預測時，除了需要給出首次失穩波的幅值外，還需要對二次模態進行計算，且多個二次模態的出現會為轉捩預測帶來額外的不確定性。更重要的是，這樣的轉捩判據無法給出轉捩區壁面摩擦系數抬升及對阻力的影響等信息[70-71]。

以上都是基于低速流得到的研究結果。盡管不少研究表明[72]，高速流與低速流中的橫流轉捩存在著本質上的相似之處，但是也有顯著的差別。最近，Kocian等[72]在對NATO STO AVT-240項目中的高超聲速橫流不穩定性的工作做總結時提到，實驗發現[73-74]，在高超聲速流中，在橫流渦開始飽和時，便測量到了類型I(Z模態)的二次模態，且并不像低速流中那樣表現出“爆發式”的增長。具體原因還不清楚。

高超聲速橫流問題具有代表性的模型是橢圓錐和有迎角圓錐。在轉捩過程中，Mack模態和橫流失穩同時存在且相互影響，轉捩機制非常復雜。目前，盡管在實驗方面已經有了不少有價值的結果[73-76]，然而，直接數值模擬計算轉捩過程計算量非常大，因此大部分的工作仍主要集中在首次失穩和二次模態的穩定性和演化上[77-78]。最近，中國空氣動力研究與發展中心的陳堅強團隊對有迎角圓錐的轉捩問題開展了15億網格的超大規模的直接數值模擬(私人通訊)。總的來說，對高超聲速橫流邊界層實現基于物理機理的轉捩預測，還有相當長的距離。理解橫流轉捩過程的機理是迫切需要解決的問題。

為此，可先針對一個構型相對簡單的情況，研究其內在機理，弄清楚其與Mack模態轉捩機理的區別和聯系。韓宇峰等[79-80]以馬赫數為6的后掠鈍板為研究對象，研究了橫流的轉捩機理。他們采用直接數值模擬方法計算了從定常渦開始到非線性飽和，以及引入二次模態后，擾動放大促發轉捩的整個過程。圖9給出了引入二次模態后轉捩的過程。可見，二次模態的增長破壞了橫流渦的展向周期性，最終促使流動轉捩為湍流。轉捩發生的位置與二次模態的初始幅值和引入的位置有關。如果不引入二次模態，定常渦本身并不會導致轉捩發生，但會使壁面摩擦系數Cf曲線略有抬升。在圖10所示的Cf曲線中，若不引入二次模態(stationary vortex的情況)，Cf曲線在x=46.25處偏離層流值，但最終會保持在某一數值上。而對于引入二次模態的情況(用secondary modes表示)，Cf曲線在x=52.5處偏離飽和橫流渦對應的值，繼續抬升，流動最終轉捩為湍流。

圖9 流向速度等值面圖(u=0.55)[79]Fig.9 Iso-surface of streamwise velocity (u=0.55)[79]

圖10 壁面摩擦系數曲線[80]Fig.10 Wall friction coefficient[80]

借鑒研究Mack模態轉捩機理的方法，采用線性穩定性理論分析Cf曲線抬升過程中平均流的不穩定區，如圖11所示。圖11(a～d)對應于從x=46.25到x=52.5的Cf曲線首次抬升過程，圖11(e～h)對應于從x=52.5開始Cf曲線繼續抬升直至最終促發湍流的過程。在首次抬升過程中，不穩定區顯著擴大，意味更多頻率范圍的擾動會被放大。這是因為，此時二次模態幅值還比較小，橫流渦起主導作用。定常渦對平均流的修正產生了新的拐點，且拐點逐漸增強，不穩定區明顯擴大。但從x=52.5開始，引入二次模態的情況(圖中secondary modes的情況)不穩定區逐漸下移，同時低頻的不穩定區顯著擴大，如圖11(f)所示，意味著高頻擾動受到抑制，更多的低頻擾動被放大。在x=62.5處還發現了不止一種模態，這些擾動快速修正平均流，使之變為湍流剖面。在x=65處，剖面已經接近于湍流，找不到不穩定區，說明轉捩已經完成。

圖11 橫流轉捩過程中平均流的不穩定區[80]Fig.11 Unstable region of distorted mean flow in transition induced by cross flow[80]

以上結果表明，橫流的轉捩過程比Mack模態的轉捩更加復雜。但是，兩者之間有著一種內在的聯系。即在轉捩發生的關鍵階段(圖10和圖11中從x=52.5到x=65)，都會發生高頻擾動受到抑制、低頻擾動迅速放大的現象。放大的低頻擾動快速修正平均流，最終促使轉捩發生。上述機理還有待于在更多的算例中進行驗證。同時，需要通過大量參數研究，探尋Cf曲線首次抬升和二次抬升與擾動波幅值之間的聯系，探索可能的轉捩判據。

4 高超聲速邊界層中擾動波的演化

邊界層不穩定性及不穩定波在超及高超聲速邊界層中的演化在過去很多年已經進行過充分的研究，此處只討論兩個在實際中應用eN方法計算擾動波演化時遇到的問題。

4.1 eN方法在三維邊界層中的應用

對于三維不穩定波，O-S方程增加了兩個未知數，βr和βi，分別表示展向波數和展向增長率。因此，需要補充條件才能唯一地確定α和β。此外，不像二維情況那樣，可以簡單地向下游積分，在三維邊界層中，還需明確擾動傳播的方向，即積分的路徑。

Malik[81]曾采用時間模式的思想，將α和β用波角φ=tan-1(β/α)聯系起來，利用群速度將增長率轉換為空間模式。為了提高效率，計算時對波角迭代，得到最大的增長率進行積分。由于很多問題中擾動增長方向主要在流向上，Mack[82]建議，假設擾動波沿展向不增長，即β為實數，在積分過程中保持β為常數。事實上，若對每一個頻率所有可能的β都進行計算，計算量很大，在實際中應用時很不方便。Cebeci和Stewartson[83]從復變函數的角度，研究一個波包的演化，提出鞍點法，即用(?α/?β)i=0確定展向波數，沿著擾動傳播的群速度方向，即φ=atan(-?α/?β)r進行積分。結合β為實數的假設，即轉變為迭代β，尋找αi的極小值(代表最不穩定波的波)，計算大大簡化，被廣泛采用[12-14,84-85]。Su[86]采用數值模擬方法證明了該方法所代表的物理內涵。如圖12所示，鞍點法實際上跟隨的擾動傳播方向是波包波峰的演化方向，積分得到的幅值是波包鋒值。于高通等[87]證明了擾動波波數α和β并不是相互獨立的，推導出了它們滿足的相容關系，從而給出了β為實數的理論根據。Zhao等[88]在此基礎上提出了射線跟蹤法，Song等[89]推導了在三維邊界層中沿著擾動波群速度方向的廣義增長率的守恒關系，從理論上進一步完善了eN方法在三維邊界層中的應用。

從準確預測擾動演化的角度來講，好的積分策略應盡可能接近真實的情況(例如DNS結果)，但同時還受到計算量的限制。若計算量太大則無法在工程中使用。此外，由于LST本身的局限性，其對小擾動在三維邊界層中演化的描述是近似的，這種近似帶來的不確定性有時可以和轉捩判據帶來的不確定性一并處理。

圖12 采用鞍點法的積分策略的物理含義Fig.12 Physical meaning of using saddle point method as integral strategy

4.2 第一模態與第二模態的模態轉換

在高超聲速邊界層中，常常同時存在不穩定的第一模態和第二模態。第一模態即本文在感受性部分提到的慢模態。若在可能發生轉捩的區域內，兩個模態不穩定波的頻率范圍始終是分開的，前面提到的方法可以分別應用于兩個模態，尋找最先達到轉捩閾值的擾動預測轉捩。但是，如圖13那樣的情況，低頻的第一模態會在下游通過模態轉換激發第二模態。此時，應用eN方法會遇到困難。

圖13 平板邊界層第一、第二模態的中性曲線Fig.13 Neutral curves of 1st and 2nd modes in a flat plate boundary layer

前面曾提到，邊界層中的慢聲波在向下游的傳播過程中，會與第二模態“同步”而將后者激發。由于模態轉換與第二模態的生成有關，通常在感受性的研究中受到關注[6，43]。但這實質上并不是邊界層擾動對外界擾動的響應問題，而是擾動在邊界層內的演化問題。根據Fedorov等[26]的研究，在“同步”點附近，邊界層的非平行性扮演了非常重要的角色。因此，忽略非平行性的線性穩定性理論無法正確描述從第一模態發展到第二模態的幅值演化過程。圖14給出了一個第一模態波在平板邊界層中演化為第二模態波的例子。在x=0處引入的是第一模態波，在下游激發了不穩定的第二模態波。可見，LST明顯地低估了第二模態波的幅值，而考慮非平行性的PSE可以給出和DNS吻合很好的結果。

圖14 不同方法給出的擾動演化結果Fig.14 Results of evolutions of disturbance obtained by different methods

采用PSE代替LST進行轉捩預測似乎可以解決上述問題。事實上，有不少采用PSE預測轉捩的工作[50,90-91]。例如，在無限翼展后掠翼邊界層的轉捩預測中，Cebeci等[91]曾建議由LST給出初值，用PSE進行擾動演化的計算。但是，由于PSE不是特征值問題，除了求解時需要給出上游條件外，確定擾動波的演化方向也是一個非常困難的事情，特別在三維復雜邊界層中。有人提出PSE-3D[92-93]，可沿流向推進，但需要在展向和法向求解二階偏微分方程，這樣計算量太大，難以用于實際的轉捩預測中。于高通等[94]提出EPSE方法，將問題轉變為局部特征值問題，能夠考慮形狀函數沿流向變化。韓宇峰等[95]對該方法進行了進一步的改進，提高了其計算精度。但是，大量的測試表明，EPSE的魯棒性不如LST，并不能全面取代LST。

目前，對于實際的轉捩預測問題，并沒有好的辦法來解決模態轉換的問題。蘇彩虹等[96]曾研究了超聲速平板邊界層中快模態到第二模態的模態轉換，或許提供了一種考慮模態轉換的可能思路。定義模態轉換系數Γ=A0/AF和模態轉換區間Δx，其中，AF為中性點上游某處快模態的幅值，A0為在第二模態下支界處激發的等效幅值。通過DNS或PSE方法，可確定Γ和Δx。研究表明，經過適當的變換[96]，模態轉換系數隨頻率的變化曲線對于不同壁面溫度的邊界層可以重合在一起，可采用公式進行擬合。因此，考慮到模態轉換，擾動的幅值演化可以修正為：

(3)

由于快模態總是衰減的，慢模態有可能是增長的，顯然后者到第二模態的模態轉換更加復雜。目前在這方面的研究還有待于進一步深入。

圖15 不同壁面溫度條件下的Γ*～ω*曲線[96]Fig.15 The relation between Γ* and ω* in different wall temperature conditions[96]

5 總結和討論

隨著臨近空間高超聲速飛行技術的發展，預測高超聲速邊界層轉捩位置的需求越來越迫切。由于高超聲速實驗很難做，不可能像低速飛行器那樣，有足夠的實驗數據支撐半經驗的預測方法。為此，需要理解轉捩所包含的關鍵物理機理，發展基于物理機理的轉捩預測方法。本文介紹了高超聲速邊界層轉捩預測中的關鍵科學問題，即感受性、擾動演化及轉捩判據近年來的研究進展，由于問題本身的復雜程度，基于物理機理的轉捩預測仍面臨著很多挑戰。

(1) 對于高超聲速邊界層中Mack模態主導的轉捩，以線性穩定性理論為基礎的預測方法，即所謂的eN方法正在從兩個方面向更加理性化的方向發展和完善。一是，充分地考慮感受性，二是，基于物理的轉捩判據。盡管eN方法忽略了擾動波的非線性作用，以不穩定波線性演化的幅值為轉捩判據，這樣帶來的誤差要遠比忽略感受性小得多。感受性的考慮對高超聲速邊界層的轉捩預測至關重要。

(2) 在高超聲速邊界層中，被理解和接受的經典的感受性理論是所謂的“同步機制”。然而，該理論并沒有考慮激波——這一高超聲速流動關鍵特征的存在。而實際上，激波在感受性中扮演著非常重要的作用，因為激波后產生的擾動是真正進入邊界激發不穩定波的擾動。從理論研究的角度，有待于探索和理解考慮激波影響的新的感受性機制。此外，過去大部分感受性的數值模擬工作將邊界層看作一個系統，以外界擾動波作為輸入，邊界層的不穩定波為輸出，真正的感受性過程被關在一個“黑箱子”里。近期的研究表明，打開“黑箱子”可以更深層次的揭示和理解感受性的內在機理。然而，另一個值得注意的問題是，過去研究得最多的是對聲波的感受性，但高空中并沒有發聲的聲源，因此今后需多關注對渦波或熵波的感受性。而盡管之前有柱狀渦的感受性研究[33]，但這是極特殊的情況，并不符合實際情況。因此，對于更一般的情況，例如平面渦波的感受性問題(這并非單純的二維問題)，還有待于研究。目前已經知道打開感受性“黑箱子”的方法，理解了自由流擾動激發不穩定波的具體路徑，渦波的感受性研究可以在此基礎上進行，不必從頭開始。

需要說明的是，即使完全理解了感受機理，在不清楚背景擾動的情況，也無法做出準確的轉捩預測。因此，還需要盡可能理解飛行環境中背景擾動的情況。但是，周恒和張涵信在2017年發表的文章中指出，這是非常困難的事情[97]。首先，不可能做足夠多的飛行實驗，特別是，不可能把未來所有可能飛行的空域全部事先測量。其次，所有接觸式傳感器都要受在其前段產生的激波的影響，如何從激波后的信息還原激波前的信息也是問題。傳感器即使在實驗室條件下，也只能測得非常有限的信息。目前已有工作將數值模擬和實驗測量相結合，旨在全面、深入地理解風洞中的背景噪聲情況[98]。

(3) 與T-S波/Mack模態主導的轉捩相比，三維邊界層中橫流主導的轉捩問題還沒有被充分的理解。對于橫流不穩定性和轉捩的認識主要來自于低速流動，盡管不少研究表明，高速流與低速流中的橫流轉捩存在著本質上的相似之處，但也發現一些顯著的差別。近年來，從實驗、理論和數值模擬方面，在以有迎角圓錐為典型模型的橫流轉捩問題上取得很多前所未有的認識[72]，但仍主要集中在首次失穩、二次失穩方面。對于后掠平板的轉捩機理有了初步的認識，但是，轉捩判據的建立仍面臨著很大的挑戰，基于物理機制的橫流轉捩預測還有相當長的距離。

(4) 不穩定波在邊界層中的演化似乎是轉捩涉及的三個科學問題中挑戰性最小的。在實際復雜外形的轉捩預測中，流動往往是三維的，在二維邊界層中的eN積分并不能簡單地推廣至三維邊界層。近年來，eN方法在三維邊界層的應用得到不斷地發展和完善。本文提到的第一模態到第二模態的模態轉換問題，是高超聲速邊界層的轉捩預測中常常遇到的問題。由于線性穩定性理論本身的局限性，原有的eN方法不再適用，目前并沒有很好的解決方法。更多細致的研究有待于開展。

轉捩是包含眾多影響因素的強非線性問題。對于高超聲速飛行器，還存在表面凸起物、縫隙、粗糙度等影響，高溫真實氣體效應、激波邊界層干擾等復雜物理現象。本文沒有討論這些干擾因素，這方面的研究和理解無疑會有助于修正轉捩預測方法。總之，高超聲速邊界層的轉捩預測未來還有長期艱苦的工作開展。

致謝:感謝天津大學周恒教授指引作者進入高超聲速轉捩預測這一研究領域，并多年來給予作者極大的支持和鼓勵；感謝吳雪松教授長期以來與作者在相關科學問題上的有益的討論。